1.5 等腰三角形 第2课时课件2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形 1.5 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 复习回顾 A B C 1．等边对等角． 等腰三角形有哪些性质呢？ 2．顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一． 获取新知 1.请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： ①在半透明纸上画一条线段BC． ②以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A． ③用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折． 问题1：AB与AC是否重合？ 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？ B C A D . 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC． 探索一： 在△BAD和△CAD中， 　 ∠1＝∠2， ∠B＝∠C， AD＝AD， ∴△BAD≌△CAD(AAS)， ∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)． 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC． 法一：作∠A的平分线交BC于D． A B C D 1 2 已知：在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC． 法二：过A点作AD⊥BC，垂足为D． A B C D ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC， 在△ADB和△ADC中， 　 ∠ADB＝∠ADC， ∠B＝∠C， AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC， ∴AB＝AC． 思考：通过这道题的证明你发现了什么结论？ 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 几何语言： B C A ( ( 在△ABC中, ∵∠B=∠C, ∴AB=AC. 归纳总结 思考：“等边对等角”与“等角对等边”是否一样？它们的主要区别在哪里？ （1）它们的条件与结论正好调换了过来，为互逆命题 等边 等角 等角 等边 （2）“等边对等角”为等腰三角形的性质定理 （3）“等角对等边”为等腰三角形的判定定理 dell (d) - 让学生感受等边三角形性质及判定的探究过程,通过几个学生的不同看法激发学生的学习兴趣和求知欲望. A B C E （ （ 1 2 D 例1 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分 ∠EAC，AD∥BC 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B， ∠2=∠C． 而已知∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） （等角对等边） 例题讲解 探究 在图中,如果AB=AC,AD∥BC,那么AD平分∠EAC吗?请证明你的结论. 解:AD平分∠EAC.证明如下: ∵AD∥BC, ∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C. ∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角). ∴∠EAD=∠DAC.∴AD平分∠EAC. 变式 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F. 求证:BE+CF=EF. 证明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC. ∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC. ∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE. 同理,CF=DF. ∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF. 拓展 如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC于点E. 求证:△AED是等腰三角形; 解:证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DE∥AB,∴∠EDA=∠BAD, ∴∠EDA=∠CAD,∴EA=ED, ∴△AED是等腰三角形. 遇角平分线构造等腰三角形的一般方法 (1)从角的平分线上任意取一点作角的一边的平行线,与另一边相交,得等腰三角形; (2)从角的一边任意取一点作角平分线的平行线,与另一边的反向延长线相交,得等腰三角形. 方法总结 12 例2 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上,且∠ABD=∠ACE,BD与CE相交于点O. 求证:OB=OC. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ABD=∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC. 13 变式 如图,在△ABC中,AB=AC,D是边AB上一点,∠BCD=∠A.求证:CD=CB. 证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵∠BDC是△ADC的一个外角, ∴∠BDC=∠A+∠ACD. ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A, ∴∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC,∴CD=CB. 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是 (　　) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60° B 随堂演练 2.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有(　D　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB交AC于点E,若DE=7,CE=8,则AC的长为　　　　.  15 4.在△ABC中,∠A=90°,当∠B=　　　　°时,△ABC是等腰三角形.  45 5.如图,在△ABC中,∠B=∠C=54°,D是边BC的中点,连接AD,则∠DAC的度数为　　　　.  36° 6.如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,ED⊥BC于点D,DE的延长线交BA的延长线于点F.求证:△AEF是等腰三角形. 证明:∵DF⊥BC,∴∠B+∠F=90°,∠C+∠DEC=90°. ∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠F=∠DEC. ∵∠AEF=∠DEC, ∴∠F=∠AEF, ∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形. 7.如图,在△ABC中,D为边AC上的一点,BD=BC,过点D作DE∥AB交BC于点E,且DE平分∠BDC.求证:AD=BC. 证明:∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=∠CDE. 又∵DE∥AB,∴∠BDE=∠ABD,∠EDC=∠A, ∴∠ABD=∠A, ∴AD=BD. ∵BD=BC,∴AD=BC. 课堂小结 22 $$