辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

2024-2025（下）期末质量监测 高 二 数 学 参考答案 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D D B B D C D AB BC ABD 12.   13.   14.    15. 解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件， 因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为； 因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为； 根据列联表，可得 ． 所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．  16. 解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于分，则甲第一阶段至少投中一次，乙第一阶段也至少投中一次，所以比赛成绩不低于分的概率 ． 甲在第一阶段参赛时，得分的概率为， 同理， 则， ，，，， ，应将甲安排在第一阶段参赛． 甲在第一阶段参赛时，比赛成绩记为，则的所有可能取值为，，，， ， ， ， ， 则， 乙在第一阶段参赛时，比赛成绩记为，同理可得 ， 则， ，，，． ，应由甲参加第一轮比赛．  17. 解：Ⅰ由得， ， 由得，， 即， 又， 所以是首项为，公差为的等差数列． Ⅱ由Ⅰ得，， 由得，， 则，，，，， 则当时， ， 则， 可知当时，满足， 所以的通项公式．  18. 解： ，当时，或，当时，． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 由知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，根据函数的图像特征及方程有且仅有三个实根，可知极大值大于，极小值小于，即 ，解得．   19. 解：当时，，则，             即的斜率，假设存在，则的斜率， 则有解，即在上有解，            该方程化简为，解得或，符合要求，  因此该函数图象存在另外一条与垂直的切线；                    ，                            令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增；   设曲线的另一条切线的斜率为， 当时， ，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； 当时，，且， ，， 且，， 在、上各有一个零点，                 故当或时，都有 当时， 故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以， 即； 因为，由知，曲线存在相互垂直的两条切线， 不妨设，，满足，即， 又，，所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以，解得，                   又，即，解得， 因为，，所以， 综上可知，对任意，曲线都不存在与垂直的切线，的取值范围是： 注：具体评分变更信息（分值、答案等）请阅卷教师关注阅卷群。 高二数学答案 第 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学 第 1 页，共 4 页 秘密★启用前 2024-2025（下）期末质量监测 高 二 数 学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的） 1.如图，𝑈是全集，𝑀，𝑁，𝑃是𝑈的子集，则阴影部分表示的集合是 A. 𝑀 ∩ (𝑁 ∩ 𝑃) B. 𝑀 ∪ (𝑁 ∩ 𝑃) C. (∁𝑈𝑀) ∩ (𝑁 ∩ 𝑃) D. (∁𝑈𝑀) ∪ (𝑁 ∩ 𝑃) 2.设𝑎 > 0，𝑏 > 0，𝑎 + 𝑏 = 1，则下列说法错误的是 A. 𝑎𝑏的最大值为 1 4 B. 𝑎2 + 𝑏2的最小值为 1 2 C. 4 𝑎 + 1 𝑏 的最小值为9 D. √ 𝑎 + √ 𝑏的最小值为√ 2 3.若定义在𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)在(−∞, 0)单调递减，且𝑓(2) = 0，则满足𝑥𝑓(𝑥 − 1) ≥ 0的𝑥的 取值范围是 A. [−1,1] ∪ [3, +∞) B. [−3, −1] ∪ [0,1] C. [−1,0] ∪ [1, +∞) D. [−1,0] ∪ [1,3] 4.函数𝑦 = 2𝑥3 2𝑥+2−𝑥 在[−6,6]的图象大致为 A. B. 高二数学 第 2 页，共 4 页 C. D. 5.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉( 未看被丢掉小球的颜色).现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球 也是红球的概率为 A. 3 14 B. 1 3 C. 2 3 D. 2 7 6.某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资 金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金 超过800万元的第一年是(参考数据：𝑙𝑔2 ≈ 0.3，𝑙𝑔1.13 ≈ 0.053) A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 7.在数列{𝑎𝑛}中，若𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 + 2 𝑛+1，则𝑎𝑛 = __________． A. 𝑛 · 2𝑛 B. 5 2 − 1 2𝑛 C. 2 · 3𝑛 − 2𝑛+1 D. 4 · 3𝑛−1 − 2𝑛+1 8.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 1 4 ，𝑔(𝑥) = −ln𝑥，𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}表示𝑚，𝑛的最小值，设函数 ℎ(𝑥) = min{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)}(𝑥 > 0)，若ℎ(𝑥)有2个零点，则𝑎的取值范围为 A. (− 5 4 , − 3 4 ) B. (−3, − 3 4 ) C. {− 3 4 } D. {− 3 4 , − 5 4 } 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.已知集合𝐴 = {𝑥|𝑎 + 1 < 𝑥 < 2𝑎 − 3}, 𝐵 = {𝑥|𝑥 ⩽ −2 或𝑥 ⩾ 7}，则𝐴 ∩ 𝐵 = ⌀的必要不充 分条件可能是 A. 𝑎 < 7 B. 𝑎 < 6 C. 𝑎 < 5 D. 𝑎 < 4 10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推动 出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值𝑋 = 2.1，样本方差𝑆2 = 0.01，已知该种植区以往的亩收入𝑋服从正态分布𝑁(1.8,0. 12)， 假设推动出口后的亩收入𝑌服从正态分布𝑁(𝑋, 𝑆2)，则(若随机变量𝑍服从正态分布𝑁(𝜇, 𝜎2)， 则𝑃(𝑍 < 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.8413) A. 𝑃(𝑋 > 2) > 0.2 B. 𝑃(𝑋 > 2) < 0.5 C. 𝑃(𝑌 > 2) > 0.5 D. 𝑃(𝑌 > 2) < 0.8 11.已知函数𝑓(𝑥) = 2ln𝑥 + 1 𝑥 ，数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)(𝑛 ∈ 𝑁∗)，则下列有关数列{𝑎𝑛}的叙述正确的是 A. 𝑎2 < 𝑎1 B. 𝑎𝑛 > 1 C. 𝑆100 < 100 D. 𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑛+1 + 1 > 2𝑎𝑛 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 高二数学 第 3 页，共 4 页 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.已知函数𝑓(𝑥) = { −𝑥2 + 2(𝑎 − 1)𝑥, 𝑥 ≤ 1 (8 − 𝑎)𝑥 + 4, 𝑥 > 1 在𝑅上单调递增，则实数𝑎的取值范围是 ． 13.期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对 的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1 道做对的概率为 ． 14.正方形𝐴𝐵𝐶𝐷位于平面直角坐标系上，其中𝐴(1,1)，𝐵(−1,1)，𝐶(−1, −1)，𝐷(1, −1).