第2章 实数的初步认识（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第二章 实数的初步认识（复习讲义） ①知道算术平方根、平方根的概念，会求某些非负数的平方根和算术平方根；能运用算术平方根解决一些简单的实际问题； ②知道立方根的概念，会求一个数的立方根；能运用立方根解决一些简单的实际问题。 ③理解实数的概念，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系；知道有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用；会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小；能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算；通过用不同的方法比较两个无理数的大小； ④知道近似值的概念及其在生产生活中的作用。能说出一个近似值的精确度。在解决实际问题时会按照问题的要求对结果取近似值。 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 题型一 求一个数的算术平方根、平方根 【例1】化简的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】化简 ． 题型二 已知一个数的（算术）平方根求这个数 【例2】已知一个数的算术平方根是7，这个数是（    ） A． B． C．49 D． 【变式2-1】若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是 ． 【变式2-2】一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 题型三 利用算术平方根的非负性解题 【例3】若与互为相反数，则 ． 【变式3-1】若，则 ． 【变式3-2】若，是实数，且，则的值为 ． 题型四 利用平方根、立方根求解方程 【例4】求下列式中的值． (1) (2) 【变式4-1】求下列式中的值： (1) (2) 【变式4-2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型五 平方根、立方根的综合问题 【例5】已知7和是一个正整数的互不相等的两个平方根． (1)求的值以及的值． (2)求的立方根． 【变式5-1】已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 【变式5-2】已知正实数的两不同平方根为和的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若实数、满足，求的立方根． 题型六 无理数、实数概念及分类 【例6】下列实数：中，无理数的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ； 正实数： ；    负实数： ． 【变式6-2】把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                     }； 负分数：{                     }； 整数：{                     }． 题型七 无理数和实数的大小估计 【例7】估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式7-1】已知，为两个连续整数，且满足，则的值是 ． 【变式7-2】综合实践：∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 题型八 实数的大小比较 【例8】在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【变式8-1】比较大小：3 ．（填“ < ”“ > ”或“=”） 【变式8-2】比较下列实数的大小（填“”“”或“”）： ． 题型九 实数的混合运算 【例9】计算： 【变式9-1】计算： 【变式9-2】计算： 题型十 近似值与精确度 【例10】下列说法正确的是（ ） ①近似数和精确度不相同 ②（用四舍五入法精确到） ③由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 ④π取，身高约，其中和165都是近似数 ⑤（用四舍五入法精确到千位） ⑥347825（用四舍五入法精确到十位） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①③⑥ D．④⑤⑥ 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 【变式10-2】浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 3．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 5．下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 6．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 7．若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 8．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤体积为9的立方体的棱长为． A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 10．有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11．的值是 ． 12．扬州是全国文化历史名城，世界美食之都．扬州包子，扬州炒饭，扬州三头宴等特色美食吸引着全国各地的游客，据统计，刚刚过去的国庆假期，扬州共接待游客约万人次，万精确到 位． 13．已知有理数，满足，则 ． 14．若，，则的值是 ． 15．整数a满足，则整数a的值为 ． 16．比较大小： 3（填“”，“”或“”）． 17．实数，，，，其中有理数有 个． 18．平方根是的数是 ． 19．商店李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则这个正方体水果礼盒的表面积为 ． 20．若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 21．（本题10分）求下列各式中未知数的值． (1) (2) 22．（本题10分）已知7和是一个正整数的互不相等的两个平方根． (1)求的值以及的值． (2)求的立方根． 23．（本题10分）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（   ） A．4 B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古赤峰·二模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 5．（2025·河南驻马店·一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，则大正方形的边长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 6．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 7．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 12．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 13．（2025·吉林松原·三模）计算： ． 14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 15．（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 16．（2025·广东潮州·二模） ． 17．（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 18．（2025·四川南充·三模）在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 19．（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）（23-24八年级上·江西九江·期中） （1）解方程：； （2）解方程：． 22．（本题8分）（24-25八年级上·江西抚州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 23．