专题2.2直线的方程重难点题型讲义（3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

该高中数学讲义围绕直线方程这一核心主题，构建了“概念理解—形式互化—性质判断—综合应用”的四维知识体系，通过清晰的思维导图梳理点斜式、两点式、截距式、一般式等五种方程形式的适用条件与内在联系，并以表格对比呈现各形式的局限性与转化路径，帮助学生建立结构化认知框架，精准定位易错点如截距为零时不能使用截距式等重难点问题。 讲义的亮点在于融合数学眼光、思维与语言三大素养设计练习，例如在“直线过定点问题”中引导学生从参数变化中抽象出恒过定点的本质，培养几何直观和逻辑推理能力；在“面积最值问题”中运用代数运算与函数思想求解最优方案，提升建模意识与计算能力。每类题型均配有典型例题解析与变式训练，如第18题要求根据面积反推直线方程，既考查基础掌握又锻炼灵活迁移能力，适合不同层次学生自主突破。教师可据此开展分层教学，实现从知识再现到能力进阶的精准闭环。

专题2.2直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的方程的概念 题型二 直线的点斜式方程及辨析 题型三 直线图象的辨析 题型四 直线两点式方程及辨析 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型六 直线截距式方程及辨析 题型七 直线的一般式方程及辨析 题型八 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型九 由一般式方程判断直线的平行 题型十 由一般式方程判断直线的垂直 题型十一 由两条直线平行求方程 题型十二 由两条直线垂直求方程 题型十三 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程的概念、辨析及其互化 拓展训练二 直线图像相关问题 拓展训练三 方程与直线关系的相互判断问题 知识点一：直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【即时训练】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 2．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 【答案】或． 【分析】首先求出已知直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角，即可求出直线方程. 【详解】因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，且过点． 又直线与直线的夹角为，且过点， 如图所示，直线的倾斜角为或． 故直线的方程为：或． 故答案为：或 知识点二：直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【即时训练】 1．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】根据题意，由直线的两点式方程可得到直线方程的表达式，再令，即可得到结果. 【详解】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得， 化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 故选：A 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 知识点三：直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【即时训练】 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求直线的斜率，再求倾斜角. 【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a= 【答案】1或 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案. 【详解】由题意知直线l的方程为， 当时，直线为，不符题意，故， 令，则；令，则； 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则， 解得或， 时，直线为，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； 时，直线为，直线l在轴上的截距分别为，符合题意； 故答案为：1或. 【经典例题一 直线的方程的概念】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）下列命题，错误的个数是（    ） ①任意一条直线一定是某个一次函数的图像； ②关于x的一次函数的图像是一条直线； ③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程； ④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据曲线与方程一一对应的充要条件，对命题一一判断即可． 【详解】①直线不是一次函数，故错； ②一次函数的图像是一条射线，故错； ③方程的解为坐标的点都在直线上，但这个方程不是这条直线的方程，故错； ④曲线与方程一一对应用的充要条件是曲线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是曲线上的点坐标，故错． 故选：D 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点确定的直线方程是，求a，b的值． 【答案】， 【分析】将点的坐标代入直线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意点都在直线上，所以，，解得、； 1．（23-24·四川凉山·三模）若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出. 【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设， 即， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为. 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列四个结论：①方程与可表示同一直线；②直线过点，倾斜角为90°，则其方程；③直线过点，斜率为0，则其方程为；④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据取值范围不同可知①错误；由倾斜角为可知与轴垂直，可知②正确；根据直线点斜式可知③正确；当直线斜率不存在时，方程没有点斜式和斜截式，④错误. 【详解】中，；中， 与不能表示同一条直线，①错误 直线倾斜角为，则直线与轴垂直，又过    ，②正确 直线过点，斜率为，可得，即，③正确 当直线斜率不存在时，其方程不存在点斜式和斜截式方程，④错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查直线方程的相关命题的判定，属于基础题. 3．（23-24高二上·上海黄浦·期中）过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 【答案】或 【解析】求出直线与x轴的交点，由题可得所求直线的倾斜角为或，则可得直线方程. 【详解】直线与x轴的交点为， 且直线的斜率为，故倾斜角为， 则与该直线夹角为的直线的倾斜角为或， 故直线方程为或. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，平移后的方程为，根据截距相同，求得k. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为， 该直线与原直线相同，则. 则. 【经典例题二 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）观察图象，发现直线都经过点，怎么表示出经过点的直线方程？ 【答案】答案见解析 【详解】当斜率存在时，由直线的点斜式方程； 当斜率不存在时，． 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得直线的方程为，再验证. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，且过点， 所以直线的方程为， 当时，. 故选：D. 2．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：. 所以所求直线方程为：即. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先直线倾斜角和斜率的关系，求解直线的斜率，再写出点斜式直线方程； （2）由题意判断斜率不存在，根据直线所过的定点，写出直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的倾斜角为， 所求直线的倾斜角为，故其斜率为． 所求直线的点斜式方程为. （2）与轴平行的直线，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为． 