第一章 第5节　一元二次函数、方程和不等式 （第一课时）（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 第一课时　二次函数及其性质 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 二次函数解析式的三种形式 ★★★☆☆ 考点2 二次函数的图象和性质 ★★★★☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 考点2 二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 【解题技巧】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　) (2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.  3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.  4.(人教B必修一P139T8改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　二次函数的解析式 【典例】1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=　　　　.  【变式训练】1.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为　　　　　　　　.  考点2　二次函数的图象 【典例】2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,且函数f(x)的图象可能是(　　) 【典例】3.(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 【变式训练】2.(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 考点3　二次函数的最值 【典例】4. (2025·福州段考)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围; (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 【变式训练】3.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数y=x2-2ax+3在(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3] 2.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 4.已知f(x)=-x2+2ax+1,则(　　) A.f(a)>f(a-1)>f(a+1) B.f(a)>f(a-1)=f(a+1) C.f(a)<f(a-1)=f(a+1) D.f(a+1)>f(a-1)>f(a) 5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(　　) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 6.已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是(　　) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 7.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] 　B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) 　D.[3,+∞) 8.(2025·广州调研)设a,b,c∈R且a≠0,函数g(x)=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若f(x)+f(-x)=0,则下列判断正确的是(　　) A.g(x)的最大值为-a B.g(x)的最小值为-a C.g(2+x)=g(2-x) D.g(2+x)=g(-x) 二、多选题 9.设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　　) 10.已知函数f(x)=ax2-2bx-1,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)是偶函数,则b=0 B.若f(x)<0的解集是(-1,1),则ab=1 C.若a=1,则f(x)>0恒成立 D.∀a≤0,b<0,f(x)在(-∞,0)上单调递增 11.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0),实数m满足f(m)<0,则下列关系一定成立的是(　　) A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0 C.f(m-1)<0 D.f(m-2)>0 三、填空题 12.(2025·宁波段考)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  13.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  14.(2025·徐州质检)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.  四、解答题 15.(2025·衡水调研)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 16.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第5节　一元二次函数、方程和不等式 第一课时　二次函数及其性质 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 二次函数解析式的三种形式 ★★★☆☆ 考点2 二次函数的图象和性质 ★★★★☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. 考点2 二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 【解题技巧】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　) (2)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)× 【解析】(2)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故(2)错误. (3)当对称轴x=-∉[m,n]时,最值则不是,故(3)错误. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(北师大必修一P34T1(2)改编)函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.  【答案】4 【解析】y=-3(x2-4x+4)+4=-3(x-2)2+4≤4. 3.(人教A必修一P100T4改编)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.  【答案】(-∞,40]∪[160,+∞) 【解析】依题意知,≥20或≤5, 解得k≥160或k≤40. 4.(人教B必修一P139T8改编)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为　　　　.  【答案】f(x)=x2-4x 【解析】由题意,可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0), 又图象过原点, 所以f(0)=4a-4=0,a=1, 所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　二次函数的解析式 【典例】1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=　　　　.  