第一章 第4节　基本不等式（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 基本不等式:≤★★☆☆☆ 考点2 两个重要的不等式★★★☆☆ 考点3 利用基本不等式求最值★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点 1 基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 考点2 两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 考点3 利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 【解题技巧】 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)不等式ab≤成立的条件是a,b∈R,≥成立的条件是a≥0,b≥0. (2)由于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 故函数y=x+无最小值. (3)由于sin x=时sin x=2无解, 故sin x+的最小值不为4. (4)“+≥2”的充要条件是“xy>0”.　　　　　　　　　　　　　　 2.(苏教必修一P58【典例】2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  【答案】3 【解析】x+=x-1++1 ≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时等号成立. 3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  【答案】9 【解析】由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去), 即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号. 4.(北师大必修一P28实【典例】分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为　　　　 cm,宽为　　　　 cm时,面积最大.  【答案】4　4 【解析】设矩形的长为x cm,宽为y cm, 则x+y=8,其面积S=xy≤=16, 当且仅当x=y=4时等号成立. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 【典例】1.已知a,b为正数,4a2+b2=7,则a的最大值为(　　) A. B. C.2 D.2 【答案】D 【解析】因为4a2+b2=7,则a=×2a×=≤×=2, 当且仅当4a2=1+b2,且4a2+b2=7, 即a=1,b=时,等号成立. 【典例】2.若a>-1,则的最小值是　　　　.  【答案】0 【解析】法一　由a>-1可得a+1>0, 则==a-1+=a+1+-2≥2-2=0, 当且仅当a+1=,即a=0时等号成立. 法二　由a>-1可得a+1>0,a2≥0, 则≥0,当a=0时取等号. 角度2　常数代换法 【典例】3.(2025·安徽A10联盟质检)已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】∀m,n∈(0,+∞), m+== ≥=4, 当且仅当mn=,且+n=4, 即m=1,n=3时等号成立, 则m+的最小值为4. 角度3　消元法 【典例】4.已知正数a,b满足a2-2ab+4=0,则b-的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【答案】B 【解析】∵a>0,b>0,a2-2ab+4=0, 则b=+,∴b-=+-=+≥2=, 当且仅当=,即a=2时,等号成立,此时b=. 【思维建模】 1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,然后利用基本不等式求最值. 【变式训练】1.(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 【答案】B 【解析】法一　由a+2b=ab得b=, 因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9, 当且仅当a-2=, 即a=b=3时,等号成立. 法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以=+=1, 因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9.故选B. 【变式训练】2.已知x<2,则+x的最大值是　　　　.  【答案】-2 【解析】由x<2知2-x>0,则+x=-+2≤-2+2=-2, 当且仅当=2-x,即x=0时等号成立. 考点2　利用基本不等式求参数的值或范围 【典例】5.若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) 【答案】C 【解析】令f(x)=, 由题意可得a≤f(x)min, f(x)=x++3≥2+3=5, 当且仅当x=,即x=1时等号成立, a≤f(x)min=5, 所以实数a的取值范围为(-∞,5]. 【思维建模】∀x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)min≥a;∀x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)max≤a. 【变式训练】3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　) A.1 B.4 C.9 D.16 【答案】C 【解析】因为x>0,由x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=时取等号, 则2≥6,可得a≥9. 【变式训练】4.已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-1)∪(9,+∞) B.(-∞,-1]∪[9,+∞) C.(-9,-1) D.[-9,1] 【答案】A 【解析】因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解, 则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 考点3　利用基本不等式解决实际问题 【典例】6.某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足系:N(h)=(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h=　　　　厘米.  【答案】 【解析】由题意及N(h)=,可得N(0)==10,即m=40,∴N(h)=. 