4.2　简单的三角恒等变换（5大考点+9大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

4.2　简单的三角恒等变换 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、两角和与差公式 3 二、二倍角公式 3 三、降幂公式 3 四、升幂公式 3 五、辅助角公式 4 常用二级结论 4 03 探究核心题型 6 题型一：两角和与差的三角函数公式 6 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 8 题型三：辅助角公式的多种应用 10 题型四：给值求值型问题 13 题型五：给角求值型问题 16 题型六：给值求角型问题 18 题型七：正切恒等式的综合应用 22 题型八：三角函数式的化简 24 题型九：三角恒等变换的综合应用 28 04 好题赏析（一题多解） 32 ①数形结合 36 ②转化与化归 38 ③分类讨论 39 06 课时精练（真题、模拟题） 41 基础过关篇 41 能力拓展篇 53 1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换. 一、两角和与差公式 ①；③； ②；④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 二、二倍角公式 ①； ②； ③ 三、降幂公式 ①； ②； ③． 四、升幂公式 ①， ②； ③， ④． 五、辅助角公式 ． ①其中辅助角是由方程，，．决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证，． 常用二级结论 1、积化和公式 ① ② ③ 2、和化积公式 ① ② ③ ④ 3、化简小技巧： ①1的代换：； ②． 4、两角互组，两角互补，两角互余 ①两角互组： ②两角互补： ③两角互余： 题型一：两角和与差的三角函数公式 【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 所以，，得， 又，且，所以， . 故选：B． 【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知 ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 整理得，即； 因为， 由于，， 所以，即， 故选：C． 【解题总结】 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 【变式1-2】的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D． 【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边与圆交于点， 所以由任意角三角函数定义得，， 设旋转后的角为，且旋转后的角交圆于点， 则由任意三角函数的定义得，， 得到， ， 故，当时，，故D正确. 故选：D 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知，则 （    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 即， 所以，即 故选：A. 【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、利用二倍角公式， 可得：，A错误. B、利用余弦和角公式， 得：因此原式为：，B错误. C、利用正切和角公式，令， 则，C正确. D、利用递推积化和差公式，结合，得：. D错误. 故选：C. 【解题总结】 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. 【变式2-1】（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有，，即， 由有，，即②， ①+②得，， 即，则，解得. 故选：B. 【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以， 因为，，所以，， 因为正弦函数在上单调递增，所以，即. 故选：D. 【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）（   ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】C 【解析】， 故选：C. 题型三：辅助角公式的多种应用 【典例3-1】已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，即， 所以，即，解得， 所以， 故答案为：. 【典例3-2】已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 【答案】 【解析】因为， 所以， 关于的方程在上有两个不同的实数解， 即直线在上的图象有两个不同的交点， 设关于的方程两相异实数根为， 因为函数的图象在区间上的对称轴为， 所以. 故答案为： 【解题总结】 对化简时，要清楚如何求辅助角的值. 【变式3-1】已知，则的值为 . 【答案】 【解析】， ， 故答案为：. 【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】依题可设，，，， 由，可得 而， 可先求的最小值， 设，则， 从而有 ， 因此， 解得 则， 可知最大值为 故答案为： 【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，，设， 则， 其中， 可知的最大值为，其中，即， 可得， 综上所述：的最大值为，其中. 故答案为：. 题型四：给值求值型问题 【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为， 即，解得， 所以 . 故答案为： 【典例4-2】已知，满足，，则 ． 【答案】/ 【解析】由，， 有． 故答案为： 【解题总结】 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【变式4-2】已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】，，，， ，， ，. . 故答案为：. 【变式4-3】若和都为锐角，，则 . 【答案】 【解析】因为和都为锐角，则， 且，可得， 所以. 故答案为：. 【变式4-4】已知，，，则 . 【答案】 【解析】由题意可知，所以， 即， 又，所以， 则， 所以， 所以. 故答案为： 题型五：给角求值型问题 【典例5-1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】依题意可得，，， 所以 . 故选：B 【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 【解题总结】 给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 . 故选：B. 【变式5-2】 ． 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【变式5-3】求值： ． 【答案】 【解析】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 【变式5-4】 ． 【答案】 【解析】由正切的和角公式得若，则，再根据此结论求解即可得答案.∵ ，， ∴， ∴ ． ∴ 故答案为： 题型六：给值求角型问题 【典例6-1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 【典例6-2】已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 【解题总结】 针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等工具，准确求出该角度的具体数值 。 【变式6-1】设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以. 故选：B. 【变式6-2】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，， ， ， .