2025年福建省中考数学试卷

2025年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列实数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 2．（4分）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 3．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 4．（4分）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　） A．5° B．15° C．25° D．35° 8．（4分）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 9．（4分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 10．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　 　 ． 12．（4分）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　 　 m． 13．（4分）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　 　 ． 14．（4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　 　 ． 15．（4分）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A 　 　 B．（填“＞”“＝”或“＜”） 16．（4分）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 　 　 千克． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：20+|1． 18．（8分）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a1． 20．（8分）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月10日 2月21月 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，85；方差分别是s甲2＝58.4，s乙2＝a． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G． （1）求∠DCE的大小； （2）求证：△CEG是等边三角形． 22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 23．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 24．（12分）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　 　 ； 当c＜a且c＜b时，②　 　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 25．（14分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 2025年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． D D A C B B C C A 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列实数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【解析】解：∵﹣1＜02， ∴最小的数是：﹣1． 故选：A． 2．（4分）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【解析】解：由题意，得x﹣1≥0， ∴x≥1， ∴实数x的值可以是2． 故选：D． 4．（4分）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1．云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：A． 5．（4分）不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：∵x+1≤2， ∴x≤2﹣1， x≤1， 则x≤2， 故选：C． 6．（4分）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故选：B． 7．（4分）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，∠ADE的大小为（　　） A．5° B．15° C．25° D．35° 【解析】解：根据题意得，∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝45°， ∵∠DEF＝∠DAC+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°， 故选：B． 8．（4分）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 【解析】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6， 故选：C． 9．（4分）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解析】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． 10．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【解析】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　﹣1　 ． 【解析】解：为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（4分）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　4　 m． 【解析】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴DEAB8＝4（m）． 故答案为：4． 13．（4分）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　﹣2　 ． 【解析】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，1）， ∴k＝﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 14．（4分）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 　1　 ． 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴DO＝BO＝1，CD∥AB， ∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴△DOF的面积＝△BOE的面积， ∴△AOE与△DOF的面积之和＝△BOA的面积2×1＝1， 故答案为：1． 15．（4分）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A 　＞　 B．（填“＞”“＝”或“＜”） 【解析】解：由题意得：，解得A＝90， ，解得B＝80， ∵90＞80， ∴A＞B， 故答案为：＞． 16．（4分）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 　0.8　 千克． 【解析】解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx， 得0.5g＝0.5k， 解得k＝g， ∴F与x的函数关系式为F＝gx， 将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx， 得mg＝0.8g， 解得m＝0.8， ∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克． 故答案为：0.8． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：20+|1． 【解析】解：原式 ． 18．（8分）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD． 【解析】证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF， ∵∠ABC＝180°﹣∠CBE，∠ADC＝180°﹣∠CDF， ∴∠ABC＝∠ADC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AD． 19．（8分）先化简，再求值：，其中a1． 【解析】解：原式 ， 当a1时， 原式 ． 20．（8分）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月10日 2月21月 3月5日 3月14日 3月25日 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是85，85；方差分别是s甲2＝58.4，s乙2＝a． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【解析】解：（1）由题意得：a[2×（82﹣85）2+2×（83﹣85）2+（84﹣85）2+（85﹣85）2+2×（86﹣85）2+（87﹣85）2+（92﹣85）2]＝8.2， 两人的平均数相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成绩更稳定； （2）选甲更合适，理由如下： 因为当地近五年高中数学联赛获奖分数线都在89分或89分以上，在两个10次成绩中，甲有4次超过89分，乙只有1次超过89分，所以甲获奖的概率更高，所以选甲更合适； （3）选甲更合适，理由如下： 解法1：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适； 解法2：因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更合适． 21．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G． （1）求∠DCE的大小； （2）求证：△CEG是等边三角形． 【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA∠ACB60°＝30°． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°． （2）证明：由平移可知：CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°， 又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE，∠AEC＝120°， 又∵AB＝CB， ∴BE垂直平分AC， ∴∠GEC∠AEC120°＝60°， 由（1）知，∠GCE＝60°， ∴∠EGC＝60°， ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC， ∴△CEG是等边三角形． 22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 【解析】解：（1）正方形EFGH即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD2， ∴OB＝OD， ∵tan∠ADB， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴OE＝OH，EO⊥OH， ∴EHOE， ∴正方形EFGH的边长为． 23．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（1，t），B（2，t）． （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的最大值为1． （i）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【解析】（1）解：二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象的对称轴为直线， ∵点A（1，t），B（2，t）在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （2）①解：由（1）可得， ∵b＝﹣3a， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣3ax﹣2， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴a＜0，且， 解得a＝﹣1，或a＝4（舍去）， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x﹣2， ②证明：∵点M（x1，m）在函数y＝﹣x2+3x﹣2的图象上， ∴， 由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，不妨设x1＜x2， 则，即x1+x2＝3， ∴ ＝0， ∴． 24．（12分）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　当c＜a且c≥b时，可得，得，不合题意　 ； 当c＜a且c＜b时，②　当c＜a且c＜b时，可得，可得，得，即得 p＝m+n　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【解析】解：（1）小明的猜想不正确， 反例：3×4＝12； （2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②所以，又，所以， 由（*）知所以 p＝m+n； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A， 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1， 当a＜b时，必有a＜c， 此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n， 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 25．（14分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠DBE+∠E， ∴∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）证明：连接CD，如图， ∵BG＝DG， ∴∠ABD＝∠GDB， 由（1）知：∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA， ∴∠DBE＝∠GDA， ∵∠DBE＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠GDA， ∴AH＝HD． ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠GDB． ∵∠CHD＝∠DHF， ∴△CHD∽△DHF， ∴， ∴HD2＝HC•HF， ∴AH2＝HF•HC； （3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AM⊥BC，CM＝BM， ∴tan∠ABC， 设BM＝k，则AMk，BC＝2k， ∴ABk， ∵AD＝2DE， ∴设DE＝a，则AD＝2a， ∴AE＝AD+DE＝3a． ∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠BAD＝∠EAB， ∴△BAD∽△EAB， ∴， ∴， ∴k＝a， ∴DE＝k，AE＝3k， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC， ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0， ∵CE＞0， ∴CE＝k， ∵△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴AB＝3． 由（2）知：AH＝HD，BG＝DG， ∴△AGH的周长＝AG+GH+AH ＝AG+GH+HD ＝AG+GD ＝AG+GB ＝AB ＝3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$