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108(万元),当且仅当=3(3h+4),即h=厘米时F(h)达到最小值. 【思维建模】利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【变式训练】5.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是　　　　万元.  【答案】8 【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=万元, 由于x>0,故≤18-2=8, 当且仅当x=5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大为8万元. 【知识拓展】柯西不等式 1.教材母题 (人教A必修二P37T16)用向量方法证明:对任意a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 上述不等式就是二维形式的柯西不等式,其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4):|a·b|≤|a||b|. 2.归纳如下: (1)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|,当且仅当β是零向量,或者存在实数k,使得α=kβ时等号成立. (2)用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式,则得到二维的柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,则(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当a1b2=a2b1时等号成立. (3)推广到一般形式:设ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立. 【典例】1.设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为　　　　.  【答案】13 【解析】(2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2) ∴x2+y2≥13,当且仅当=, 即x=2,y=3时取等号. 【典例】2.若a,b,c为正实数,且a+b+c=1,则++的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】由柯西不等式得, (++)2≤(a+b+c)(1+1+1)=3, ∴当且仅当a=b=c=时,++的最大值为. 【典例】3.若实数x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为　　　　.  【答案】 【解析】根据柯西不等式: (x2+y2+z2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2=1, 即x2+y2+z2≥, 当且仅当x=,y=,z=时等号成立. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·武汉调研)已知正数a,b满足a+2b=1,则(　　) A.ab≥ B.ab> C.0<ab≤ D.0<ab< 【答案】C 【解析】因为a>0,b>0,a+2b=1≥2, 当且仅当a=2b时,等号成立, 所以≤,0<ab≤.故选C. 2.(2025·开封模拟)若log2a+log2b=3,则a+b的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 【答案】B 【解析】因为log2a+log2b=log2ab=3, 所以ab=8且a>0,b>0, 所以a+b≥2=4, 当且仅当a=b=2时,等号成立, 故a+b的最小值为4.故选B. 3.设a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值为(　　) A.2 B.1+2 C.2+2 D.3+2 【答案】D 【解析】∵a>0,b>0,2a+b=1, ∴+=(2a+b)=3++≥3+2=3+2. 当且仅当=,且2a+b=1, 即a=1-,b=-1时等号成立, ∴+的最小值为3+2.故选D. 4.(2025·聊城模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.2 【答案】A 【解析】因为x>0,y>0,且x+2y=1, 所3x+9y≥2=2=2, 当且仅当即时,等号成立, 所以3x+9y的最小值为2.故选A. 5.(2025·石家庄质检)已知a>0,b>0,则a+2b+的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】D 【解析】由于a>0,b>0,所以a+2b+1>0, 由a+2b+=(a+2b+1)+-1≥2-1=3, 当且仅当a+2b=1时取等号,可得a+2b+的最小值为3. 6.已知正实数x,y满足2x+3y-xy=0,若3x+2y≥t恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.(-∞,25] B.(-∞,25) C.(-∞,24] D.[24,+∞) 【答案】A 【解析】由正实数x,y满足 2x+3y-xy=0, 得+=1, 则3x+2y=(3x+2y) =+9+4+≥13+2=25, 当且仅当=,且+=1, 即x=y=5时,等号成立,则t≤25. 故实数t的取值范围是(-∞,25]. 7.已知p:a>b>0,q:>,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵a>b>0,则a2+b2>2ab, ∴2(a2+b2)>a2+b2+2ab, ∴2(a2+b2)>(a+b)2, ∴>, ∴由p可推出q; 当a<0,b<0时,q也成立, 如a=-1,b=-3时, =5>=4, ∴由q推不出p, ∴p是q成立的充分不必要条件. 8.(2025·四川名校大联考)已知实数x,y满足5x>y>0,则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为5x>y>0,所以>, 所以+=+ =+-+ ≥2+ =, 当且仅当=-, 即=时等号成立, 所以+的最小值为.故选C. 二、多选题 9.已知正实数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是(　　) A.ex+ey的最小值为2e2 B.lg x+lg y的最大值为lg 4 C.x2+y2的最小值为8 D.x(y+4)的最大值为16 【答案】ABC 【解析】由于ex+ey≥2=2=2e2, 当且仅当ex=ey,即x=y=2时取等号,故A正确; 由基本不等式得xy≤=4, 故lg x+lg y=lg(xy)≤lg 4,当且仅当x=y=2时取等号,故B正确; x2+y2≥=8, 当且仅当x=y=2时取等号,故C正确; 由正实数x,y满足x+y=4,得y=4-x,x∈(0,4), 故x(y+4)=x(8-x)=-(x-4)2+16∈(0,16),故D错误. 10.