第一章 第5节　一元二次函数、方程和不等式（第二课时）（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 第二课时　一元二次方程、不等式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 一元二次不等式★★☆☆☆ 考点2 三个“二次”间的关系★★★☆☆ 考点3 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集★★★☆☆ 考点4 分式不等式与整式不等式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点 1 一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 考点2 三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实 根x1,x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实 数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 考点3 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a,或x>b} {x|x≠a} {x|x<b,或x>a} (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ⌀ {x|b<x<a} 考点4 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【解题技巧】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间. 2.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】(1)错误.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b. (3)错误.当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为⌀. (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为⌀. 2.(人教A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　　　　　.  【答案】(-∞,-1]∪ 【解析】由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0, 即(2x-3)(x+1)≥0, 得x≤-1或x≥, 故不等式的解集为(-∞,-1]∪. 3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.  【答案】-3 【解析】由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2, 即a=-1,b=-2,故a+b=-3. 4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  【答案】(-3,0) 【解析】由题意知 解得-3<k<0. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　三个二次之间的关系 【典例】1.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则(　　) A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ 【答案】ACD 【解析】∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞), ∴a>0,A正确; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根, 由根与系数的关系得 则 ∴a+b+c=-6a<0,B错误; 不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,得x<-6,C正确; 不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0, 解得x<-或x>,D正确. 故选ACD. 【思维建模】 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 【变式训练】1.(多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4 【答案】ABD 【解析】由题意得,a<0,且x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0, 即ax2-2ax+1-3a=0的两根, 所以x1+x2=-=2,故A正确; x1x2==-3<-3,故B正确; x2-x1= ==2>4,故D正确; 由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的,故C错误. 考点2　不等式的解法 【典例】2.(多选)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2, 所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确; 因为 -1≤0,即≤0, 即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0), 解得-3≤x<2, 所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确; 由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1, 解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误; 由|x-1|<1,可得-1<x-1<1, 解得0<x<2,由<0,可得-4<x<5, 因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确. 【典例】3.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 【解析】原不等式变为(ax-1)(x-1)<0, ①当a>0时,原不等式可化为 (x-1)<0, 所以当a>1时,解得<x<1; 当a=1时,解集为⌀; 当0<a<1时,解得1<x<. ②当a=0时,原不等式等价于-x+1<0, 即x>1. ③当a<0时,<1,原不等式可化为 (x-1)>0, 解得x>1或x<. 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 , 当a=1时,不等式的解集为⌀, 当a>1时,不等式的解集为, 当a=0时,不等式的解集为{x|x>1}, 当a<0时,不等式的解集为. 【思维建模】对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 【变式训练】2.不等式|x|(1-2x)>0的解集是(　　) A. B. C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 【答案】D 【解析】原不等式等价于 即x<且x≠0,故选D. 【变式训练】3.解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R. 【解析】当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式的解集为⌀, 当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时, 方程x2-ax+1=0的两根为 x1=,x2=, 原不等式的解集为. 