又， ， . ，，， . 故选：D. 【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 【变式6-4】已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 又， 所以， 所以， 故 ， 因为，， 所以，则． 解法二：因为， 所以，， ∵， 所以，，， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 题型七：正切恒等式的综合应用 【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以 ， 故选：D． 【典例7-2】（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【解题总结】 当时， 【变式7-1】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由两角和的正切公式得 由诱导公式得， 则原式可化为，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即，所以， 又因为，所以，于是， 故选：B． 【变式7-3】（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故选：B. 【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为 . 故选：B. 【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列满足，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 所以，.又，所以， 解得，故. 故选：B. 题型八：三角函数式的化简 【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得 ， 故A错误； 对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得 ，故B正确； 对于C，由辅助角公式可知， 故C正确； 对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确. 故选：BCD. 【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A, ，A错误， 对于B，，B正确， 对于C, ，C正确， 对于D， ，故D错误， 故选：BC 【解题总结】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，故A错误． 对于B，由 ，故B正确； 对于C，∵设， 则， 而，故即，故C正确． 对于D， ，所以D正确. 故选：BCD. 【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：BCD． 【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A， ，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ， 则，故C错误； 选项D，，故D正确. 故选：BD. 【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若为第二象限角，则 【答案】ACD 【解析】，A正确； 由，可得，B错误；，C正确； 若为第二象限角,所以，， ，D正确； 故选：ACD． 题型九：三角恒等变换的综合应用 【典例9-1】（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【解析】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 【典例9-2】已知，，，，. (1)求，的值； (2)求的值. 【解析】（1），. ，， 又，. ，则. 由，可得， 即，所以. 又，. . （2）由（1）可知，， ，，则. 所以 . 【解题总结】 进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 【变式9-1】已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 【变式9-2】已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）均为锐角， ，， 故， 又，， ， ， 故； （2）， ，， . 【变式9-3】已知，为锐角，，． (1)求证：； (2)求的值． 【解析】（1）因为， 所以，又， 所以， 所以，即， 所以； （2）， 所以， 因为为锐角，所以，，所以， 所以，所以. 【变式9-4】已知函数（其中）的最小正周期为. (1)若，求的值； (2)已知，求的值. 【解析】（1）， 因为，所以，则， 所以. 因为，所以原式. （2）因为，所以， 因为，所以，则， 所以. 1．已知，是函数在上的两个零点，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B  【解析】 解法一：依题意，，故， 由， 得，且， 所以，是方程的两个异根． 同理可证，，为方程的两个异根．可以得到， 理由如下：假设，则，又，则，这与已知相悖，故 从而，为方程的两个异根， 故同理可求， 所以 解法二：令，得 令，即， 则，即为与直线在上交点的横坐标， 由图象可知，，故， 又， 所以 解法三：依题意，不妨设， 则点，为直线与单位圆的两个交点， 如图所示．取AB中点为H，则，记则， 所以， 另一方面，，，故， 从而 故选： 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 解法一：设则，取，排除B，D 再取则，取，排除选 解法二：由 ， 故 故，即， 故， 故，故 3．已知，，则     A．3 B． C． D．2 【答案】A  【解析】 方法一：因为，所以， ，因为，所以，  ． 方法二：由及，解得，所以， 4．已知，，则      A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 解法一：， ， ， 且， 又， 负值舍去 解法二：， 又， ， 如图，构造直角三角形，易知 ①数形结合 1．如图所示，  A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 由题图可知，，，，， 故， 故 故选 2．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位图O上，，，其中，，若，则的值为    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆O上， 且，，其中，， 若，则，， ， ，两边平方化简得，即，解得或 由图象可得，，所以，故 故本题选 3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则，其中（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 设O为内切圆的圆心，OB和OA分别是内切圆的半径，外接圆半径； 如图所示： 则，， 所以，， 在中，，即， 所以， ，即， 整理得：， 所以 故 故选： ②转化与化归 4．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C  【解析】根据题意可得 ， 解得， 故选 5．已知，，则    A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 因为 ， 所以， 两边除以，又， 得 故选： 6．若，，则    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】因为， 又，所以，， 所以， 所以 故选： ③分类讨论 7．已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A  【解析】依题意，， 若，则，而，不符合题意； 故，， 所以， 则，即 故选 8．已知，，则     A．0 B． C．1 D． 【答案】A  【解析】依题意，， 若，则，而， 与矛盾，得到，， 所以， 则，即，则A正确． 