（本题8分）（24-25八年级·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 24．（本题8分）（24-25八年级·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 25．（本题10分）（24-25福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数的初步认识（复习讲义） ①知道算术平方根、平方根的概念，会求某些非负数的平方根和算术平方根；能运用算术平方根解决一些简单的实际问题； ②知道立方根的概念，会求一个数的立方根；能运用立方根解决一些简单的实际问题。 ③理解实数的概念，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系；知道有理数的运算性质及运算律在实数范围内仍然适用；会比较两个实数的大小；会用有理数估计一个无理数的大小；能熟练地进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算；通过用不同的方法比较两个无理数的大小； ④知道近似值的概念及其在生产生活中的作用。能说出一个近似值的精确度。在解决实际问题时会按照问题的要求对结果取近似值。 知识点 重点归纳 常见易错点 算术平方根 1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 概念中特别强调为正数 2.表示方法: 平方根的符号与除号很像，但不同。 3.性质: ①规定：0的算术平方根是0；②非负性 0的算术平方根是0，是一个规定。 平方根 1.概念：如果，那么这个数叫做的平方根, 也叫二次方根。 此处概念当中没有说是正是负。注意与算术平方根的概念区别. 2.表示方法: 3.性质: ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。 正数的平方根有两个：互为相反数。 开平方 1.概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方。 注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算。 2.关系：开平方与平方互为逆运算。 立方根 1.概念：一般的如果，那么这个数叫做的立方根, 也叫三次方根。 从立方根的记号可以看出，一个数的立方根只有一个，而且一个数的立方根与这个数本身符号相同。 2.表示方法: 3.性质: ①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方和立方根的区别：开立方是一种运算，立方根是个数。 2.关系：开立方与立方互为逆运算。 实数 1.概念：有理数与无理数统称为实数。 注意带根号的数不一定都是无理数:例如：，因为，属于有理数范围；带的数也不一定是无理数，例如：，因为是有理数 2.分类：实数分成有理数与无理数。 3. 无理数的常见形式： ①根号型：如②型：化简后仍带有的数，如2，③构造型：如0.1010010001…… 4. 实数与数轴上的点是一一对应的关系。 数轴上的点与实数一一对应 5. 实数的大小比较方法： 方法1：将要比较的数画在数轴上，借助数轴比较 方法2：将要比较的数化成小数再比较； 方法3：平方（立方）后比较 注意根据题目条件选择合适的方法 6. 有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。 要注意混合运算的运算顺序。 近似值 1. 准确值：与实际完全相同相同数据叫作准确值。 2. 能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。 3. 精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。 4. 取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法 题型一 求一个数的算术平方根、平方根 【例1】化简的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根记为，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选：A 【变式1-1】2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 【变式1-2】化简 ． 【答案】4 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 题型二 已知一个数的（算术）平方根求这个数 【例2】已知一个数的算术平方根是7，这个数是（    ） A． B． C．49 D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义即可求解. 【详解】∵这个数的算术平方根是7， ∴这个数是．故选C． 【点睛】此题主要考查算术平方根，解题的关键是熟知算术平方根的定义. 【变式2-1】若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的概念解答． 【详解】解：∵一个数和它的算术平方根相等， ∴这个数为0或1， 故答案为：0或1． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，比较简单． 【变式2-2】一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】此题主要考查了平方根的性质，正确得出a的值是解题关键．直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是：与， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故答案为：． 题型三 利用算术平方根的非负性解题 【例3】若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为 0 ，则这几个非负数分别等于 0 ，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】∵和互为相反数， ， ， ， ， 故答案为： 1 ． 【变式3-1】若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了非负性的性质，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】若，是实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 题型四 利用平方根、立方根求解方程 【例4】求下列式中的值． (1) (2) 【答案】(1)或；（2） 【知识点】利用平方根和立方根解方程 【分析】(1)先将方程两边同时除以，得到的值，再根据平方根的定义，对开平方，得到的值，最后求解 ．本题主要考查了平方根的定义及应用，熟练掌握平方根的定义，即若（），则是解题的关键． （2）先移项，再开立方即可。 【详解】（1）解： 或 （2）解： 【变式4-1】求下列式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 【变式4-2】求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴． 题型五 平方根、立方根的综合问题 【例5】已知7和是一个正整数的互不相等的两个平方根． (1)求的值以及的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． （1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴的立方根为：． 【变式5-1】已知的平方根是的立方根是， (1)求和的值； (2)求的平方根 【答案】(1)， (2) 【知识点】求代数式的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义求解即可． （1）由立方根，平方根的定义可知，，然后即可求出a，b的值． （2）把a，b的值代入，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ，， ， ． （2）解：∵， 的平方根为． 