综上可知,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为⌀, 当a>2或a<-2时,原不等式的解集为 . 考点3　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 【典例】4. (多选)对任意实数x,不等式2kx2+kx-3<0恒成立,则实数k可以是(　　) A.0 B.-24 C.-20 D.-2 【答案】ACD 【解析】当k=0时,不等式即为-3<0,不等式恒成立; 当k≠0时,若不等式恒成立, 则⇒-24<k<0, 于是-24<k≤0,故选ACD. 角度2　在给定区间上恒成立 【典例】5.(2025·铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　) A.[4,+∞) B.[0,+∞) C.[6,+∞) D.[8,+∞) 【答案】C 【解析】因为x∈[1,2],y∈[2,3], 则∈,所以∈[1,3], 又y2-xy-mx2≤0,可得m≥-, 令t=∈[1,3], 则∀t∈[1,3],m≥t2-t, 即只需m≥(t2-t)max,t2-t=-, 当t=3时,t2-t取到最大值,(t2-t)max=9-3=6, 所以实数m的取值范围是[6,+∞).故选C. 角度3　给定参数范围的恒成立 【典例】6.(2024·杭州调研)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(　　) A.[-1,3] 　　　B.(-∞,-1] C.[3,+∞) 　　　D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 【答案】D 【解析】不等式x2+px>4x+p-3, 可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4), 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4), 可得 解得x<-1或x>3. 【思维建模】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下,求谁的范围,谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论. 【变式训练】4.已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围; (3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围. 【解析】 (1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0, 当m=0时,-2x+1<0不恒成立; 当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立, 则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解, 所以不存在实数m,使不等式恒成立. (2)因为x>1,所以m<. 设2x-1=t(t>1),x2-1=, 所以m<=. 设g(t)=t-+2,t∈(1,+∞), 显然g(t)在(1,+∞)上单调递增. 当t→+∞时,t-+2→+∞,→0, 所以m≤0. 所以m的取值范围是(-∞,0]. (3)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立. 当且仅当 即 由①得<x<. 由②得x<或x>. 取交集,得<x<. 所以x的取值范围是. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知集合A={x|x2-x-6≤0},B=,则A∩B等于(　　) A.{x|-1<x≤3} B.{x|x≤3或x>4} C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x≤-1} 【答案】A 【解析】因为不等式x2-x-6≤0的解集为{x|-2≤x≤3}, 又不等式≤0的解集为{x|-1<x≤4}, 所以A={x|-2≤x≤3},B={x|-1<x≤4}, 所以A∩B={x|-1<x≤3}. 2.(2025·郑州质检)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为(　　) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 【答案】C 【解析】由题意可知a<0, 且-3+(-2)=-,-3×(-2)=-, 所以b=5a,c=-6a, 所以bx2+cx+a>0可化为5x2-6x+1<0, 即(5x-1)(x-1)<0,解得<x<1. 故选C. 3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 【答案】B 【解析】当a=2时,原不等式为-12<0,满足解集为R; 当a≠2时,根据题意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2. 综上,-1<a≤2,故a的取值范围为{a|-1<a≤2}. 4.(2025·厦门调研)“若∀x∈,3x2-λx+1>0恒成立”是真命题,则实数λ可能的取值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 【答案】A 【解析】∀x∈,3x2-λx+1>0恒成立, 即λ<3x+恒成立, 只需λ<即可, 3x+≥2=2, 当且仅当3x=,即x=时等号成立, 故λ<2.故选A. 5.(2025·1月八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 【答案】B 【解析】法一　f(x)=x|x-a|-2a2 = 当x<a时,f(x)=-x2+ax-2a2 =--≤0, 此时不满足f(x)>0; 当x≥a时,f(x)=(x-2a)(x+a), 若a=0,f(x)=x2符合题意; 若a<0,则f(x)在(2a,-a)上为负,(-a,+∞)上为正,所以-a≤2,则a≥-2; 若a>0,则f(x)在(-a,2a)上为负,(2a,+∞)上为正,所以2a≤2,则a≤1. 综上,a∈[-2,1]. 法二　当x>2时,f(x)>0等价于x(x-a)-2a2>0或x(a-x)-2a2>0. 将a看成未知量,上述不等式变形为 (a+x)<0或+x2<0. 对于+x2<0,此式不成立,a不存在; 对于(a+x)<0,解得-x<a<, 故a的取值范围是-2≤a≤1. 6.(2025·恩施调研)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.[-3,-2)∪[4,5) B.(-3,-2]∪(4,5] C.(-3,-2]∪[4,5) D.[-3,-2)∪(4,5] 【答案】D 【解析】不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(x-1)<0, 当a=1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为空集,不符合题意; 当a>1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为(1,a), 要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则4<a≤5; 当a<1时,不等式x2-(a+1)x+a<0的解集(a,1), 要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则-3≤a<-2, 综上可得,实数a的取值范围是[-3,-2)∪(4,5]. 7.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 【答案】A 【解析】不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R, 即对于∀x∈R,ax2-|x|+2a≥0恒成立, 即a≥, 当x=0时,a≥0, 当x≠0时,a≥=, 因为≤=, 当且仅当|x|=,即|x|=, 即x=±时,等号成立,所以a≥, 综上所述,a∈. 