故选： 9．已知，都是锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 ，都是锐角，且， ， ， ， ，或， 舍去，或， ，都是锐角， 当时，， 故选： 基础过关篇 1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 6．（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【解析】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 8．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，则= . 【答案】/ 【解析】已知，则. 故答案为： 9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原方程可化为. 令，则，所以. 令，， 又在上单调递减，所以，则. 当时，，此时在只有个实根，不符合条件； 当时，，此时在有个实根，符合条件， 故选：A. 11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，且，由，解得， 所以． 故选：A. 12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有， 所以， 故选：D. 13．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. . 故选：D. 14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 . 故选：D. 15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以， 因为 ，所以， 所以 ==. 故选：D. 16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，， . 故选：A. 17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 设，即，， 则，得， 因为，得到． 故选：C． 18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可得， A正确； 由于，故可在第一象限或第三象限， 在第一象限时，，则在第二象限， 在第三象限时，，则在第四象限， 即β终边在第二象限或第四象限，B错误； 由于，在第一象限时，， 此时在第二象限，，则， 故； ； 在第三象限时，， 此时在第四象限，，则， 故， ，C错误，D正确； 故选：AD 19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，以为临边的平行四边形对角线相等， ， ， ，，时，， 故选：ACD． 20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，单位圆的内接正边形的中心角为， 如图设，过作于点，则， ，故A错误； 对于B，由A的结论，，则， 则，故B正确； 对于C，， 则，故，故C正确； 对于D，由上分析，，则， 故 ，故D正确. 故选：BCD 22．（2025·高三·河南许昌·期中）当时，，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 即， 解得或，又，所以， 所以，所以，所以，所以. 故答案为： 23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 【答案】2 【解析】因为，，所以， 故答案为： 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 25．（2025·全国·二模）已知，则 ． 【答案】 【解析】，即， . 故答案为：. 26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 . 【答案】 【解析】由，， 则， 所以， 则. 故答案为：. 27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= . 【答案】 【解析】∵角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.， ∴ ∴ 故答案为：. 能力拓展篇 28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解法一：移项平方得：， 令，则，故， 相减可得， 故，即， 设， ． 解法二：移项平方化简得：． 记，则，故， 相减可得， 故． ． 由均值不等式得， 故． 故答案为：. 29．（2025·陕西汉中·二模）设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则 ． 【答案】4 【解析】设，则， ，整理得， 而是关于的方程的实根， 所以. 故答案为：4. 30．（2025·四川德阳·二模）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ． 【答案】 【解析】由， 所以， 整理得， 所以，而，则， 故，结合对勾函数的性质， 在上单调递增且值域为， 在上单调递减且值域为， 要使在区间上有且仅有一个实数解， 只需时，此时. 故答案为：. 31．已知集合，，设函数． (1)当时，证明：函数是常数函数： (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合． 【解析】（1）当时，，所以是常数函数. （2）当，不妨令， 则 ， 若函数是常数函数，则， 利用可得到，， 打开化简得， 得或，，所以或，； 同理或，；或，； 则，又， 所以集合有，，，共4个. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2　简单的三角恒等变换 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、两角和与差公式 3 二、二倍角公式 3 三、降幂公式 3 四、升幂公式 3 五、辅助角公式 4 常用二级结论 4 03 探究核心题型 6 题型一：两角和与差的三角函数公式 6 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 7 题型三：辅助角公式的多种应用 7 题型四：给值求值型问题 8 题型五：给角求值型问题 8 题型六：给值求角型问题 9 题型七：正切恒等式的综合应用 10 题型八：三角函数式的化简 11 题型九：三角恒等变换的综合应用 12 04 好题赏析（一题多解） 15 ①数形结合 16 ②转化与化归 16 ③分类讨论 17 06 课时精练（真题、模拟题） 18 基础过关篇 18 能力拓展篇 20 1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用. 3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换. 一、两角和与差公式 ①；③； ②；④； ⑤；变形公式：； ⑥；变形公式：． 二、二倍角公式 ①； ②； ③ 三、降幂公式 ①； ②； ③． 四、升幂公式 ①， ②； ③， ④． 五、辅助角公式 ． ①其中辅助角是由方程，，．决定 ②正弦在前，余弦在后（确保系数，不会弄反） ③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限. ④保证，． 常用二级结论 1、积化和公式 ① ② ③ 2、和化积公式 ① ② ③ ④ 3、化简小技巧： ①1的代换：； ②． 4、两角互组，两角互补，两角互余 ①两角互组： ②两角互补： ③两角互余： 题型一：两角和与差的三角函数公式 【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知 ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值. 【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】的值为（      ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（   ） A． B． C． D． 