【变式5-2】已知正实数的两不同平方根为和的立方根是3． (1)求的平方根； (2)若实数、满足，求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、求一个数的立方根、代入消元法 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平方根以及立方根得出，，解得，再求出，再代入得，最后求出的平方根，即可作答． （2）先根据非负性进行列式计算，得，再解出方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵正实数的两不同平方根为和的立方根是3 ∴，， ∴，， 解得， 则， 即， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵ ∴ 由（1）得 ， 解得 ， 的立方根为3． 题型六 无理数、实数概念及分类 【例6】下列实数：中，无理数的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】根据循环节，有理数的定义，无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，循环节，有理数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵，是有理数， ，是无理数； 故选：B． 【变式6-1】把下列各数填在相应的横线上：，，，0，，，， （每两个3之间依次多一个0）． 有理数： ；    无理数： ； 正实数： ；    负实数： ． 【答案】见解析 【知识点】求一个数的立方根、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，立方根，根据实数的分类方法分别求出每个数属于什么数即可得到答案． 【详解】解：是有理数，是正实数； 是有理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 0是有理数； 是无理数，是负实数； 是无理数，是正实数； 是有理数，是负实数； （每两个3之间依次多一个0）是无理数，是负实数； ∴有理数：，，0，；无理数：，，， （每两个3之间依次多一个0）； 正实数：，，；负实数：，，， （每两个3之间依次多一个0）． 【变式6-2】把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                     }； 负分数：{                     }； 整数：{                     }． 【答案】①⑥；②③⑦；④⑤． 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：无理数：{， } 负分数：{，，} 整数：{，} 故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤． 题型七 无理数和实数的大小估计 【例7】估算 的值在（     ） A．2和3 之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 【变式7-1】已知，为两个连续整数，且满足，则的值是 ． 【答案】7 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算，根据，可得，从而可得答案. 【详解】解： ， ，即， ，， ∴． 故答案为： 【变式7-2】综合实践：∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)4； (2) 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意求出a、b、c，然后代入求其值，从而得解． 【详解】（1）解：（1）∵，即， ∴的整数部分为4， 的小数部分为． （2）∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 题型八 实数的大小比较 【例8】在实数中，最大的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数的大小比较．利用正数大于零，负数小于零，结合无理数的估算比较实数的大小，即可找出最大的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴最大的数是， 故选：D． 【变式8-1】比较大小：3 ．（填“ < ”“ > ”或“=”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，， ∵ ∴， 故答案为：． 【变式8-2】比较下列实数的大小（填“”“”或“”）： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质以及算术平方根的性质，熟练掌握不等式的性质以及算术平方根的性质是解决本题的关键． 根据算术平方根的性质，由，得，然后根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 题型九 实数的混合运算 【例9】计算： 【答案】1 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂等，熟练掌握实数的混合运算法则是解题关键．先计算算术平方根、化简绝对值、负整数指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： +2 =1． 【变式9-1】计算： 【答案】2 【知识点】开平方运算、负整数指数幂、开立方运算 【分析】本题考查了开平方运算，负整数指数次幂和开立方运算，然后加减解题即可． 【详解】解：原式． 【变式9-2】计算： 【答案】-1 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 =—1． 题型十 近似值与精确度 【例10】下列说法正确的是（ ） ①近似数和精确度不相同 ②（用四舍五入法精确到） ③由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 ④π取，身高约，其中和165都是近似数 ⑤（用四舍五入法精确到千位） ⑥347825（用四舍五入法精确到十位） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①③⑥ D．④⑤⑥ 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了科学记数法，精确度和求一个数的近似数，近似数的最后一位在什么位上，则精确到什么位，精确到哪位，就是对它后边的一位进行四舍五入，据此求解判断即可． 【详解】解：①近似数精确度十分位，精确度百分位，二者精确度不相同，原说法正确，符合题意； ②（用四舍五入法精确到），原说法错误，不符合题意； ③由四舍五入得到的近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意； ④π取，身高约，其中和165都是近似数，原说法正确，符合题意； ⑤（用四舍五入法精确到千位），原说法正确，符合题意； ⑥347825（用四舍五入法精确到十位），原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到十分位 B．近似数1.28万精确到百分位 C．近似数3.9953精确到百分位是4.00 D．近似数2.3与2.30精确度相同 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，精确度就是表示一个近似数与准确数的接近程度，一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位． 【详解】解：A、近似数，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； C、近似数精确到百分位是，原说法正确，符合题意； D、近似数与，精确度不相同，原说法错误，不符合题意； 故选:C． 【变式10-2】浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 【答案】百 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位进行求解． 【详解】解：10.55万， ∴近似数10.55万精确到百位， 故答案为：百． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．2的平方根是 B．没有平方根 C．的算术平方根是5 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、2的平方根是，而选项仅给出正的平方根，遗漏负根，故错误，不符合题意； B、负数在实数范围内无平方根，是负数，因此没有平方根，说法正确，符合题意； C、，5的算术平方根是，而非5，故错误，不符合题意； D、1的平方根为，算术平方根为1，选项将平方根错误描述为1，故错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根的概念及运算，根据立方根的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】选项A：，故，则左边为，等于右边，等式成立． 