8.下面给出了问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},解关于x的不等式ax2-bx+c>0.”的一种解法: 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},又不等式ax2-bx+c>0可化为a(-x)2+b(-x)+c>0,所以 -2<-x<1,即-1<x<2.所以不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-1<x<2}. 参考上述解法,解答问题: 若关于x的不等式+<0的解集为{x|-2<x<-1,或1<x<3}.则关于x的不等式+<0的解集为(　　) A.∪ B.(-1,1)∪(1,3) C.(-3,-1)∪(1,2) D.∪ 【答案】A 【解析】因为x=0不是不等式+<0的解, 所以不等式+<0等价于 +<0, 所以-2<-<-1或1<-<3, 解得-1<x<-或<x<1. 二、多选题 9.(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2-5x+1>0的解集是{x|<x<1} B.不等式2x2-x-6≤0的解集是{x|x≤-或x≥2} C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为- 【答案】CD 【解析】对于A,4x2-5x+1>0,即(x-1)(4x-1)>0,解得x<或x>1,故A错误; 对于B,2x2-x-6≤0,即(x-2)(2x+3)≤0,解得-≤x≤2,故B错误; 对于C,若不等式ax2+8ax+21<0恒成立, 当a=0时,21<0是不可能成立的,所以只能而该不等式组无解,故C正确; 对于D,由题意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的两根, 从而解得 而当p=1时,一元二次不等式为2x2+x-3<0,即(x-1)(2x+3)<0, 解得-<x<1满足题意, 所以p+q的值为-,故D正确. 10.(2025·绍兴质测)已知a∈R,关于x的不等式(ax-2)(x+2)>0的解集可能是(　　) A. 　B.{x|x>-2} C. 　D. 【答案】ACD 【解析】当a=0时,(ax-2)(x+2)=-2(x+2)>0,解得x<-2; 当a>0时,(ax-2)(x+2)=a·(x+2)>0,解得x>或x<-2,故A正确; 当a<0时,(ax-2)(x+2)=a·(x+2)>0, 若=-2,则a=-1,则解集为空集; 若<-2,则-1<a<0,则不等式的解集为,故D正确; 若>-2,解得a<-1,则不等式的解集为,故C正确. 11.(2025·淮南联考)若存在m,n(m<n-1),使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n},则下列结论正确的是(　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 【答案】AD 【解析】对于A,B,因为m<n-1, 所以m+1<n, 由题意得x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤n},x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n},A正确,B错误; 对于C,x2+(a+1)x+b-c=0的两个根分别为m,n,x2+ax+b=0的两个根分别为m+1,n, 故m+n=-a-1,mn=b-c, m+1+n=-a,(m+1)n=b, 由于mn=b-c,(m+1)n=b, 故b-c+n=b,所以n=c,C错误; 对于D,因为n-m>1,n-m= =, 所以>1, 两边平方得a2+2a>4b-4c,D正确. 三、填空题 12.不等式≥2的解集为　　　　.  【答案】 【解析】因为≥2, 则-2=≥0, 等价于(1-2x)(x+2)≥0(x≠-2), 解得-2<x≤, 即不等式≥2的解集为. 13.一般地,把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式x2-kx+2k<0有实数解,且解集区间长度不超过3个单位,则实数k的取值范围为　　　　.  【答案】[-1,0)∪(8,9] 【解析】不等式x2-kx+2k<0有实数解等价于x2-kx+2k=0有两个不相等的实数根, 则Δ=(-k)2-8k>0,解得k>8或k<0. 设x2-kx+2k=0的两根为x1,x2, 令x1<x2,则x1+x2=k,x1x2=2k. 由题意得x2-x1==≤3, 解得-1≤k≤9,又k>8或k<0, 所以-1≤k<0或8<k≤9, 所以实数k的取值范围为[-1,0)∪(8,9]. 14.(2025·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a+b+2c的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】因为不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3}, 所以二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=1, 且需满足即 解得 所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0, 解得a≤,所以a∈, 所以3a+b+2c=3a-2a-6a+4 =4-5a∈. 四、解答题 15.已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围; (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)f(x)=x2-3x+a =+a-, 则f(x)min=f =a-, f(x)>0在x∈R上恒成立, 即f(x)min=a->0,故a>. 故实数a的取值范围是. (2)f(x)=x2-3x+a=+a-, f(x)在[-1,2]上的最大值为 f(x)max=f(-1)=+a-=4+a, 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4+a, 故4+a≤0,解得a≤-4. 故实数a的取值范围是(-∞,-4]. 16.解关于x的不等式:2a2x2-3ax-2>0,a∈R. 【解析】当a=0时,原不等式即为-2>0,该不等式的解集为⌀; 当a≠0时,2a2>0, 原不等式即为(2ax+1)(ax-2)>0. ①若a<0,则->,原不等式的解集为; ②若a>0,则-<,原不等式的解集为. 综上所述,当a=0时,原不等式的解集为⌀; 当a<0时,原不等式的解集为; 当a>0时,原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 第二课时　一元二次方程、不等式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 一元二次不等式★★☆☆☆ 考点2 三个“二次”间的关系★★★☆☆ 考点3 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集★★★☆☆ 考点4 分式不等式与整式不等式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点 1 一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 考点2 三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实 根x1,x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实 数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 考点3 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a=b a>b (x-a)·(x-b)>0 {x|x<a,或x>b} {x|x≠a} {x|x<b,或x>a} (x-a)·(x-b)<0 {x|a<x<b} ⌀ {x|b<x<a} 考点4 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【解题技巧】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间. 2.