(2025·长沙模拟)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.ab≥ B.+≤ C.a2+b2≥ D.+≥ 【答案】BCD 【解析】因为a,b为正实数,所以对于A,ab≤=, 当且仅当a=b=时取得等号,故A错误; 对于B,(+)2=a+b+2≤2(a+b)=2, 故+≤,当且仅当a=b=时取得等号,故B正确; 对于C,≥=,所以a2+b2≥,当且仅当a=b=时取得等号,故C正确; 对于D,+=[(a+1)+(b+1)]·=≥,当且仅当a=b=时取得等号,故D正确. 11.(2024·青岛模拟)已知正实数a,b,c,且a>b>c,x,y,z为自然数,则满足++>0恒成立的x,y,z可以是(　　) A.x=1,y=1,z=4 B.x=1,y=2,z=5 C.x=2,y=2,z=7 D.x=1,y=3,z=9 【答案】BC 【解析】要满足++>0,只需满足+>, 其中a,b,c为正实数,且a>b>c,x,y,z为自然数, += =+++ ≥++2 =++=, 当且仅当=, 即(b-c)2x=(a-b)2y时,等号成立, 故只需>, 故只需(+)2>z即可. A选项,x=1,y=1,z=4时,(+)2=4,A错误; B选项,x=1,y=2,z=5时,(+)2=3+2>5,B正确; C选项,x=2,y=2,z=7时,(+)2=8>7,C正确; D选项,x=1,y=3,z=9时,(+)2=4+2<9,D错误. 三、填空题 12.已知0<x<,则y=x(1-2x)的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】法一　y=x(1-2x)=·2x(1-2x)≤·=, 当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成立. 法二　y=x(1-2x) =-x2+x=-+, ∴y=-+在上单调递增,在上单调递减, ∴当x=时,y=x(1-2x)取得最大值. 13.(2025·淮北模拟)已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  【答案】(-∞,9) 【解析】因为x>0,y>0, 所以+=(x+y)=5++≥5+4=9, 当且仅当y=2x,即x=,y=时取等号, 所以实数m的取值范围为(-∞,9). 14.函数f(x)=在(1,+∞)上的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】因为f(x)=,x∈(1,+∞), 令x-1=t,则t>0, 则f(t)===≤=, 当且仅当2t=,t=1,即x=2时,等号成立. 故f(x)在 (1,+∞)上的最大值为. 四、解答题 15.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求: (1)xy的最大值; (2)2x+y的最小值. 【解析】 (1)因为x>0,y>0, 根据基本不等式,30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号), 令=t(t>0),则t2+2t-30≤0, 解得-5≤t≤3,又t>0, 所以0<t≤3,即0<≤3, 所以0<xy≤18,故xy的最大值为18. (2)由x+2y+xy=30可知, y=>0,0<x<30, 2x+y=2x+=2(x+2)+-5 ≥2-5=11, 当且仅当2(x+2)=,即x=2时取等号, 所以2x+y的最小值为11. 16.第19届亚运会于2023年9月在杭州举办,某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比【典例】系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元? (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大?最大值是多少元? 【解析】 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套), 供货单价为50+=52(元), 总利润为5×(100-52)=240(万元). 所以能获得的总利润为240万元. (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时,销售量为(15-0.1x)万套, 供货单价为元, 单套利润为x-50-=x-50-, 因为15-0.1x>0,所以0<x<150, 所以单套利润为 y=x-50- =-+100 ≤100-2=80, 当且仅当150-x=10,即x=140时取等号. 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时,单套的利润最大,最大值是80元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第4节　基本不等式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 基本不等式:≤★★☆☆☆ 考点2 两个重要的不等式★★★☆☆ 考点3 利用基本不等式求最值★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点 1 基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. 考点2 两个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 考点3 利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 【解题技巧】 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (3)函数y=sin x+,x∈的最小值是4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) 2.(苏教必修一P58【典例】2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  4.(北师大必修一P28实【典例】分析)把一段长为16 cm的细铁丝弯成一个矩形,当矩形的长为　　　　 cm,宽为　　　　 cm时,面积最大.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 【典例】1.已知a,b为正数,4a2+b2=7,则a的最大值为(　　) A. B. C.2 D.2 【典例】2.若a>-1,则的最小值是　　　　.  角度2　常数代换法 【典例】3.(2025·安徽A10联盟质检)已知m,n∈(0,+∞),+n=4,则m+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 角度3　消元法 【典例】4.