【经典例题三 直线图象的辨析】 【例1】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】作出直线的图象，可得出结论. 【详解】作出直线的图象如下图所示： 由图可知，直线不过第三象限. 故选：C. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形. (1)； (2). 【答案】(1)斜率为－3，在y轴上的截距为5，图像见解析 (2)斜率为，在y轴上的截距为0，图像见解析 【分析】（1）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可； （2）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可. 【详解】（1）斜率为－3，在y轴上的截距为5；图像如下图： （2）斜率为，在y轴上的截距为0，图像如下图： 1．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两直线斜率符号相同可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，直线与直线斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线图象的识别，一般从斜率和截距来进行分析，属于基础题. 3．（23-24高三下·浙江温州·阶段练习）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为 ，一条直线可能经过 个象限. 【答案】 0，2，3 【解析】根据直线倾斜角的定义得出倾斜角的取值范围，考虑直线的各种不同情况可得出所过象限的个数. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为， 一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：，0或2或3． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与直线方程过象限问题，是基础题． 4．（23-24高二上·山西临汾·期中）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，顶点. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由平行四边形的性质可得，再利用点斜式即可求解. （2）根据题意可得，再由点斜式即可求解. 【详解】解：（1）在平行四边形中， 由边所在直线方程为， 可得. 又由顶点的坐标为， 由点斜式方程得直线的方程为， 即. （2）因为， 所以，又由顶点的坐标为， 由点斜式方程得直线的方程为， 即. 【经典例题四 直线两点式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的方程，两式相减即可求解. 【详解】由已知可得直线，直线，两式相减得，则直线与的交点满足此方程，又因为原点也满足此方程，所以此方程即为直线的方程． 故选：A． 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 1．（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·课前预习）两个坐标对称形式的两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程．我们把直线的两点式方程改写为 ，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【答案】 【分析】理解两点式方程，然后将等式交叉相乘即可． 【详解】将变形得到， 故答案为：． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 【经典例题五 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 【答案】或. 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解　∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为， 则直线方程为，即. ，即，， ∴直线方程为. 若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为， 则在轴上的截距为， 故直线方程为，即. ∵，即， ，直线方程为. 综上所述，直线的方程为或. 1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 2．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】求出直线与坐标轴的交点，根据面积公式即可求解. 【详解】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 3．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，求出直线与x，y轴的交点坐标，根据三角形的面积等于2即可得解. 【详解】设直线l的方程为，由题意得k<0，令x=0，得y=1;令y=0，得， 所以，即，解得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0. 【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出； （2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出. 【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则，解得m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则. 当m＝2时，S有最大值， 故直线l的方程为x＋y－2＝0. 【经典例题六 直线截距式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·重庆江津·期中）已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程； （2）分别讨论截距为和截距不为，两种情况分类讨论，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：由直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）解：当截距为0时，直线的方程为； 当截距不为0时，直线设为，代入,解得， 可得直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接化简求解即可． 【详解】直线的截距式方程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 【答案】 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点作直线l，若l分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B，当M为AB中点时，求直线l的方程． 【答案】 【分析】设直线l的方程为，根据M为AB中点求得，从而得到直线l方程. 【详解】不妨设，且，则直线l的方程为， 因为为中点，所以， 由截距式可知，直线l的方程为， 即. 【经典例题七 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 【例2】（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与x轴垂直； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点斜式写出直线方程，再变成一般式即可； （2）与x轴垂直的直线斜率不存在，直接写出直线方程即可. 【详解】（1）由点斜式，得，化简得. （2）直线方程为，即. 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故直线的方程是. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和两点，求直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象． 【答案】一般式方程为，截距式方程为；作图见解析 【分析】根据题意，结合直线的两点式方程，求得直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象. 【详解】由直线过点和两点， 根据直线的两点式方程，可得， 可得直线的一般式方程为， 可得，可得截距式方程为， 图象如图所示， 【经典例题八 线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 【例2】（2024高二·全国·专题练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线的方程． 【答案】或. 【分析】设截距式直线的方程为，再根据题意得到方程组，解出即可. 【详解】设直线的方程为， 由已知得.① 又直线过点，∴.② 由①②解得或， 故直线l的方程为或. 即或. 