专题1.3 有理数的乘除（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题1.3 有理数的乘除 教学目标 1.理解有理数的乘法法则，会用法则进行乘法运算。 2.理解有理数的除法法则、倒数的意义，掌握有理数的除法运算。 3.理解有理数乘法的运算律，能运用运算律简化运算。 4.掌握有理数乘除混合运算的计算方法。 教学重难点 教学重点：混合运算中的运算顺序与技巧 教学难点：符号规则的抽象理解与运算逻辑的迁移 知识点01 有理数的乘法法则 1.两数相乘的法则 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 2.多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【即学即练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 2．计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点02 倒数 如果两个有理数的乘积为1，称这两个有理数互为倒数． 注意：0没有倒数． 【即学即练】求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 知识点03 有理数乘法运算律 1.乘法交换律：a×b=b×a 2.乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 3.乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【即学即练】1．计算下列各式：； 【答案】6 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．先确定符号，再用约分即可得答案． 【详解】解：， ， ， ． 2．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据乘法的分配律计算即可； （2）根据乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 知识点04 有理数的除法法则 1.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数。 2.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：（b≠0） 【即学即练】（1）；              （2）； （3）；       （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可； （4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：（1）；              （2）； （3）；       （4） ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数． 知识点05 有理数的乘、除混合运算 1.有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法,再按照乘法法则进行计算 2.有理数的乘除混合运算是同级运算,应按照从左到右的顺序进行. 【即学即练】1．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的乘除运算，倒数的应用，乘积为的两个数互为倒数，进行计算，即可． 【详解】解：原式的倒数是 ， ∴原式． 题型01 运用运算律简化运算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 【例1-2】（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示：．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【例1-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见解析 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：   【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律进行计算，计算时要与括号内的每个数都相乘，不要漏乘，即根据计算． 根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）除法转化成乘法，再根据乘法分配律计算； （2）逆用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律计算法则是解题的关键， （1）根据乘法分配律计算； （2）先运用乘法分配律计算后边括号，再应用乘法分配律计算 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【变式1-4】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02 有理数四则混合运算 【例2-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先确定符号，再从左向右依次计算即可求解； （2）先算乘除，后算加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例2-2】（1）； （2）． 【答案】（1）6；（2） 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】（1）先确定积的符号，带分数化成假分数，除法转化为乘法，按顺序计算即可； （2）先算乘除，再算加减即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题考查的是有理数的加减、乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【变式2-1】计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题． 【详解】解： ． 【变式2-2】计算： 【答案】－30 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意计算顺序是解答本题的关键． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习） （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先分别计算除法，然后再进行减法运算即可得； （2）先判断结果的符号，然后将除法转化为乘法进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型03 利用有理数的乘法解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）随着天气不断降温，某服装店购进了50套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这50套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出套数 11 10 11 12 6 售价（元） 0 (1)与标准总价格相比，50套保暖内衣总售价超过或不足多少元？ (2)若该服装店每套进价为80元，则盈利多少元？ 【答案】(1)总售价超过11元 (2)盈利1011元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的知识，有理数混合运算的应用，熟练掌握正负数的概念及正确计算是解题的关键． （1）根据“超过的钱数记为正，不足的钱数记为负”，将表中数据进行有理数的混合计算即可； （2）根据表中数据进行有理数的混合计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： （元）． 答：与标准总价格相比，50套保暖内衣总售价超过11元． （2）解：根据题意，得： （元）． 答：盈利1011元 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某原料仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示） 进出数量（单位：吨） 2 5 进出次数（单位：次） 2 4 2 3 3 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，现有两种方案：方案1：运进每吨原料费用26元，运出每吨原料费用29元；方案2：运进和运出费用相同，都是每吨27元．从节约运费的角度考虑，请通过计算说明选择哪种方案比较合适． 【答案】(1)减少了．