已知正数a,b满足a2-2ab+4=0,则b-的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 【变式训练】1.(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 【变式训练】2.已知x<2,则+x的最大值是　　　　.  考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 【典例】5.若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) 【变式训练】3.设a>0,若关于x的不等式x+≥6对x∈(0,+∞)恒成立,则a的最小值是(　　) A.1 B.4 C.9 D.16 【变式训练】4.已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-1)∪(9,+∞) B.(-∞,-1]∪[9,+∞) C.(-9,-1) D.[-9,1] 考点3　利用基本不等式解决实际问题 【典例】6.某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足系:N(h)=(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h=　　　　厘米.  【变式训练】5.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是　　　　万元.  【知识拓展】柯西不等式 1.教材母题 (人教A必修二P37T16)用向量方法证明:对任意a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 上述不等式就是二维形式的柯西不等式,其证明的向量方法为教材P19数量积的性质(4):|a·b|≤|a||b|. 2.归纳如下: (1)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|,当且仅当β是零向量,或者存在实数k,使得α=kβ时等号成立. (2)用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式,则得到二维的柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,则(+)(+)≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当a1b2=a2b1时等号成立. (3)推广到一般形式:设ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时等号成立. 【典例】1.设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为　　　　.  【典例】2.若a,b,c为正实数,且a+b+c=1,则++的最大值为　　　　.  【典例】3.若实数x+2y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.(2025·武汉调研)已知正数a,b满足a+2b=1,则(　　) A.ab≥ B.ab> C.0<ab≤ D.0<ab< 2.(2025·开封模拟)若log2a+log2b=3,则a+b的最小值为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 3.设a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值为(　　) A.2 B.1+2 C.2+2 D.3+2 4.(2025·聊城模拟)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则3x+9y的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.2 5.(2025·石家庄质检)已知a>0,b>0,则a+2b+的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 6.已知正实数x,y满足2x+3y-xy=0,若3x+2y≥t恒成立,则实数t的取值范围是(　　) A.(-∞,25] B.(-∞,25) C.(-∞,24] D.[24,+∞) 7.已知p:a>b>0,q:>,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2025·四川名校大联考)已知实数x,y满足5x>y>0,则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知正实数x,y满足x+y=4,则下列选项正确的是(　　) A.ex+ey的最小值为2e2 B.lg x+lg y的最大值为lg 4 C.x2+y2的最小值为8 D.x(y+4)的最大值为16 10.(2025·长沙模拟)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.ab≥ B.+≤ C.a2+b2≥ D.+≥ 11.(2024·青岛模拟)已知正实数a,b,c,且a>b>c,x,y,z为自然数,则满足++>0恒成立的x,y,z可以是(　　) A.x=1,y=1,z=4 B.x=1,y=2,z=5 C.x=2,y=2,z=7 D.x=1,y=3,z=9 三、填空题 12.已知0<x<,则y=x(1-2x)的最大值为　　　　.  13.(2025·淮北模拟)已知正数x,y满足x+y=1,若不等式+>m对任意正数x,y恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  14.函数f(x)=在(1,+∞)上的最大值为　　　　.  四、解答题 15.已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求: (1)xy的最大值; (2)2x+y的最小值. 16.第19届亚运会于2023年9月在杭州举办,某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会,并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查,当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动,生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为50元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比【典例】系数为10.约定不计其他成本,即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时,能获得的总利润是多少万元? (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时,单套的利润最大?最大值是多少元? 学科网（北京）股份有限公司 $$