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用 【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知，则 （    ） A． B．5 C． D． 【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式. 【变式2-1】（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）（   ） A．2 B．1 C．0 D．-2 题型三：辅助角公式的多种应用 【典例3-1】已知，则 ． 【典例3-2】已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则这两个解的和为 【解题总结】 对化简时，要清楚如何求辅助角的值. 【变式3-1】已知，则的值为 . 【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 . 【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知均为正数，，则的最大值为 . 题型四：给值求值型问题 【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，则的值为 ． 【典例4-2】已知，满足，，则 ． 【解题总结】 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知，则 ． 【变式4-2】已知，，，，则的值为 ． 【变式4-3】若和都为锐角，，则 . 【变式4-4】已知，，，则 . 题型五：给角求值型问题 【典例5-1】1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． 【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 ． 【变式5-3】求值： ． 【变式5-4】 ． 题型六：给值求角型问题 【典例6-1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【解题总结】 针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等工具，准确求出该角度的具体数值 。 【变式6-1】设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-2】已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：正切恒等式的综合应用 【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【典例7-2】（   ） A．2 B．4 C． D． 【解题总结】 当时， 【变式7-1】（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【变式7-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列满足，，则值为（    ） A． B． C． D． 题型八：三角函数式的化简 【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1的有（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若为第二象限角，则 题型九：三角恒等变换的综合应用 【典例9-1】（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【典例9-2】已知，，，，. (1)求，的值； (2)求的值. 【解题总结】 进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用. 【变式9-1】已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式9-2】已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【变式9-3】已知，为锐角，，． (1)求证：； (2)求的值． 【变式9-4】已知函数（其中）的最小正周期为. (1)若，求的值； (2)已知，求的值. 1．已知，是函数在上的两个零点，则（    ） A． B． C． D．0 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则     A．3 B． C． D．2 4．已知，，则      A． B． C． D． ①数形结合 1．如图所示，  A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位图O上，，，其中，，若，则的值为    A． B． C． D． 3．已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则，其中（    ） A． B． C． D． ②转化与化归 4．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．已知，，则    A． B． C． D． 6．若，，则    A． B． C． D． ③分类讨论 7．已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 8．已知，，则     A．0 B． C．1 D． 9．已知，都是锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 基础过关篇 1．（2025年高考全国二卷数学真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2022年新高考全国II卷数学真题）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 8．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知，则= . 9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在上有个实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知，则（    ）． A． B． C． D． 12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，β终边经过点， 则（     ） A． B．β终边在第二象限 C． D． 19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量，，若，则可能为（   ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆的内接正边形的边长、周长和面积分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·高三·河南许昌·期中）当时，，则 . 23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 . 25．（2025·全国·二模）已知，则 ． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知，，则 . 27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= . 能力拓展篇 28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数满足，则的取值范围为 ． 29．（2025·陕西汉中·二模）设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则 ． 30．（2025·四川德阳·二模）若关于的方程在区间上有且仅有一个实数解，则实数 ． 31．已知集合，，设函数． (1)当时，证明：函数是常数函数： (2)已知，写出所有使函数是常数函数的集合． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$