理由见解析 (2)选择方案二比较合适，见解析 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数四则运算的应用，理解正数和负数的意义是解题的关键． （1）求出这几次进出数量的和，根据“和”的符号得出答案； （2）求出两种方案的费用即可． 【详解】（1）解：减少了． 理由：（吨）； （2）解：运进数量：（吨）， 运出数量：（吨）， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二比较合适． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）怀远石榴是安徽省蚌埠市怀远县的特色农产品，以其色泽艳丽、汁多味甜而著名，现有筐怀远石榴，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐怀远石榴中，与标准质量差值为千克的有 筐，最重的一筐重 千克； (2)若怀远石榴每千克售价元，则出售这筐怀远石榴总收入为多少元？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，正负数的实际应用； （1）根据表格及题意可直接进行解答； （2）先求出这10筐怀远石榴的总质量，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：这10筐怀远石榴中，与标准质量差值为千克的有筐，最重的一筐重（千克）， 故答案为：，； （2）解： （元）； 答：共收入元． 【变式3-3】现有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表，请解答下列问题： 标准质量的差（单位：） 0 2 2.5 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 (1)15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出营业额为多少元？ 【答案】(1)5千克 (2)超过8.5千克 (3)3068元 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重3千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻2千克，则两箱相差5千克； （2）将这15个数据相加，如果和为正，表示总计超过标准质量；如果和为负表示总计不足标准质量，再求绝对值即可； （3）先求得15箱苹果的总质量，再乘8元即可． 【详解】（1）解：（千克）． 答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克； （2）解：（千克）． 答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过8.5千克； （3）解：（千克）， （元． 答：这15箱苹果全部售出营业额为3068元． 题型04 有理数的除法与绝对值的综合应用 【例4-1】三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为 ． 【答案】3或－1 【分析】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有两个为负数或者三个都是正数，分两种情况进行讨论即可． 【详解】a、b、c为三个非零有理数，若，则a、b、c中有一个为负数或者三个都是负数， 若a、b、c中有两个为负数，则原式 a、b、c三个都是正数，则原式 故答案为3或－1． 【点睛】考查有理数的乘法以及绝对值的化简，注意分类讨论，不要漏解． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 【例4-3】阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 【变式4-1】若a，b，c为有理数，且，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义得到，，，由于，则、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数，即a、b、c中只有一个负数，则，然后根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴、、的值中只有一个，即a、b、c中只有一个负数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，若，则；若，则；若，则． 【变式4-2】如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若，则，原结论不正确，不符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，符合题意； 故答案为：①⑤． 题型05 有理数四则混合运算阅读题 【例5-1】阅读下列解题过程： 计算 解：原式         第①步                          第②步                                  第③步 (1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②，运算顺序错误 (2)见解析 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】（1）根据题目中的解答过程，可以发现哪几步出错了； （2）先算括号内的式子，然后计算除法和乘法即可． 【详解】（1）解：解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误． 故答案为：②，运算顺序错误； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【例5-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】倒数、有理数四则混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、倒数等知识，理解倒数的意义、熟练掌握有理数运算法则是解题关键． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）由（2）可知，， ∴． 故答案为：． 【例5-3】阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【知识点】倒数、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先求出原式的倒数，即可确定出原式的值．熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键．也考查了倒数的意义． 【详解】解：∵ ， ∴． 【例5-4】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【例5-5】【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否 (2)72 (3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义． （1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据题意考虑所有可能性并列出即可． 【详解】（1）解：根据题意列式为：， ∵， ∴游戏不再继续， 即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：， ， ； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜； ②，乙负； ③，乙负； ④，乙负； ⑤，乙胜； ⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 【变式5-1】请你阅读晓虎同学的作业后，回答问题∶ 计算∶ 解： ……① =1.7÷(-17)……② ……③ 回答∶ (1)上面解题过程中有两处出现了错误，第一处是第______步，错误原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ； (2)写出这个计算题的正确解题过程． 【答案】(1)②，运算顺序；③，符号错误 (2)过程见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】（1）根据有理数的运算法则，即可判断； （2）根据有理数的运算法则，计算即可． 【详解】（1）解：上面解题过程中有两处出现了错误，第一处是第②步，错误原因是运算顺序； 第二处是第③步，错误原因是符号错误； 故答案为：②，运算顺序；③，符号错误； （2）解： =-3.6． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对运算法则的掌握． 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：． 