精品解析：河南省鹤壁市2024-2025学年高二下学期教学质量调研测试数学试题

2024-2025学年下期高二教学质量调研测试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记是硬币落地时正面向上的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】由题可知，，因此. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 3. 过点可以作圆的切线的条数为（ ） A. B. C. D. 无数条 【答案】B 【解析】 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 25 B. 28 C. 29 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，列出关于首项、公差的方程组，求出数列通项公式即可. 【详解】设数列的公差为，则，解得，， 因此，. 故选：D 5. 设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，过点作轴，求出点的坐标，代入抛物线方程，结合可求得的值. 【详解】不妨设点在第一象限，过点作轴，如下图所示： 因为，，则， ， 易知点，结合图形可知， 将点的坐标代入抛物线方程得，整理得， 因为，解得. 故选：A. 6. 已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，求出的取值范围，根据在区间内的零点个数可得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据可得出的表达式，再结合的取值范围可求得的值. 【详解】因为，当时，， 因为函数在区间内恰有个零点，则，解得， 因为，所以，可得， 由，解得，因为，故，则. 故选：B. 7. 有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙，问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，结合组合计数原理以及分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】将分别储存着、、水的三个储水点依次记为甲、乙、丙， 因为，，， 问题相当于把个甲、个乙、个丙进行排序，排序的方法有种. 故选：D. 8. 在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的面积公式可得出，再结合余弦定理可得出，变形得出，利用辅助角公式以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】由三角形面积公式得，即. 由余弦定理得，所以， 整理可得. 其中为锐角，且， 因为，故，故当时，即当时，取最大值， 此时， 故的最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算可判断A；利用复数的加法法则与模的计算可判断BC；利用复数的模的计算可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，， ，所以，故C正确； 对于D，，，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 的最小值为 C. 若平面，则 D. 三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义计算可判断A选项；分析可知当时，取最小值，结合等面积法可判断B选项；证明出，结合线面垂直的判定定理可知当时，平面，结合勾股定理可判断C选项；推导出平面，求出三棱锥的体积的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、， 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 故异面直线与所成的角等于或其补角， 由于，因而是等边三角形，因此，故A正确； 对于B，连接、，显然的最小值在时取到， 因为平面，平面，所以， 因为，，由勾股定理可得， 由等面积法可得，故的最小值为，故B正确； 对于C选项，在的条件下，连接、，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 当时，由于，、平面，故平面， 由B选项可知，此时，故， 因此，若平面，则，故C正确； 对于D选项，连接、， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 由C选项可知，，因为，、平面，故平面， 故当与点重合时，点到平面的距离最大，此时取最大值， 因为， ， 所以的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 11. 用表示不超过的最大整数，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若且，则在上的值域为 D. 若且，则方程在内有个根 【答案】BD 【解析】 【分析】利用取整函数的定义计算可判断A； ，分类讨论求解判断B；设，其中是的整数部分，，再利用二次函数的性质可求值域判断C.；利用C的结论运算求解判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，有， 当时，，所以，从而，当时，， 所以总有，故B正确； 对于C，设，其中是的整数部分，，则， 根据二次函数的图象与性质可知在上单调递减， 因而在上的最大值为， 当趋向于时，趋向于， 故在上的值域为，故C错误； 对于D，根据C的分析可知，在每个区间内单调递减，且， 即在区间内都恰有一个使得，共有个， 在区间内，，且单调递减，其值域为， 故在区间内也有1个根，从而在区间内共有个根，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的方程及同角三角函数的基本关系得到答案. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. 故答案为：. 13. 对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过个，且其中有个小孩、个小孩、个小孩的家庭占比分别为、、，假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中有女孩的概率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】记事件选出的家庭有个小孩，记事件选出的家庭中有女孩，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件选出的家庭有个小孩，记事件选出的家庭中有女孩， 则，，， ，， 由全概率公式可得 故答案为：. 14. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取特殊值取，由，并利用导数判断函数的单调性，得到的取值范围为，再证明当时，对任意的，都成立. 【详解】取，由，得， 设，则，所以是减函数， 又，所以的解集为. 下面证明当时，均有. 因为，所以当时，， 记，则， 设，则，所以即是增函数，而， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，，所以成立. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况，称睡眠时间少于为“睡眠不合格”，睡眠时间不少于为“睡眠合格”.下面是统计数据： 青年组 老年组 睡眠合格 睡眠不合格 睡眠合格 睡眠不合格 人数 平均睡眠时长 （1）求调查的所有人睡眠合格的概率； （2）求调查的所有人的平均睡眠时长； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异? 附：. 【答案】（1） （2） （3）可以认为 【解析】 【分析】（1）求出调查的总人数以及睡眠合格的人数，即可求出调查的所有人睡眠合格的概率； （2）结合表格中的数据可求出调查的所有人的平均睡眠时长； （3）零假设青年人与老年人的睡眠合格率没有差异，完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由题意知，共调查了人， 睡眠合格的人数为，故睡眠合格的概率为. 