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化为斜截式得解. 【详解】依题意，直线，故其斜率为. 故选：A. 2．（24-25高二上·广西·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的一般方程得到直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】直线即，可得直线的斜率为，即， 又，所以． 故选：D 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）过点和点的直线一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用截距式写出方程式整理即可 【详解】由直线过点和点，则直线截距式方程为， 化成一般式方程为. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得. （2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解. 【详解】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． 【经典例题九 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 【例2】（23-24高三·江苏·专题练习）已知两条直线．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】利用两条直线平行的条件且(或)可证明. 【详解】由于， 所以. 【点睛】本题考查利用直线方程证明两条直线平行，属于基础题. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【答案】B 【分析】当，时，可得过点，由定点不在直线上，可得，即表示一条斜率与：相等的直线. 【详解】因为定点不在直线：上，则可令， 所以表示一条与：斜率相同的直线， 当，时，，所以过点， 所以表示过点且平行于的直线. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 3．（25-26高二上·全国·课前预习）若直线和直线的位置关系为 . 【答案】平行 【分析】将直线方程化为斜截式，利用两直线平行的判定判断即可. 【详解】直线即，直线即， 显然两直线斜率相等，纵截距不等， 故直线和直线的位置关系为平行. 故答案为：平行 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 【答案】， 【分析】根据题意，结合直线平行的结论与三角形的面积公式，解方程组即可. 【详解】∵，∴.① 由题意知，， 直线与轴、轴的交点坐标分别为，， 则，得.② 由①②，得，． 【经典例题十 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 【答案】C 【分析】根据直线一般方程的垂直关系可得，求解并检验即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得或. 当时，直线为，不符合题意，舍去. 当时，直线为， 直线为，符合题意. 所以. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，的方程分别是（，不同时为0），（，不同时为0），且，求证：． 【答案】见解析 【分析】写出两直线的方向向量，说明两方向向量内积为0即可. 【详解】证明：直线的方向向量为,直线的方向向量为, 则, 即与垂直，即. 1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为， 则两直线， 化简得，解得，或. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性与必要性分析即可. 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判断两直线平行或重合. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 【经典例题十一 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）直线，直线过点，且，求直线的方程． 【答案】 【分析】设该直线为，代入求出，得出所求直线方程. 【详解】因为，故设方程为，又点在上， 所以， 所以的方程为. 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的点斜式方程代入计算，然后化简，即可得到结果. 【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行， 所以直线的斜率也为，且直线经过点， 由直线的点斜式可得直线的方程为， 化简可得，进一步变形可得，再变形可得. 故选：B 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可. 【详解】因为两直线平行， 则有， 解得，经验证此时两直线不重合， 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形中，可设平行直线系方程，结合中点坐标公式求出点坐标，求得. 【详解】 由，可设直线且， 设点的坐标为，又，为对角线的中点， 所以，即，则， 由点在直线上，故， 解得，所以． 故答案为：. 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线方程； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得， 化简可得. （2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 【经典例题十二 由两条直线垂直求方程】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，所以的斜率之积为，可得到的斜率，再由过点，即可得到答案． 【详解】设直线的斜率分别为，由可知，， 由题意可知，，所以，所以． 因为过点，所以由直线的点斜式方程可知的方程为， 即． 故选：C. 【例2】（23-24高二上·山西运城·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 【答案】 【分析】求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】设边上的高所在直线为， 因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 又直线l过点，所以直线l的方程是，即为. 1．（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系确定直线的斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点， 所以所求直线方程为，整理得. 故选：C 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直设所求直线方程为，代入已知点坐标求得参数即得． 【详解】设所求直线方程为， 又直线过点，所以，， 所以直线方程为， 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线垂直的条件求解. 【详解】过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程可以写成． 由题意，过点和垂直的直线可写作，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点，直线：. (1)求过点且垂直于的直线方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件设出所求直线方程，将点的坐标代入即可； （2）当所求直线的截距为0时，由条件求出方程；当截距不为0时，由条件设直线方程为，然后将点坐标代入即可. 【详解】（1）设过点且垂直于的直线方程为， 则，， 所以过点且垂直于的直线方程为； （2）当直线的截距为0时，直线方程为，即； 当直线的截距不为0时，可设直线方程为， 将点代入可得，解得， 因此所求直线方程为，即. 故所求直线方程为或. 【经典例题十二 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 【答案】证明见解析， 【分析】法1，将方程变为，可得，运算得解；法2，取特值，得到关于的方程组，解方程组并代回方程检验. 【详解】法1，直线方程化为：， ，，解得， 直线（是参数且）过定点. 法2，（特殊直线法）取得，，联立解得，， 将代入检验满足方程， 直线是参数且过定点. 1．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程变形为，令，即可求解. 【详解】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若，在同一平面直角坐标系中作出直线与直线，则下列图中能表示上述两条直线的位置的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分析给定方程对应直线的斜率正负及过的定点，再结合图形判断即可. 【详解】由，得直线的斜率，纵截距为，B不满足； 直线的斜率，横截距为，ABD不满足； 选项C中两条直线符合要求. 故选：C 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 4．（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合条件，代入直线方程计算，即可证明直线过定点. 【详解】证明：因为，且不同时为0， 不妨设，则. 代入直线方程，得， 即， 此方程可视为过直线与的交点的直线系方程(不包括直线). 解方程组，解得， 即两条直线的交点的坐标为. 故直线必过定点. 【拓展训练一 直线方程的概念、辨析及其互化】 【例1】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断. 【详解】直线：，直线：， 两式相减可得. 因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上. 所以直线的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力. 【例2】（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 【答案】(1)5x－4y－9＝0． (2)或． 【分析】(1)根据两点式方程写出直线方程; (2)先设截距式方程,再根据条件列式求解即可. 【详解】（1）因为边上的中线就是， 所以由两点式方程：，得：5x－4y－9＝0． （2）设直线的方程为， 则有或， 所以直线的方程为：或． 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】用点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点为，，再由截距的绝对值相等列式，求解得的值有3个，从而得结论. 【详解】由题意，该直线斜率存在且不为，设所求直线的方程为， 令，则；令，则， 因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等， ，化简得或， 解得或或， 所以过并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条. 故选：C 2．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以直线的斜率为标准，对参数分类讨论，解出即可. 【详解】若，则的方程为，不经过第四象限． 若，则的方程为，经过第四象限． 若且，将的方程转化为， 因为经过第四象限，所以或 解得或或． 综上知，的取值范围为， 故选： 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【分析】由题知图形为正方形，再往内外膨胀1个单位可得到图形，再计算面积即可. 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 【拓展训练二 直线图像相关问题】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，直线l：y－2＝ (x－1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程. 【答案】x＝1或x－y＋2－1＝0. 【分析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝ (x－1)知，则倾斜角为60°. 则.当α′＝90°时及α′＝30°时，均满足l与l′所夹的锐角为30°，由此可得所求方程.. 【详解】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝ (x－1)知，直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝ (x－1)，即x－y＋2－1＝0. 综上，所求直线l′的方程为x＝1或x－y＋2－1＝0. 【点睛】本题考查了直线方程的点斜式、分类讨论思想方法，属于基础题． 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据题意直线的斜率存在，且不过原点，进而设方程为，，再根据题意得，解方程即可得答案. 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 【答案】[，＋∞) 【分析】先根据一次函数的图象不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则 故答案为：[，＋∞). 【点睛】本题考查的是直线的图象与系数的关系，熟知直线y=kx+b中，当 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键． 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 【拓展训练三 方程与直线关系的相互判断问题】 【例1】（23-24高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【答案】B 【分析】根据直线平行的充要条件判定即可. 【详解】由：， 可得， 因为且， 所以与平行 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直关系设所求直线方程，将点P坐标代入整理即可. 【详解】因为直线， 所以设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程得，，所以， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为 ． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】②③④ 【解析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确． ②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判断②． ③若，即可得到，即可判断③． ④若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故①不正确； 若，则， 即， ， 即过、两点的直线与直线平行，故②正确； 若，则 即，， 直线经过线段的中点，即③正确； 若，则，或， 即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等． 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 则直线的方程为，即. （2）当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 6．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 7．（多选）（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（2023高二下·海南·学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程. 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 9．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 【答案】ABC 【分析】根据的正负判断函数的单调性及所过象限. 【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确； 若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确； 若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误． 故选：ABC 10．（多选）（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【分析】由题设得，再求出截距并列方程求参数值即可. 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 11．（25-26高二上·全国·课前预习）（1）如图，直线l经过点(其中)，则方程 称为直线方程的截距式．    （2）由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线，那么过原点的直线可以表示为 ；与x轴垂直的直线可以表示为 ；与y轴垂直的直线可以表示为 ． 【答案】 或 【分析】略 【详解】略 12．（25-26高二上·全国·课后作业）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】解法一根据得，计算可得，由直线点斜式方程求解即可；解法二利用垂直直线方程，设直线，由直线过点，代入求解即可. 【详解】解法一：由方程可知，的斜率为，点在直线上， 由顺时针旋转后得到，所以，所以， 因为过点，所以的方程为，即． 解法二：由题意知，，则可设直线， 因为直线过点，所以， 解得，所以． 故答案为： 13．