选项B：，故，则左边为，与右边不等，等式不成立． 选项C：，故，等式不成立． 选项D：，故，则左边为，与右边不等，等式不成立． 综上，正确答案为A． 故选：A． 4．下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确． 【详解】解：A．面积为5的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意； B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意； C．是5的平方根，说法正确，不符合题意； D．∵，∴，整数部分是2，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 5．下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 6．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 7．若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知一个数的立方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题主要考查了代数式求值，立方根和平方根定义，根据算术平方根定义和立方根定义求出或，，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为6或0． 故选：C． 8．下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（    ） 填空（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③； ④； ⑤体积为9的立方体的棱长为． A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、倒数、二次根式的乘除混合运算、立方根的实际应用 【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了； ∴得分应是分， 故选：． 9．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故选B． 10．有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可． 【详解】解：∵， ∴该数精确到万位． 故选C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11．的值是 ． 【答案】10 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简算术平方根和立方根，然后计算减法． 【详解】 ． 故答案为：10． 12．扬州是全国文化历史名城，世界美食之都．扬州包子，扬州炒饭，扬州三头宴等特色美食吸引着全国各地的游客，据统计，刚刚过去的国庆假期，扬州共接待游客约万人次，万精确到 位． 【答案】千 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数的精确位数，熟练掌握近似数的精确度的确定方法是解题关键．根据近似数的精确位数即可得出结果． 【详解】解：万， ∴万是精确到了千位， 故答案为：千． 13．已知有理数，满足，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了绝对值的非负性和二次根式的非负性． 先根据绝对值的非负性和二次根式的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．若，，则的值是 ． 【答案】或/或 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，即，若满足，那么a就叫做b的立方根，即，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 15．整数a满足，则整数a的值为 ． 【答案】3 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，先求出，结合，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，a为整数， ∴， 故答案为：3． 16．比较大小： 3（填“”，“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17．实数，，，，其中有理数有 个． 【答案】3 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简 【分析】先化简，，，再做出判断即可． 【详解】解：在，，，，中，，，是有理数，共3个． 故答案为：3 【点睛】此题考查了立方根、二次根式的化简、实数的分类等知识，熟练掌握二次根式的化简和实数的分类是解题的关键． 18．平方根是的数是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）． 即如果，那么叫做的平方根．据此解答即可． 【详解】解：∵ ∴平方根是的数是． 故答案为：． 19．某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【答案】150 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了正方体，立方根的应用．根据正方体的体积是，立方根的定义，得到正方体的棱长为，根据正方体表面积等于它6个面的面积和，计算即可得解． 【详解】解：∵正方体的体积是， ∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为． 故答案为：150． 20．若的整数部分为，的小数部分为，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算、不等式的性质 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，进而可得，，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的整数部分为，的小数部分为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 21．（本题10分）求下列各式中未知数的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 22．（本题10分）已知7和是一个正整数的互不相等的两个平方根． (1)求的值以及的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． （1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴的立方根为：． 23．（本题10分）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【知识点】求一个数的平方根、实数运算的实际应用 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列各数中，为无理数的是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查无理数，平方根，立方根．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各选项是否为整数或分数，从而确定是否为有理数或无理数． 【详解】解：A、4是整数，属于有理数． B、，结果为整数，属于有理数． C、，结果为整数，属于有理数． D、表示4的三次方根．因为4不是完全立方数（如，），无法表示为分数，且是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D 3．（2025·湖北·模拟预测）已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 4．（2025·内蒙古赤峰·二模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 先把，代入，再进行无理数大小的估算即可求解． 【详解】解：当，时，， ， ，即该微观粒子的能量的值在8和9之间． 故选：D． 5．（2025·河南驻马店·一模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，则大正方形的边长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式，本题属于基础题型．