1.3 全等三角形的判定 第5课时 课件 2025—2026学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形 1.3 全等三角形的判定 第5课时 SAS、ASA、AAS、SSS的综合运用 三角形全等判定方法1 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) . F E D C B A AC＝DF， ∠C＝∠F， BC＝EF， 知识回顾 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. F E D C B A 三角形全等判定方法2 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∠A＝∠D， AB＝DE， ∠B＝∠E， 用符号语言表达为： 三角形全等判定方法3 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）. 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． ∠A＝∠D， ∠B＝∠E， AC＝DF， A C B F D E 在△ABC和△A'B'C'中, ∴△ABC≌△A'B'C'. 三角形全等判定方法4 三边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“边边边”“角角边”或“SSS”） 用符号语言表达为： 如图要使△ABD≌△ACD, (1)根据“SAS”需添加的两个条件是 　　　　　　　　 ;  (2)根据“ASA”需添加的两个条件是 　 　;  AB=AC,∠BAD=∠CAD(也可以是BD=CD,∠BDA=∠CDA) ∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA (3)根据“AAS”需添加的两个条件是 　　　　　　　　 ;  (4)根据“SSS”需添加的两个条件是　　　　　　　　.   ∠BAD=∠CAD,∠B=∠C(也可以是∠BDA=∠CDA,∠B=∠C) AB=AC,BD=CD 6 例1(教材典题)如图,点E在BD上,AB=BC,AE=CE. 求证:AD=CD. 证明:在△ABE和△CBE中, ∴△ABE≌△CBE(SSS). ∴∠ABE=∠CBE. 探索活动 7 在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(SAS). ∴AD=CD. 练习1 如图,AB,CD相交于点O,AD=CB,AB=CD,连接DB. 求证:OD=OB. 证明:在△ABD与△CDB中, ∴△ABD≌△CDB(SSS), ∴∠A=∠C. 在△AOD与△COB中, ∴△AOD≌△COB(AAS). ∴OD=OB. 练习2 如图,AD,BF相交于点O,点E,C在BF上,BE=FC,AB∥ DF,AC∥DE.求证:AO=DO,CO=EO. 证明:∵AB∥DF,AC∥DE, ∴∠B=∠F,∠ACO=∠DEO. ∵BE=FC, ∴BE+EC=FC+EC, 即BC=FE. 在△ABC和△DFE中, ∴△ABC≌△DFE(ASA). ∴AC=DE. 在△ACO和△DEO中, ∴△ACO≌△DEO(AAS). ∴AO=DO,CO=EO. 例2 (教材典题)如图,AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B,D.点C在BD上,AB=CD,BC=DE,求证:AC与CE垂直且相等. 证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD, ∴∠B=∠D=90°. 在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE(SAS). ∴∠A=∠ECD,AC=CE. ∵∠B=90°, ∴∠A+∠ACB=90°. ∴∠ECD+∠ACB=90°. ∴∠ACE=90°. ∴AC与CE垂直且相等. 13 变式1如图，点A、E、B在直线MN上，DA⊥MN，BC⊥MN，∠DEC=90°，DE ＝ CE .你有什么发现？ 证明：∵ DA⊥MN，BC⊥MN， ∴ ∠D+∠AED=90°，∠C+∠CEB=90°. ∵ ∠DEC=90°(已知), ∴ ∠AED+∠CEB=90°，∴ ∠AED=∠C. 在△DAE和△EBC中， ∠DAE＝∠EBC=90°， ∠AED=∠C ， DE＝EC ， ∴△DAE ≌△EBC(AAS) ． ∴AE＝BC, AD＝BE（全等三角形对应边相等）. 练习1 如图,点C,F在线段BE上,∠A=∠D,AB∥DE,BF=EC.判断AC和DF的关系,并说明理由. 解:AC=DF,AC∥DF.理由如下: ∵AB∥DE,∴∠B=∠E. ∵BF=EC,∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴AC=DF,∠ACB=∠DFE, ∴AC∥DF. 练习2 如图，已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是线段AB上一点,过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E,过点B作BF⊥CP于点F.则线段AE,BF,EF有怎样的数量关系?请说明理由. 解:BF=EF+AE.理由如下: ∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°. ∵AE⊥CE,BF⊥CE,∴∠E=∠BFC=90°, ∴∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCF. 在△ACE和△CBF中, ∴△ACE≌△CBF(AAS), ∴AE=CF,CE=BF, ∴CE=EF+CF=EF+AE, ∴BF=EF+AE. 1.如图,已知点F,A,D,C在同一条直线上,DC=AF,BC=EF,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　) A.AB=DE B.∠C=∠F C.∠B=∠E D.BC∥EF C 随堂演练 18 谈谈这一节课你有哪些收获？ 1.复习了判定两个三角形全等的 4种方法 ： “SAS”,“ASA”,“AAS”，“SSS” 2.“ASA”与“AAS”的区别： “边”是“其中一组等角的对边”. 在“ASA”中， “边”必须是“两角的夹边”； 在“AAS”中， 3.要根据题意选择适当的方法，证明线段或角相等， 就是证明它们所在的两个三角形全等. 课堂小结 知识技能巩固练 1.如图1-3-49,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是 (　　) A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 B 图1-3-49 20 2.