第07讲 三角形全等的判定（AAS、ASA）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

第07讲 三角形全等的判定（AAS、ASA） 【人教版2024】 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【练1】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例2】如图，，，，求证：． 【练2】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 2.如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，点在上，是中点，延长线交于点．求证：． 4.如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 5.如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． (1)请你先补全方案，再说明这样设计的理由； (2)若测得，，求的长度． 【提升关】 6.如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 8.如图，，，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 9.如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 10.在中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，．    【问题解决】 （1）如图1，若点D在边的延长线上，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角形全等的判定（AAS、ASA） 【人教版2024】 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例1】如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以 ． 故答案为：；；；；；；；；；． 【练1】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【典题练习】 【例2】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【练2】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（    ）去最省事． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 2.如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 3.如图，在中，点在上，是中点，延长线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据可得，即可证明，进而得到结论． 【详解】证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4.如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 5.如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． (1)请你先补全方案，再说明这样设计的理由； (2)若测得，，求的长度． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：，                 理由： 在与中 ； （2）解： ，， ， 即 【提升关】 6.如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明，推出． 【详解】解： ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，利用矩形的性质可求得，然后可求得的边上的高，最后利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，， ， 四边形是长方形， ， ， 的边上的高， ， 故答案为：． 8.如图，，，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，证明，即可求解； （2）根据，可得，再证，得到，由，即可求解． 【详解】（1）证明： ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ． 9.如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 10.在中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，．    【问题解决】 （1）如图1，若点D在边的延长线上，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），证明过程见解析（3），证明过程见解析 【分析】（1）先证，再由证得，得出，，即可得出结论； （2）先证，再由证得，得出，，即可得出结论； （3）先证，再由证得，得出，，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2），证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3），证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$