【小问2详解】 平均睡眠时长为 【小问3详解】 零假设青年人与老年人的睡眠合格率没有差异， 列联表如下： 睡眠合格 睡眠不合格 合计 青年组 老年组 合计 则. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故可以认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异. 16. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【小问1详解】 由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. 17. 如图，在四面体中，为等边三角形，，，且. （1）求证：平面平面； （2）若点满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题可知， 因为是等边三角形，所以. 由余弦定理得， 所以，因此. 又因为，平面，，所以平面， 又平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得，进而利用勾股定理的逆定可证，利用线面垂直的判定定理可得平面，可证结论； （2）记的中点为，的中点为，连接，，可证得，，两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，的中点为，连接，， 所以，又，所以， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，，所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. ，，设平面的法向量为， 则，即，可取. 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，，（，且），记. （1）求、； （2）证明是等差数列，并求的通项公式； （3）令，求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） 因为，所以， 即，即，且， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推公式可得出、的值； （2）由已知条件得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公差，即可求出数列的通项公式； （3）求得，利用错位相减法结合分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设数列、的前项和分别为、，则， ， ①， 则②， ①②，得 ，则. 因此，数列的前项和. 19. 已知函数，. （1）若的图象在点处的切线方程为，求的值； （2）若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； （3）若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义得出，将切点坐标代入函数解析式以及切线方程，即可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值； （2）求得，令，可知函数在上有异号零点，利用导数分析函数在上的单调性，计算得出，只需，由此可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （3）令，则原方程可化为，结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，，，则. ，，，. 【小问2详解】 由题可知的定义域为，. 令，其中，则函数在上有异号零点， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 因为，故只需即可， 即，由零点存在定理可知，存在，使得，即， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点， 故当在其定义域上不具有单调性，的取值范围是. 【小问3详解】 若与的图象恰有两个不同的交点，则关于的方程恰有个不同的实根. ， 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设，方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立，是增函数， 方程，即恰有个不同的实根. 设，则的图象与直线恰有个交点，， 令，可得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 又，当时，，当趋向于时，趋向于，如下图所示： 当时，的图象与直线恰有2个交点， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下期高二教学质量调研测试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记是硬币落地时正面向上的次数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点可以作圆的切线的条数为（ ） A. B. C. D. 无数条 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 25 B. 28 C. 29 D. 32 5. 设是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 有三个储水点，分别储存着、、水.小明每次使用一个容积为的水桶从这三个储水点取水并带回家倒入水缸中储存，且每次取水必须将水桶装满.若要将这水全部取完，小明前往这三个储水点的不同顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 的最小值为 C. 若平面，则 D. 三棱锥的体积的最大值为 11. 用表示不超过的最大整数，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若且，则在上的值域为 D. 若且，则方程在内有个根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是_____. 13. 对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过个，且其中有个小孩、个小孩、个小孩的家庭占比分别为、、，假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中有女孩的概率为_____. 14. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某研究机构调查了青年人与老年人的睡眠情况，称睡眠时间少于为“睡眠不合格”，睡眠时间不少于为“睡眠合格”.下面是统计数据： 青年组 老年组 睡眠合格 睡眠不合格 睡眠合格 睡眠不合格 人数 平均睡眠时长 （1）求调查的所有人睡眠合格的概率； （2）求调查的所有人的平均睡眠时长； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为青年人与老年人的睡眠合格率有差异? 附：. 16. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 17. 如图，在四面体中，为等边三角形，，，且. （1）求证：平面平面； （2）若点满足，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，，（，且），记. （1）求、； （2）证明是等差数列，并求的通项公式； （3）令，求数列的前项和. 19. 已知函数，. （1）若的图象在点处的切线方程为，求的值； （2）若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； （3）若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $