2025年甘肃省中考数学试卷

2025年甘肃省中考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．（3分）﹣2+5＝（　　） A．﹣10 B．﹣7 C．﹣3 D．3 2．（3分）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　） A．4.5142×109 B．4.5142×1010 C．4.5142×1011 D．4.5142×1012 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a2+3a2＝6a2 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（3a）2＝9a2 4．（3分）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 5．（3分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 6．（3分）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 8．（3分）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　） A．2022年．人均纸质书籍阅读量为5本 B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本 C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍 D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升 9．（3分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 10．（3分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）因式分解：x2﹣6x+9＝　 　 ． 12．（3分）方程的解是x＝　 　 ． 13．（3分）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）． 14．（3分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　 　 cm． 15．（3分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　 　 cm． 16．（3分）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　 个正方形． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）计算：． 18．（4分）解不等式组：． 19．（4分）化简：． 20．（6分）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心， AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D； ②在射线DM上截取DC＝a； ③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O； ④以点O为圆心，OC的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 21．（6分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　 　 ； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 22．（8分）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 23．（7分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）　 　 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 24．（7分）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数y的表达式； （2）当△ABC的面积为3时，求m的值． 25．（8分）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长． 26．（8分）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并将明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由． 27．（10分）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 2025年甘肃省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C． D A B A C C B A 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。 1．（3分）﹣2+5＝（　　） A．﹣10 B．﹣7 C．﹣3 D．3 【解析】解：原式＝+（5﹣2）＝3， 故选：D． 2．（3分）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　） A．4.5142×109 B．4.5142×1010 C．4.5142×1011 D．4.5142×1012 【解析】解：451420000000＝4.5142×1011． 故选：C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a2+3a2＝6a2 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（3a）2＝9a2 【解析】解：2a2+3a2＝5a2，则A不符合题意， a6÷a2＝a4，则B不符合题意， （a2）3＝a6，则C不符合题意， （3a）2＝9a2，则D符合题意， 故选：D． 4．（3分）如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【解析】解：如图2所示， ∵a∥b， ∴旋转后∠2＝∠1＝80°， ∴要使木条a与b平行，木条a绕点A顺时针旋转的度数是110°﹣80°＝30°． 故选：A． 5．（3分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3 【解析】解：∵一元二次方程3x2﹣6x+m＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3m≥0， ∴m≤3． 故选：B． 6．（3分）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【解析】解：设原多边形的边数为n， 则可得180（n﹣2）＝1620， 解得 n＝11， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12， 故选：A． 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【解析】解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣7°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． 故选：C． 8．（3分）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　） A．2022年．人均纸质书籍阅读量为5本 B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本 C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍 D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升 【解析】解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确； 2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确； 2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本， ∵12.3÷5.3≈2.32， ∴2024年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误； 2016年至2024年人均电子书籍阅读量不是逐年上升的，故D正确． 故选：C． 9．（3分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【解析】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 10．（3分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【解析】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为4， 如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（3分）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2　 ． 【解析】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 12．（3分）方程的解是x＝　﹣1　 ． 【解析】解：两边同时乘以（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得x＝﹣1． 经检验：x＝﹣1是原方程的解． 故答案为：﹣1． 13．（3分）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）． 【解析】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2， ∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小， ∴k＞0， 不妨令k＝6， 故答案为：6（答案不唯一）． 14．（3分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　12　 cm． 【解析】解：∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm， ∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠CED＝∠EAC+∠ECA， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝2CD＝12cm， 故答案为：12． 15．（3分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝．风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 　195　 cm． 【解析】解：∵小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm， ∴小风筝两条对角线长的和为30+35＝65（cm）， ∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为3：1， ∴大风筝两条对角线长的和：小风筝两条对角线长的和＝3：1， ∴大风筝两条对角线长的和＝3×65＝195（cm）， 故答案为：195． 16．（3分）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　31　 个正方形． 【解析】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有1+21＝3个正方形， 第3个图形有1+21+22＝7个正方形， ∴第5个图形中共有1+21+22+23+24＝31个正方形， 故答案为：31． 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）计算：． 【解析】解：原式＝2 ． 18．（4分）解不等式组：． 【解析】解：， 由①得，x≥﹣4， 由②得，x＜5， ∴不等式组的解集为：﹣4≤x＜5． 19．（4分）化简：． 【解析】解：原式• ＝1． 20．（6分）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心， AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D； ②在射线DM上截取DC＝a； ③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O； ④以点O为圆心，OC的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【解析】解：如图3所示． 21．（6分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘，等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘． （1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为　　 ； （2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率． 【解析】解：（1）由题意可得， 任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为， 故答案为：； （2）树状图如下： 由上可得，一共有9种等可能性，其中指针所落区域颜色不同的可能性有6种， ∴指针所落区域颜色不同的概率为． 22．（8分）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度．某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B、F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG＝16.7°，∠AEG＝22°，其中CD＝EF＝1.7m（测角仪的高度），DF＝CE＝5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30） 【解析】解：由题意得：CG⊥AB，CD＝EF＝BG＝1.7m， 设EG＝x m， ∵CE＝DF＝5.5m， ∴CG＝CE+EG＝（x+5.5）m， 在Rt△ACG中，∠ACG＝16.7°， ∴AG＝CG•tan16.7°≈0.3（x+5.5）m， 在Rt△AEG中，∠AEG＝22°， ∴AG＝EG•tan22°≈0.4x（m）， ∴0.4x＝0.3（x+5.5）， 解得：x＝16.5， ∴AG＝0.4x＝6.6（m）， ∴AB＝AG+BG＝6.6+1.7≈8.3（m）， ∴长城第一墩的高度AB约为8.3m． 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 23．（7分）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：m＝　8.5　 ，n＝　8　 ； （2）　乙　 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【解析】解：（1）乙运动员的成绩按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，9，9，9，10，10， 所以乙的中位数m8.5， ∴甲运动员成绩中8环的最多，故众数n＝8； 故答案为：8.5，8； （2）∵甲的方差是2.01，乙的方差是1.61，1.61＜2.01， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； （3）他说得不对， 理由：虽然甲、乙两人射击成绩的平均数一样，但是乙的方差比甲的小，说明乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定，所以应该推荐乙队员参赛． 24．（7分）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数y的表达式； （2）当△ABC的面积为3时，求m的值． 【解析】解：（1）由题意得：﹣1+4＝a， 解得：a＝3， ∴点B坐标为（﹣1，3），代入比例函数y得：k＝﹣3， ∴反比例函数的表达式为； （2）一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后的图象的表达式为y＝x+4﹣m， 令y＝0得：x+4﹣m＝0， 解得：x＝m﹣4， ∴点C坐标为（m﹣4，0）， ∵一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A， ∴点A的坐标（﹣4，0）， ∴AC＝m， ∵点B坐标为（﹣1，3）， ∴， ∴m＝2． 25．（8分）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO＝∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是EB延长线上的一点，∠BCD∠AOB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若四边形ABCO是平行四边形，EF＝3，求CD的长． 【解析】（1）证明：∵OA＝OC＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB， ∵∠BAO＝∠BCO， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝∠COB， ∴， 连接CE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠OCE+∠OCB＝90°， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵∠EAOB，∠BCD∠AOB， ∴∠BCD＝∠ECO， ∴∠DCO＝∠DCB+∠BCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC， ∴四边形ABCO是菱形， ∴BC＝OC＝OB，AC⊥OB，OFOBOE， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠E∠BOC＝30°， ∵EF＝3， ∴OF＝1，OE＝2， ∴OC＝2， ∵∠DOC＝60°， ∴CD＝OC•tan60°＝22． 26．（8分）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并将明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由． 【解析】解：（1）BF＝DG，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵△EFG是直角三角形，EG＝EF， ∴∠FEG＝90°， 当点E与点A重合时， 则∠FAG＝90°＝∠BAD， ∴∠DAG＝∠BAF＝90°﹣∠DAF， 又∵AB＝AD，AG＝AF， ∴△ADG≌ABF， ∴BF＝DG； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠DAB＝90°， ∵点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P， ∴∠PAE＝∠EDG＝90°， ∴∠P+∠AEP＝90°， ∵∠FEG＝∠DEF+∠DEG＝90°，∠AEP＝∠DEF， ∴∠P＝∠DEG， ∵EG＝EF，EF＝EP， ∴EG＝EP， 在△APE和△DEG中， ， ∴△PAE≌△EDG， ∴AE＝DG； （3），理由如下： 由（2）可知：△PAE≌△EDG， ∴AE＝DG，AP＝DE， 作FH⊥AB于点H， 则∠FHB＝∠FHA＝90°＝∠PAE， ∴AE∥FH， ∴， ∴PA＝AH， ∵PE＝EF， ∴AE为△PHF 的中位线， ∴HF＝2AE， ∵AP＝DE，PA＝AH， ∴DE＝AH， 又∵AD＝AB， ∴AE＝BH， 在Rt△BHF中，由勾股定理，得：， ∵AE＝DG， ∴． 27．（10分）如图1，抛物线y＝a（x）（x﹣4）（a≠0）分别与x轴，y轴交于A，B（0，﹣4）两点，M为OA的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积； （3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF． ①当AE时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA＝90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值． 【解析】解：（1）把B（0，﹣4），代入y＝a（）（x﹣4）（a≠0）， 得﹣10a＝﹣4， 解得：， ∴y； （2）当y0时， 则，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵M是OA的中点， ∴M（2，0）， ∴OM＝2， ∵B（0，﹣4）， ∴设直线AB的解析式为：y＝kx﹣4，把A（4，0），代入， 得k＝1， ∴y＝x﹣4， ∵点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D， ∴C（2，﹣2），D（2，）， ∴， ∴△BCD的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接BF，作FQ⊥OB于点Q， 由（2）可知：OA＝OB＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝45° ∵将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF， ∴OE＝OF，∠EOF＝90°＝∠BOA， ∴∠AOE＝∠BOF， 又∵OA＝OB，OE＝OF， ∴△AOE≌△BOF（SAS）， ∴∠OBF＝∠OAE＝45°，， ∵FQ⊥OB， ∴△FQB为等腰直角三角形， ∴， ∴OQ＝OB﹣BQ＝3， ∴F（﹣1，﹣3）， 对于， 当x＝﹣1时，， ∴点F在抛物线上； ②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图， ∵∠OPA＝90°，M为OA的中点， ∴， ∵PF≥MF﹣PM， ∴当M，P，F三点共线时，PF最小， 同①可得，∠OBF＝∠OAE＝45°， ∴点F在射线BG上运动， ∴当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH﹣PM， ∵∠OBG＝45°， ∴△OBG为等腰直角三角形， ∴OG＝OB＝4，∠BGO＝45° ∴MG＝OG+OM＝6，△MHG为等腰直角三角形， ∴， ∴PF的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$