【答案】-4x2+4x+7 【解析】法一(利用“一般式”) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用“顶点式”) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为x==, 所以m=. 又根据题意,函数有最大值8,所以n=8, 所以f(x)=a+8. 因为f(2)=-1, 所以a+8=-1, 解得a=-4, 所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三(利用“零点式”) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8, 即=8. 解得a=-4或a=0(舍). 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 【思维建模】二次函数解析式的选择规律 【变式训练】1.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为　　　　　　　　.  【答案】y=x2+x-或y=-x2-x+ 【解析】因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), 所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0), 展开得,y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为=-4a, 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2, 所以|-4a|=2,即a=±, 所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+. 考点2　二次函数的图象 【典例】2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,且函数f(x)的图象可能是(　　) 【答案】D 【解析】由a>b>c且a+b+c=0, 得a>0,c<0, 所以函数图象开口向上,排除A,C; 又f(0)=c<0,排除B.故选D. 【典例】3.(多选)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 【答案】AD 【解析】因为图象与x轴交于两点, 所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确. 对称轴为x=-1, 即-=-1,2a-b=0,B错误. 结合图象,当x=-1时,y>0, 即a-b+c>0,C错误. 由对称轴为x=-1知,b=2a. 根据抛物线开口向下,知a<0, 所以5a<2a,即5a<b,D正确. 【思维建模】研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 【变式训练】2.(多选)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 【答案】ACD 【解析】由二次函数图象开口向下知a<0, 对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0. 又因为f(0)=c>0,所以abc<0. f(2)=f(0)=4a+2b+c>0, f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0. 考点3　二次函数的最值 【典例】4. (2025·福州段考)已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围; (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 【解析】 (1)由题意知a≠0. 当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2, 又a>0,所以0<a≤; 当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立. 综上,a的取值范围是(-∞,0)∪. (2)①当0<≤1,即a≥时, f(x)在区间[1,2]上单调递增, 此时g(a)=f(1)=3a-2. ②当1<<2,即<a<时, f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1. ③当≥2,即0<a≤时, f(x)在区间[1,2]上单调递减, 此时g(a)=f(2)=6a-3. 综上所述,g(a)= 【思维建模】闭区间上二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 【变式训练】3.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值. 【解析】 (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3], 函数图象的对称轴为直线x=-∈[-2,3], ∴f(x)min=f=--3=-, f(x)max=f(3)=15, ∴f(x)的值域为. (2)函数图象的对称轴为直线x=-. ①当-≤1,即a≥-时, f(x)max=f(3)=6a+3, ∴6a+3=1,即a=-,满足题意; ②当->1,即a<-时, f(x)max=f(-1)=-2a-1, ∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意. 综上可知,a=-或-1. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.函数y=x2-2ax+3在(-∞,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3] 【答案】A 【解析】易知函数y=x2-2ax+3的单调递减区间是(-∞,a],故a≥3. 2.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 【答案】B 【解析】二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点, 设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0), 可得则 所求的二次函数为g(x)=3x2-2x. 3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 【答案】C 【解析】若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A,D; 对于B,由直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故排除B,选C. 4.已知f(x)=-x2+2ax+1,则(　　) A.f(a)>f(a-1)>f(a+1) B.f(a)>f(a-1)=f(a+1) C.f(a)<f(a-1)=f(a+1) D.f(a+1)>f(a-1)>f(a) 【答案】B 【解析】函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=a, 故f(a)>f(a-1)=f(a+1). 5.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则(　　) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 【答案】A 【解析】由f(0)=f(4),得f(x)图象的对称轴为直线x=-=2,所以4a+b=0, 又f(0)=f(4)>f(1), 所以f(x)的图象开口向上,a>0.故选A. 6.已知函数f(x)=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是(　　) A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3) 【答案】B 【解析】易知f(x)=x2-4x+1的图象是一条开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线, 当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3, 由y=-2,得x=1或x=3, 因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为-5,所以2≤t≤3.故选B. 7.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] 　B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) 　D.[3,+∞) 【答案】C 【解析】二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1, ∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2), 即f(x)在区间[-1,2]上是单调函数, ∴a-1≤-1或a-1≥2, ∴a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为 (-∞,0]∪[3,+∞). 8.(2025·广州调研)设a,b,c∈R且a≠0,函数g(x)=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若f(x)+f(-x)=0,则下列判断正确的是(　　) A.g(x)的最大值为-a B.g(x)的最小值为-a C.g(2+x)=g(2-x) D.g(2+x)=g(-x) 【答案】D 【解析】因为g(x)=ax2+bx+c, 所以f(x)=(x+2)g(x) =(x+2)(ax2+bx+c) =ax3+(b+2a)x2+(c+2b)x+2c. 因为f(x)+f(-x)=0, 所以f(x)是奇函数, 所以即b=-2a,c=0, 所以g(x)=ax2-2ax. 因为a≠0,不清楚a是正还是负, 所以不能确定g(x)有最大值还是最小值, 所以A,B均不正确. g(x)图象的对称轴为直线x=-=1. 若g(2+x)=g(2-x),则g(x)的图象关于直线x=2对称; 若g(2+x)=g(-x),则g(x)的图象关于直线x=1对称, 所以C不正确,D正确. 二、多选题 9.设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　　) 【答案】AB 【解析】A中,a<0,b<0,c<0,此时abc<0,符合题意; B中,a<0,b>0,c>0,此时abc<0,符合题意; C中,a>0,b>0,c>0,此时abc>0,不符合题意; D中,a>0,b<0,c<0,此时abc>0,不符合题意. 10.已知函数f(x)=ax2-2bx-1,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)是偶函数,则b=0 B.若f(x)<0的解集是(-1,1),则ab=1 C.若a=1,则f(x)>0恒成立 D.∀a≤0,b<0,f(x)在(-∞,0)上单调递增 【答案】ABD 【解析】对于A,函数f(x)的定义域为R, 若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x), 即ax2+2bx-1=ax2-2bx-1, 即4bx=0对任意的x∈R恒成立,则b=0,A正确; 对于B,若不等式f(x)<0的解集为(-1,1), 则a>0且-1,1为方程f(x)=0的两根, 则解得 故ab=1,B正确; 对于C,若a=1,则f(x)=x2-bx-1,Δ=4b2+4>0, 故f(x)>0不恒成立,C错误; 对于D,当a=0时,因为b<0, 则f(x)在(-∞,0)上单调递增, 当a<0时, 函数f(x)的对称轴为直线x=且>0, 由二次函数的单调性可知, 函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,D正确. 11.已知函数f(x)=x2-2x+a(a>0),实数m满足f(m)<0,则下列关系一定成立的是(　　) A.f(m+1)>0 B.f(m+2)>0 C.f(m-1)<0 D.f(m-2)>0 【答案】BD 【解析】函数f(x)=x2-2x+a在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. f(m)=m2-2m+a<0, 故m2-2m<-a<0,解得0<m<2. m+2∈(2,4),f(m+2)>f(2)=a>0,B正确; m-2∈(-2,0),f(m-2)>f(0)=a>0,D正确; 取a=,m=,f(m)=-<0,满足条件, f(m+1)=f =-<0,A错误; f(m-1)=f =>0,C错误. 三、填空题 12.(2025·宁波段考)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  【答案】f(x)=x2-4x+3 【解析】∵f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立, ∴f(x)图象的对称轴为直线x=2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为1和3, 设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,∴a=1, ∴所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 13.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】[-2,0] 【解析】当0≤x≤1时,φ(x)=x2-mx+m, 此时φ(x)单调递增,则≤0,即m≤0; 当x>1时,φ(x)=x2+mx-m, 此时φ(x)单调递增,则-≤1,则m≥-2. 综上,实数m的取值范围是[-2,0]. 14.(2025·徐州质检)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的取值范围是　　　　.  【答案】[2,4] 【解析】解方程f(x)=x2-4x+2=2, 解得x=0或x=4, 解方程f(x)=x2-4x+2=-2, 解得x=2, 由于f(x)在[a,b]上的值域为[-2,2]. 若f(x)在[a,b]上单调, 则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4], 此时b-a取得最小值2; 若f(x)在[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4], 所以b-a的最大值为4. 所以b-a的取值范围是[2,4]. 四、解答题 15.(2025·衡水调研)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 【解析】当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2. 当a>0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为x=. ①当0<≤1,即a≥1时,f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)min=f=-=-. ②当>1,即0<a<1时,f(x)在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2. 当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象开口向下,且对称轴x=<0, ∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减, ∴f(x)min=f(1)=a-2. 综上所述,f(x)min= 16.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. 【解析】 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a(a≠0). 当a>0时,f(x)在[2,3]上单调递增, 故⇒⇒ 当a<0时,f(x)在[2,3]上单调递减, 故⇒⇒ (2)因为b<1, 所以a=1,b=0, 即f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx =x2-(2+m)x+2, 因为g(x)在[2,4]上单调, 所以≤2或≥4, 解得m≤2或m≥6. 故m的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$