【答案】(1)正确，倒数 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、倒数 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，乘法分配律： （1）根据一个数的倒数的倒数等于原数即可得到结论； （2）先仿照题意计算出，再把计算的结果取倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解答方法正确，依据是一个数的倒数的倒数等于原数， 故答案为：正确，倒数； （2）解：， ∴ 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）分析所给的等式的形式，从而可求解即可； （2）利用所给的式子的形式，把各项进行拆项，从而可求解； （3）仿照所给的式子的形式进行求解即可； （4）根据所给的式子的形式进行求解即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2） ； （3） ； （4） ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果，，且，则的值等于（    ） A．6 B．6或 C．或 D．6或5 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，以及绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵，，且 ∴或， ∴或， 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加、减法，乘法，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故D选项符合题意，A，B，C选项不符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则、有理数的减法法则、有理数的乘法法则、有理数的除法法则、相反数的定义、绝对值的意义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，有理数的除法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值等知识点，熟练掌握有理数的运算法则及相关概念是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，且，则的值是（   ） A．5或 B． C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据进一步确定a、b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值是5或， 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有理数的运算等知识点，根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 7．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 二、填空题 8．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数混合计算，有理数比较大小，先计算出，再计算出，则输出的结果即为． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：一、0的相反数为0，二、可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，掌握相反数与数轴的关系是解题的关键． 根据相反数的概念得和是一个正数和一个负数，且距离为8；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果． 【详解】解：， 在原点的左侧， 表示的数为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 【答案】 3 610 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据任意相邻三个台阶上数的和都相等，得到求出即可； （2）先求出，进而求出相邻三个数的和，根据每三个数一循环，且和等于，进行计算即可． 【详解】（1）∵任意相邻三个台阶上数的和都相等， ； （2） 每三个数一循环，且和等于 ， ． 故答案为：3，610． 三、解答题 12．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法与除法运算，再计算加减运算即可； （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘法分配律的应用，有理数四则混合运算，掌握有理数的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)56 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，最后计算减法即可； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）2024-2025 学年安徽省中小学开始实施“三个一”工程，即各中小学实现“一天一节体育课、一周一场体育比赛、一生一项体育特长”．某中学本周七年级各班级之间开展了一分钟跳绳对抗赛，下表为七年级（1）班42 人参加一分钟跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．超过标准数量的记为正，不足标准数量的记为负． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个 (2)这个班跳绳总共获得192分 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）根据每多跳1个加2分，每少跳1个，扣1分，然后相加即可求出该班的总积分． 【详解】（1）解：（1）由题意得：（个）， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个； （2）解：由题意得：（分）． 答：这个班跳绳总共获得192分． 15．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 16．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 17．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法新运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； （3）解：原式 ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 有理数的乘除 教学目标 1.理解有理数的乘法法则，会用法则进行乘法运算。 2.理解有理数的除法法则、倒数的意义，掌握有理数的除法运算。 3.理解有理数乘法的运算律，能运用运算律简化运算。 4.掌握有理数乘除混合运算的计算方法。 教学重难点 教学重点：混合运算中的运算顺序与技巧 教学难点：符号规则的抽象理解与运算逻辑的迁移 知识点01 有理数的乘法法则 1.两数相乘的法则 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 2.多个有理数相乘的法则 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 【即学即练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算． (1)； (2)； (3)； 知识点02 倒数 如果两个有理数的乘积为1，称这两个有理数互为倒数． 注意：0没有倒数． 【即学即练】求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 有理数乘法运算律 1.乘法交换律：a×b=b×a 2.乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 3.乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【即学即练】1．计算下列各式：； 2．简便计算： (1)； (2)． 知识点04 有理数的除法法则 1.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数。 2.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：（b≠0） 【即学即练】（1）；              （2）； （3）；       （4） 知识点05 有理数的乘、除混合运算 1.有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法,再按照乘法法则进行计算 2.有理数的乘除混合运算是同级运算,应按照从左到右的顺序进行. 【即学即练】1．计算：． 2．计算：． 题型01 运用运算律简化运算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：． 【例1-2】（24-25七年级上·陕西延安·阶段练习）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示：．请运用乘法分配律简便计算： ． 【例1-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）计算：   【变式1-2】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）用简便方法计算： (1)． (2)． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1-4】用简便方法计算： (1)； (2)． 题型02 有理数四则混合运算 【例2-1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算： (1) (2) 【例2-2】（1）； （2）． 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】计算： 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习） （1）； （2）． 题型03 利用有理数的乘法解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）随着天气不断降温，某服装店购进了50套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这50套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出套数 11 10 11 12 6 售价（元） 0 (1)与标准总价格相比，50套保暖内衣总售价超过或不足多少元？ (2)若该服装店每套进价为80元，则盈利多少元？ 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某原料仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示） 进出数量（单位：吨） 2 5 进出次数（单位：次） 2 4 2 3 3 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，现有两种方案：方案1：运进每吨原料费用26元，运出每吨原料费用29元；方案2：运进和运出费用相同，都是每吨27元．从节约运费的角度考虑，请通过计算说明选择哪种方案比较合适． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）怀远石榴是安徽省蚌埠市怀远县的特色农产品，以其色泽艳丽、汁多味甜而著名，现有筐怀远石榴，以每筐千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 (1)这筐怀远石榴中，与标准质量差值为千克的有 筐，最重的一筐重 千克； (2)若怀远石榴每千克售价元，则出售这筐怀远石榴总收入为多少元？ 【变式3-3】现有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表，请解答下列问题： 标准质量的差（单位：） 0 2 2.5 3 箱数 1 3 2 2 2 4 1 (1)15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出营业额为多少元？ 题型04 有理数的除法与绝对值的综合应用 【例4-1】三个有理数a、b、c满足abc>0，则的值为 ． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【例4-3】阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【变式4-1】若a，b，c为有理数，且，求的值为 ． 【变式4-2】如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 题型05 有理数四则混合运算阅读题 【例5-1】阅读下列解题过程： 计算 解：原式         第①步                          第②步                                  第③步 (1)上面的解题过程在第___________步出现错误；错误原因是___________． (2)请写出正确的解题过程． 【例5-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【例5-3】阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 【例5-4】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【例5-5】【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始时、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【变式5-1】请你阅读晓虎同学的作业后，回答问题∶ 计算∶ 解： ……① =1.7÷(-17)……② ……③ 回答∶ (1)上面解题过程中有两处出现了错误，第一处是第______步，错误原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ； (2)写出这个计算题的正确解题过程． 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 小明的解法：原式的倒数为，所以． (1)填空：小明的解答方法______（填“正确”或“错误”），依据是一个数的倒数的______等于原数； (2)请你运用小明的解法解答下面的问题． 计算：． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，挍照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)尝试并计算：； (3)根据上述方法计算：； (4)[拓展]观察：，，， 计算：； 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）如果，，且，则的值等于（    ） A．6 B．6或 C．或 D．6或5 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，且，则的值是（   ） A．5或 B． C．1 D．1或 5．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 7．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 8．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 9．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点，分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，如果任意相邻三个台阶上数的和都相等，回答下列问题． （1） ； （2）若前个台阶上所标有理数之和是，则的值为 ． 三、解答题 12．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）计算下列各题 (1) (2) 14．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）2024-2025 学年安徽省中小学开始实施“三个一”工程，即各中小学实现“一天一节体育课、一周一场体育比赛、一生一项体育特长”．某中学本周七年级各班级之间开展了一分钟跳绳对抗赛，下表为七年级（1）班42 人参加一分钟跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．超过标准数量的记为正，不足标准数量的记为负． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 15．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 16．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 17．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …． 特别地，规定． 【解决问题】 (1)若，则______； (2)计算：； (3)计算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$