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形. 3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　) 2.(人教A必修一P53练习T1改编)不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　　　　　.  3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.  4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　三个二次之间的关系 【典例】1.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则(　　) A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为∪ 【变式训练】1.(多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4 考点2　不等式的解法 【典例】2.(多选)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【典例】3.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 【变式训练】2.不等式|x|(1-2x)>0的解集是(　　) A. B. C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 【变式训练】3.解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R. 考点3　一元二次不等式恒成立问题 角度1　在实数集R上恒成立 【典例】4. (多选)对任意实数x,不等式2kx2+kx-3<0恒成立,则实数k可以是(　　) A.0 B.-24 C.-20 D.-2 角度2　在给定区间上恒成立 【典例】5.(2025·铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(　　) A.[4,+∞) B.[0,+∞) C.[6,+∞) D.[8,+∞) 角度3　给定参数范围的恒成立 【典例】6.(2024·杭州调研)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(　　) A.[-1,3] 　　　B.(-∞,-1] C.[3,+∞) 　　　D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 【变式训练】4.已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围; (3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知集合A={x|x2-x-6≤0},B=,则A∩B等于(　　) A.{x|-1<x≤3} B.{x|x≤3或x>4} C.{x|-2≤x≤4} D.{x|-2≤x≤-1} 2.(2025·郑州质检)某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时,因弄错了常数c的符号,解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞),则不等式bx2+cx+a>0的解集为(　　) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集为R,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2} 4.(2025·厦门调研)“若∀x∈,3x2-λx+1>0恒成立”是真命题,则实数λ可能的取值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.5 5.(2025·1月八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 6.(2025·恩施调研)已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三个整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.[-3,-2)∪[4,5) B.(-3,-2]∪(4,5] C.(-3,-2]∪[4,5) D.[-3,-2)∪(4,5] 7.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ 8.下面给出了问题:“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},解关于x的不等式ax2-bx+c>0.”的一种解法: 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},又不等式ax2-bx+c>0可化为a(-x)2+b(-x)+c>0,所以 -2<-x<1,即-1<x<2.所以不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-1<x<2}. 参考上述解法,解答问题: 若关于x的不等式+<0的解集为{x|-2<x<-1,或1<x<3}.则关于x的不等式+<0的解集为(　　) A.∪ B.(-1,1)∪(1,3) C.(-3,-1)∪(1,2) D.∪ 二、多选题 9.(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2-5x+1>0的解集是{x|<x<1} B.不等式2x2-x-6≤0的解集是{x|x≤-或x≥2} C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立,则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2+px-3<0的解集是(q,1),则p+q的值为- 10.(2025·绍兴质测)已知a∈R,关于x的不等式(ax-2)(x+2)>0的解集可能是(　　) A. 　B.{x|x>-2} C. 　D. 11.(2025·淮南联考)若存在m,n(m<n-1),使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m≤x≤m+1或x=n},则下列结论正确的是(　　) A.x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集为{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4c 三、填空题 12.不等式≥2的解集为　　　　.  13.一般地,把b-a称为区间(a,b)的“长度”.已知关于x的不等式x2-kx+2k<0有实数解,且解集区间长度不超过3个单位,则实数k的取值范围为　　　　.  14.(2025·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a+b+2c的取值范围是　　　　.  四、解答题 15.已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立,求实数a的取值范围; (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$