根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：，小正方形的面积为14， 大正方形的面积， 大正方形的边长为， 故选：B． 6．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 7．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于， ∴， ∴． 故选：C． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，其中精确到十分位的是（   ） A．24 B．24.0 C．24.00 D．240 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了精确度，判断近似数的精确位数，需观察其最后一位数字所在的数位．十分位对应小数点后第一位，据此求解即可． 【详解】选项A：24，无小数点，末位4位于个位，精确到个位． 选项B：24.0，末位0在小数点后第一位（十分位），精确到十分位． 选项C：24.00，末位0在小数点后第二位（百分位），精确到百分位． 选项D：240，末位0在个位（若原数四舍五入到十位则为十位），精确到个位． 故选：B． 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 10．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估算，根据夹逼法可得出，且靠近4，结合数轴即可得出答案． 【详解】解：，且靠近， 即，且靠近4， 则在数轴上表示实数的点可能是点M， 故选：C 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】/米 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案． 【详解】解：一块面积为的正方形桌布，其边长为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键． 12．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 13．（2025·吉林松原·三模）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂 【分析】此题考查了立方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算立方根和零指数幂，然后计算加减即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值． 【详解】解：是的算术平方根， ， 又的算术平方根是， ， ， 故答案为：． 15．（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，并熟悉初中范围内常见无理数如：，等；开方开不尽的数；等有规律的无限不循环小数．根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：①是分数，是有理数； ②是无理数； ③开方开不尽，是无理数； ④是整数，是有理数； ⑤是无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有个， 故答案为：． 16．（2025·广东潮州·二模） ． 【答案】3 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、负整数指数幂 【分析】本题考查立方根的定义以及绝对值的性质，负整数指数幂，实数的运算，掌握知识点是解此题的关键． 逐个计算，再进行实数的加减，即可解答． 【详解】解：． 故答案为3. 17．（2025·湖北·模拟预测）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个大于3且小于4的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数、实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数及无理数的大小比较；根据题意写出一个无理数即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2025·四川南充·三模）在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解． 【详解】解：设满足条件的数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数， 则， 又∵，即， ∴a可以是或或0． 即在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有5个， 故答案为：5． 19．（2025·湖南衡阳·二模）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】根据正方形的面积公式求得边的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， 点在数轴正半轴上，点表示的数为， 点到原点的距离为， 点所表示的数为， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）（23-24八年级上·江西九江·期中） （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根立方根的定义求方程的解，准确掌握相关计算方法为解题关键． （1）利用立方根的定义求解方程即可； （2）利用平方根的定义求解方程即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 或， 或． 22．（本题8分）（24-25八年级上·江西抚州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解、算术平方根和立方根的综合应用、加减消元法 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 23．（本题8分）（24-25八年级·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 24．（本题8分）（24-25八年级·福建莆田·期末）【阅读理解】 素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 素材2：因为介于2和3之间，所以的整数部分是2，小数部分是． 素材3：系列纸的长与宽的比例均符合，其中纸的面积约为． 【问题解决】 (1)设纸张的宽为，则长为，根据边长与面积的关系，得，即，由边长的实际意义，得，那么的整数部分是________，小数部分是________； (2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪两个相邻的整数之间．（参考数据：，，，，） 【答案】(1)21， (2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答； （2）设纸的宽为，根据面积求出的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是21，小数部分是． （2）法1：纸的面积为， 纸的面积为． 设纸的宽为，长为， ， 由边长的实际意义，得， ，且，， 答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间． 法2：由题意得，纸的宽为，且 ， 纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间． 25．（本题10分）（24-25福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ，， 即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图1： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． (1)利用材料一中的方法，的小数部分是__________； (2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ，即， 的整数部分是5， 的小数部分是， 故答案为：； （2）解：面积为145的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得． 解得． ． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$