（24-25高一下·上海·期末）无论取何实数，直线都经过定点 【答案】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程表示两条相交直线，则 ． 【答案】 【分析】由表示两条直线，可知其判别式应为完全平方式，由此可解. 【详解】因为关于的方程表示两条相交直线， 可将x看作未知数，故 为完全平方式， 再将该式看作为关于y的二次三项式，则为完全平方式， 故，即得. 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 故答案为： 15．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    【答案】 【分析】当时，由图形直接求出直线方程得到折痕长度，当时，由点关于直线的对称点得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程，最后结合两点间距离公式和二次函数求出结果； 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    16．（2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】根据给定条件，利用公式求出，结合的取值情况求出范围. 【详解】设直线与线段的延长线相交于点， 由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 18．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 【答案】． 【分析】设直线的方程为，根据面积得到方程，求出，得到直线方程. 【详解】设直线的方程为，令，得，令，得， 故，解得，即直线的方程为． 19．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 20．（24-25高二上·四川·期中）已知在中，，分别在线段上，且． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的斜率和垂直关系可得边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可. （2）先由题意得，即为的中点，接着由中点坐标公式、直线的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线的方程，再转化成一般式即可. 【详解】（1）由题直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为， 化为斜截式为. （2）因为的面积为面积的分别在线段上，且， 所以为的中点，即， 又直线的斜率为， 所以直线的斜率也为， 所以直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2直线的方程重难点题型专训 （3个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 直线的方程的概念 题型二 直线的点斜式方程及辨析 题型三 直线图象的辨析 题型四 直线两点式方程及辨析 题型五 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型六 直线截距式方程及辨析 题型七 直线的一般式方程及辨析 题型八 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型九 由一般式方程判断直线的平行 题型十 由一般式方程判断直线的垂直 题型十一 由两条直线平行求方程 题型十二 由两条直线垂直求方程 题型十三 直线过定点问题 拓展训练一 直线方程的概念、辨析及其互化 拓展训练二 直线图像相关问题 拓展训练三 方程与直线关系的相互判断问题 知识点一：直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【即时训练】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为 ． 知识点二：直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【即时训练】 1．（23-24高二上·贵州·开学考试）某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 知识点三：直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 【即时训练】 1．（24-25高二上·天津·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a= 【经典例题一 直线的方程的概念】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）下列命题，错误的个数是（    ） ①任意一条直线一定是某个一次函数的图像； ②关于x的一次函数的图像是一条直线； ③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程； ④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知点确定的直线方程是，求a，b的值． 1．（23-24·四川凉山·三模）若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24高一·全国·课后作业）下列四个结论：①方程与可表示同一直线；②直线过点，倾斜角为90°，则其方程；③直线过点，斜率为0，则其方程为；④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·上海黄浦·期中）过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置．试求直线l的斜率． 【经典例题二 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）观察图象，发现直线都经过点，怎么表示出经过点的直线方程？ 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 4．（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 【经典例题三 直线图象的辨析】 【例1】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形. (1)； (2). 1．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·浙江温州·阶段练习）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为 ，一条直线可能经过 个象限. 4．（23-24高二上·山西临汾·期中）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，顶点. （1）求边所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【经典例题四 直线两点式方程及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）设的三个顶点分别为，，，且不相等，点在线段上（异于端点）．若均为非零实数，直线，分别交直线，于点，，某同学已正确算得直线的方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 1．（24-25高二上·北京丰台·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课前预习）两个坐标对称形式的两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．但不等于说只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有两点式方程．我们把直线的两点式方程改写为 ，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【经典例题五 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例1】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线l过点P(0，1)，且与x，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于2，则直线l的方程是 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l： （1）若直线l的斜率是2，求m的值； （2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程． 【经典例题六 直线截距式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【例2】（23-24高二上·重庆江津·期中）已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·期中）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点作直线l，若l分别交x轴、y轴的正半轴与点A，B，当M为AB中点时，求直线l的方程． 