(2024无锡期末)如图1-3-50,AB=AC,AD=AE,下列结论中错误的是 (　　) A.∠B=∠C B.BD=CE C.BE⊥CD D.△ABE≌△ACD 图1-3-50 C 21 3.(2025南通崇川区月考)如图1-3-51,点B,F,C,E都在一条直线上, AC=DF,BC=EF.添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　) A.∠ACE=∠DFB B.∠ACB=∠DFE C.∠B=∠E D.AB=DE 图1-3-51 C 22 4.如图1-3-52,AD是△ABC的角平分线, (1)如果再添加条件　　　　　,就可以直接根据“SAS”得到△ABD≌△ACD;  (2)如果再添加条件　 　　　　,就可以直接根据 “ASA”得到△ABD≌△ACD;  (3)如果再添加条件　　 　　,就可以直接根据 “AAS”得到△ABD≌△ACD.  图1-3-52 AB=AC ∠ADB=∠ADC ∠B=∠C 23 5.已知:如图1-3-53,在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,E是线段AD上的点,且AD=BD,DE=DC. (1)求证:∠BED=∠C; 图1-3-53 解:(1)证明:∵AD⊥BC, ∴∠BDE=∠ADC=90°. 在△BDE和△ADC中, ∴△BDE≌△ADC(SAS). ∴∠BED=∠C. 24 (2)若AD=12,DC=5,求AE的长. 图1-3-53 (2)∵△BDE≌△ADC, ∴DE=DC=5. ∴AE=AD-DE=12-5=7. 6.(2025南京栖霞区期末)如图1-3-54,点B,F,C,E在一条直线上,FB= CE,AB=DE,AC=FD. 求证:(1)△ABC≌△DEF; 图1-3-54 证明:(1)∵FB=CE, ∴FB+FC=CE+FC, ∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中, 26 图1-3-54 ∴△ABC≌△DEF(SSS). 27 (2)AF=CD. 图1-3-54 (2)∵△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠E. 在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC(SAS), ∴AF=CD. 28 7.(2025淮安清江浦区模拟)如图1-3-55,AB=CD,AD=BC,AC,BD相交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F,则图中全等三角形有 (　　) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 能力提升综合练 C 图1-3-55 29 8.如图1-3-56,已知AC与BF相交于点E,AB∥CF,E为BF的中点,点D在AB上,连接CD.若CF=6,AD=4,则BD=　　　　.  图1-3-56 2 30 9.(2025扬州广陵区月考)如图1-3-57,直角三角形ACB中,∠ACB= 90°,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P,过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H. 求证:(1)△ABP≌△FBP; 图1-3-57 证明:(1)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴∠PAB+∠PBA=(∠ABC+∠BAC)=45°, ∴∠APB=180°-45°=135°, 31 ∴∠DPB=45°. ∵PF⊥AD,∴∠FPD=90°, ∴∠BPF=135°. 在△ABP和△FBP中, ∴△ABP≌△FBP(ASA). 图1-3-57 (2)AB=AH+BD. 图1-3-57 (2)∵△ABP≌△FBP, ∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF. ∵∠BAD=∠CAD, ∴∠F=∠CAD. 在△APH和△FPD中, 33 图1-3-57 ∴△APH≌△FPD(ASA), ∴AH=DF. ∵BF=DF+BD, ∴AB=AH+BD. 34 10.(2024扬州月考)学习与探究: 如图1-3-58①,OP是∠MON的平分线,A是OP上任意一点,用圆规分别在OM,ON上截取OB=OC,连接AB,AC,则△AOB≌△AOC,判定方法是SAS. 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: 素养发展创新练 图1-3-58 35 (1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE是△ABC的角平分线,AD,CE相交于点F,求∠EFA的度数. 图1-3-58 解:(1)∵∠ACB=90°,∠B=60°, ∴∠BAC=30°. ∵AD,CE是△ABC的角平分线, ∴∠DAC=∠BAC=15°,∠ECA=∠ACB=45°, ∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°. (2)在(1)的条件下,请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由. (2)FE=FD.理由如下: 在AC上截取AG=AE,连接FG,如图①. ∵AD平分∠BAC, ∴∠EAF=∠GAF. 在△EAF和△GAF中, ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°, ∴∠GFC=180°-60°-60°=60°. 又∵∠DFC=∠EFA=60°, ∴∠DFC=∠GFC. 在△FDC和△FGC中, ∴△FDC≌△FGC(ASA), ∴FD=FG,∴FE=FD. (3)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,试问(2)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 图1-3-58 (3)(2)中的结论FE=FD仍然成立. 证明:在AC上截取AH=AE,连接FH,如图②. 同(2)可得△EAF≌△HAF, ∴FE=FH,∠EFA=∠HFA. 又由(1)知∠FAC=∠BAC,∠FCA=∠ACB, ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=×(180°-∠B)=60°, ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°, ∴∠HFA=∠EFA=180°-120°=60°, 同(2)可得△FDC≌△FHC, ∴FD=FH,∴FE=FD. $$