考 虑对这个正方形执行下面三种变换：(1)𝐿：逆时针旋转90°. (2)𝑅：顺时针旋转90°. (3)𝑆： 关于原点对称.上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点所在的位 置会发生变化.例如，对原正方形作变换𝑅之后，顶点𝐴从(1,1)移动到(1, −1)，然后再作一 次变换𝑆之后，𝐴移动到(−1,1).对原来的正方形按𝑎1，𝑎2，⋯，𝑎𝑘的顺序作𝑘次变换记为 𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑘，其中𝑎𝑖 ∈ {𝐿, 𝑅, 𝑆}，𝑖 = 1，2，⋯，𝑘.如果经过𝑘次变换之后，顶点的位置恢复 为原来的样子，那么我们称这样的变换是𝑘 −恒等变换.例如，𝑅𝑅𝑆是一个3 −恒等变换.则 3 −恒等变换共 种；对于正整数𝑛，𝑛 −恒等变换共 种. 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床 产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：𝜒2 = 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐) 2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) ． 𝑃(𝜒2 ≥ 𝑘) 0.050 0.010 0.001 𝑘 3.841 6.635 10.828 16．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶 段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至 少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投 中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为𝑝，乙每次投中的概率为𝑞，各次 投中与否相互独立． (1)若𝑝 = 0.4，𝑞 = 0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概 率； (2)假设0 < 𝑝 < 𝑞， (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 高二数学 第 4 页，共 4 页 17．数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎2 = 2，𝑎𝑛+2 = 2𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 + 2． (1)设𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛，证明{𝑏𝑛}是等差数列； (2)求{𝑎𝑛}的通项公式． 18．设函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9 2 𝑥2 + 6𝑥 − 𝑎． (1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间． (2)若方程𝑓(𝑥) = 0有且仅有三个实根，求实数𝑎的取值范围． 19．如果曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)存在相互垂直的两条切线，称函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是“正交函数”.已知 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 2ln𝑥，设曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点𝑀(𝑥0, 𝑓(𝑥0))处的切线为𝑙1． (1)当𝑎 = −8，𝑥0 = 8时，是否存在直线𝑙2满足𝑙1 ⊥ 𝑙2，且𝑙2与曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)相切？请说明理 由； (2)如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是“正交函数”，求满足要求的实数𝑎的集合𝐷； (3)若对任意𝑎 ∈ [−5, −4)，曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)都不存在与𝑙1直的切线𝑙2，求𝑥0的取值范围． 秘密★启用前 2024-2025（下）期末质量监测 高 二 数 学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 高二数学 页 学科网（北京）股份有限公司 1.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是 A. B. C. D. 2.设，，，则下列说法错误的是 A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 3.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是 A. B. C. D. 4.函数在的图象大致为 A. B. C. D. 5.小明在某不透明的盒子中放入红黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉未看被丢掉小球的颜色现从剩下个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为 A. B. C. D. 6.某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是参考数据：， A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7.在数列中，若，，则． A. B. C. D. 8.已知函数，，表示，的最小值，设函数，若有个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知集合，则的必要不充分条件可能是 A. B. C. D. 10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则若随机变量服从正态分布，则 A. B. C. D. 11.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分） 12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是          ． 13.期中考卷有道单选题，小明对其中道题有思路，道题完全没思路．有思路的题做对的概率是，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为，则小明从这道题中随机抽取道做对的概率为          ． 14.正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，考虑对这个正方形执行下面三种变换：：逆时针旋转：顺时针旋转：关于原点对称上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，，，，如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是恒等变换例如，是一个恒等变换则恒等变换共          种；对于正整数，恒等变换共          种 四、解答题（本大题共5小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：  一级品  二级品   合计   甲机床             乙机床           合计         甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ 能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：． 16．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． 若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； 假设， (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 17．数列满足，，． 设，证明是等差数列； 2求的通项公式． 18．设函数． 求函数的单调区间． 若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围． 19．如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为． 当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； 如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合； 若对任意，曲线都不存在与直的切线，求的取值范围． $$