【经典例题七 直线的一般式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25高二上·甘肃天水·阶段练习）根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与x轴垂直； 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和两点，求直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象． 【经典例题八 线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二·全国·专题练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线的方程． 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广西·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津滨海新·期中）过点和点的直线一般式方程为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【经典例题九 由一般式方程判断直线的平行】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（23-24高三·江苏·专题练习）已知两条直线．求证：. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 2．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）若直线和直线的位置关系为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）已知直线，，，且在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数，的值． 【经典例题十 由一般式方程判断直线的垂直】 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若直线垂直于直线，则（    ） A．0或-3 B．0 C．-3 D．3 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，的方程分别是（，不同时为0），（，不同时为0），且，求证：． 1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 2．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 4．（23-24高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【经典例题十一 由两条直线平行求方程】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）直线，直线过点，且，求直线的方程． 1．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江金华·期末）直线：与直线：互相平行，则（    ） A．1 B．4 C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行四边形的顶点，边所在直线方程是，对角线的交点为，则边所在直线方程为 ． 4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线方程； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【经典例题十二 由两条直线垂直求方程】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·山西运城·期中）已知的三个顶点的坐标分别为，，.求边上的高所在直线的方程. 1．（24-25高二上·四川巴中·期末）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的方程为，则过点且与l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是 ． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知点，直线：. (1)求过点且垂直于的直线方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【经典例题十二 直线过定点问题】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）证明：直线（是参数且）过定点，并求出定点坐标． 1．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）若，在同一平面直角坐标系中作出直线与直线，则下列图中能表示上述两条直线的位置的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 4．（2023高二上·全国·专题练习）若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点. 【拓展训练一 直线方程的概念、辨析及其互化】 【例1】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l过，并在两坐标轴上的截距的绝对值相等，那么这样的直线l共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若直线：经过第四象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【拓展训练二 直线图像相关问题】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，直线l：y－2＝ (x－1)过定点P(1,2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程. 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·上海虹口·期末）已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【拓展训练三 方程与直线关系的相互判断问题】 【例1】（23-24高二上·辽宁·期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 1．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为 ． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. (1)与直线：垂直； (2)两坐标轴上截距相反. 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 6．（多选）（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知直线，直线，则（    ） A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行 C．当时， D．当时， 8．（多选）（2023高二下·海南·学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 10．（多选）（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 11．（25-26高二上·全国·课前预习）（1）如图，直线l经过点(其中)，则方程 称为直线方程的截距式．    （2）由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线，那么过原点的直线可以表示为 ；与x轴垂直的直线可以表示为 ；与y轴垂直的直线可以表示为 ． 12．（25-26高二上·全国·课后作业）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是 ． 13．（24-25高一下·上海·期末）无论取何实数，直线都经过定点 14．（2025高三·全国·专题练习）若关于的方程表示两条相交直线，则 ． 15．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    16． （2025高三·全国·专题练习）已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 18.（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，且与坐标轴围成的图形面积是12，求直线的方程． 19．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 20．（24-25高二上·四川·期中）已知在中，，分别在线段上，且． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)若的面积为面积的，求直线的一般式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $