第一章 第3节　不等式及其性质（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第3节　不等式及其性质 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 两个实数比较大小的方法★★☆☆☆ 考点2 不等式的性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 考点2 不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 【解题技巧】 1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0,m>0,则<; >(b-m>0). (2)若ab>0,则a>b⇔<. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编　　　　　　　　　　　　　 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac3>bc3.(　　) (2)a=b⇔ac=bc.(　　) (3)若>1,则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) 2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 3.(苏教必修一P53【典例 】3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　.  4.(人教B必修一P81习题2-2BT3改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　比较数(式)的大小 【典例 】1.若正实数a,b,c满足c<cb<ca<1,则(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 【典例 】2.已知M=,N=,则M,N的大小关系为　　　　.  【变式训练】1.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【变式训练】2.(2025·上海调研)如果x<0,0<y<1,那么,,的大小关系是　　　　.  考点2　不等式的基本性质 【典例】3.若实数a,b满足a<b<0,则(　　) A.a+b>0 B.a-b<0 C.|a|<|b| D.> 【典例】4.(多选)已知a,b,c为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a+c>b+c C.若a>b>c>0,则> D.若a>b>c>0,则> 【变式训练】3.设a,b,c,d为实数,且c<d,则“a<b”是“a-c<b-d”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】4.(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 考点3　不等式性质的应用 【典例】5.(2025·西安质测)已知-1<a<5,-3<b<1,则以下结论错误的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.当b≠0时,-<<5 【典例】6.(2025·重庆质检)已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 【变式训练】5.已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是　　　　.  【变式训练】6.已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是　　　　,3x+2y的取值范围是　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N大小关系不确定 2.已知a,b∈R,若a>b,<同时成立,则(　　) A.ab>0 B.ab<0 C.a+b>0 D.a+b<0 3.已知ab=1,M=+,N=+,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 4.(2025·北海统考)已知a>b>0>c,则(　　) A.ac>bc B.a(b-c)<b(a-c) C.< D.a2+b2+c2>2ab-2ac+2bc 5.已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(　　) A.(1,3) B. C. D. 6.已知a<b<c,a+b+c=0,则(　　) A.ab<b2 B.ac>bc C.< D.<1 7.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为(　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 8.(2025·沈阳模拟)实数x,y满足2x+y=1.若|2y-1|-2|x|<3,则实数x的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-1,0) C. D. 二、多选题 9.若a>b>0,则下列不等式中正确的是(　　) A.< B.-a2<-ab C.ln|a-1|>ln|b-1| D.2a-b>1 10.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 11.已知实数a,b,c满足a>b>c,且abc=1,则下列说法正确的是(　　) A.(a+c)2> B.< C.a2>b2 D.(a2b-1)(ab2-1)>0 三、填空题 12.已知M=x2-3x,N=-3x2+x-3,则M,N的大小关系是　　　　.  13.若-1<a+b<3,2<a-b<4,t=2a+b,则a的取值范围为　　　　;t的取值范围为　　　　.  14.已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是　　　　.  四、解答题 15.(1)设a>b>0,比较与的大小; (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 16.已知实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4. (1)求实数a的取值范围; (2)求3a-2b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第3节　不等式及其性质 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 两个实数比较大小的方法★★☆☆☆ 考点2 不等式的性质★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 考点1 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 考点2 不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 【解题技巧】 1.证明不等式的常用方法有:作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0,m>0,则<; >(b-m>0). (2)若ab>0,则a>b⇔<. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编　　　　　　　　　　　　　 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac3>bc3.(　　) (2)a=b⇔ac=bc.(　　) (3)若>1,则a>b.(　　) (4)a<x<b<0⇒<<.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)由不等式的性质,ac3>bc3⇏a>b; 反之,c≤0时,a>b⇏ac3>bc3. (2)由等式的性质,a=b⇒ac=bc; 反之,c=0时,ac=bc⇏a=b. (3)a=-3,b=-1,则>1,但a<b. 2.(人教A必修一P43T8改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则> 【答案】ABD 【解析】C中,若a=-2,b=-1, 则a2>ab>b2,故C错误.其余均为真命题. 3.(苏教必修一P53【典例 】3改编)设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　.  【答案】M>N 【解析】M-N=x2+y2+1-2x-2y+2 =(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N. 4.(人教B必修一P81习题2-2BT3改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　.  【答案】(-5,-1) 【解析】由b∈(2,3)得-6<-2b<-4, 又1<a<3,故-5<a-2b<-1. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点1　比较数(式)的大小 【典例 】1.若正实数a,b,c满足c<cb<ca<1,则(　　) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 【答案】C 【解析】∵c是正实数,且c<1,∴0<c<1, 由c<cb<ca<1,得0<a<b<1, ∵=aa-b>1,∴ab<aa, ∵=,0<<1,a>0, ∴<1,即aa<ba, 综上可知,ab<aa<ba. 【典例 】2.已知M=,N=,则M,N的大小关系为　　　　.  【答案】M>N 【解析】法一　M-N=- = = =>0. ∴M>N. 法二　令f(x)= ==+, 显然f(x)是R上的减函数, ∴f(2 024)>f(2 025),即M>N. 【思维建模】比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论. (3)构造函数,利用函数的单调性比较大小. 【变式训练】1.若a=,b=,c=,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【答案】B 【解析】法一　易知a,b,c都是正数, ==log8164<1,所以a>b; ==log6251 024>1,所以b>c. 即c<b<a. 法二　构造函数f(x)=, 则f'(x)=, 由f'(x)>0,得0<x<e;由f'(x)<0,得x>e. ∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c. 【变式训练】2.(2025·上海调研)如果x<0,0<y<1,那么,,的大小关系是　　　　.  【答案】>> 【解析】法一　因为三个式子的值很明显都是负数, 且=y∈(0,1),所以>; 同理=y∈(0,1),所以>. 综上,<<. 法二　因为-=>0, 所以>; 因为-=>0, 所以>,所以>>. 考点2　不等式的基本性质 【典例】3.若实数a,b满足a<b<0,则(　　) A.a+b>0 B.a-b<0 C.|a|<|b| D.> 【答案】B 【解析】由a<b<0,可得a+b<0,故A错误; 由a<b<0,可得a-b<0,故B正确; 由a<b<0,可得-a>-b>0,所以|a|>|b|,故C错误; 由a<b<0,可得|a|>|b|>0, 所以<,故D错误. 【典例】4.(多选)已知a,b,c为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a+c>b+c C.若a>b>c>0,则> D.若a>b>c>0,则> 【答案】BCD 【解析】当c=0时,ac2=bc2,故A错误; 由不等式的可加性可知,B正确; 若a>b>c>0,则a-b>0,b+c>0, ∴-= =>0, ∴>,故C正确; 若a>b>c>0,则a-b>0,a-c>0,b-c>0,且a-c>a-b, ∴>>0, 又b>c>0,由可乘性知, >,故D正确. 【思维建模】解决此类题目常用的三种方法: (1)直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件; (2)利用特殊值排除法; (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【变式训练】3.设a,b,c,d为实数,且c<d,则“a<b”是“a-c<b-d”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由a<b不能推出a-c<b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1, 满足a<b,但是a-c=b-d,故充分性不成立; 当a-c<b-d时,又c<d,可得a-c+c<b-d+d,即a<b,故必要性成立, 所以“a<b”是“a-c<b-d”的必要不充分条件. 【变式训练】4.(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 【答案】AC 【解析】由<<0,可知b<a<0. A中,因为a+b<0,ab>0, 所以<0,>0, 则<,故A正确; B中,因为b<a<0, 所以-b>-a>0, 故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误; C中,因为b<a<0,又<<0, 则->->0, 所以a->b-,故C正确; D中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增, 所以ln b2>ln a2,故D错误. 考点3　不等式性质的应用 【典例】5.(2025·西安质测)已知-1<a<5,-3<b<1,则以下结论错误的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.当b≠0时,-<<5 【答案】D 【解析】由题知-1<a<5,因为-3<b<1,所以-1<-b<3, 对于A,若则-15<ab<3,若则ab=0,若则-1<ab<5, 综上可得-15<ab<5,故A正确; 对于B,-4=-3-1<a+b<1+5=6,故B正确; 对于C,-2=-1-1<a-b<3+5=8,故C正确; 对于D,当a=4,b=时,=8,故D错误. 【典例】6.(2025·重庆质检)已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 【答案】D 【解析】设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b, 所以解得 所以7a-5b=6(a-b)+(a+b). 又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30], 所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192]. 【思维建模】利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【变式训练】5.已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】∵4<b<9,∴<<,又3<a<8, ∴×3<<×8,即<<2. 【变式训练】6.已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是　　　　,3x+2y的取值范围是　　　　.  【答案】(-4,2)　(1,18) 【解析】因为-1<x<4,2<y<3, 所以-3<-y<-2, 所以-4<x-y<2. 由-3<3x<12,4<2y<6, 得1<3x+2y<18. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N大小关系不确定 【答案】B 【解析】M2-N2=(a+b)-(a+b+2) =-2<0,∴M<N. 2.已知a,b∈R,若a>b,<同时成立,则(　　) A.ab>0 B.ab<0 C.a+b>0 D.a+b<0 【答案】A 【解析】因为<, 所以-=<0, 又a>b,所以b-a<0,所以ab>0. 3.已知ab=1,M=+,N=+,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 【答案】C 【解析】法一　∵ab=1,∴b=, ∵M=+=+=1, N=+=+=1,∴M=N. 法二　由题意知,M=+=+=+=N. 4.(2025·北海统考)已知a>b>0>c,则(　　) A.ac>bc B.a(b-c)<b(a-c) C.< D.a2+b2+c2>2ab-2ac+2bc 【答案】C 【解析】对于A,a>b,c<0,则ac<bc,故A错误; 对于B,a>b>0>c,则c<0,b-a<0, 则a(b-c)-b(a-c)=c(b-a)>0,故B错误; 对于C,a>b>0>c,则a+c2>b+c2>0,则<,故C正确; 对于D,a2+b2+c2-(2ab-2ac+2bc)=(a+c)2+b2-2b(a+c)=(a+c-b)2,故存在a=2,b=1,c=-1,使得a2+b2+c2-(2ab-2ac+2bc)=0,故D错误. 5.已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(　　) A.(1,3) B. C. D. 【答案】A 【解析】因为-3<a<-2,所以4<a2<9, 而3<b<4,即<<, 故的取值范围为(1,3). 6.已知a<b<c,a+b+c=0,则(　　) A.ab<b2 B.ac>bc C.< D.<1 【答案】C 【解析】因为a<b<c,a+b+c=0,所以a<0<c,b的符号不能确定,当b=0时,ab=b2,故A错误; 因为a<b,c>0,所以ac<bc,故B错误; 因为a<0<c,所以<,故C正确; 因为a<b,所以-a>-b,所以c-a>c-b>0, 所以>1,故D错误. 7.已知m5=4,n8=9,0.9p=0.8,则正数m,n,p的大小关系为(　　) A.p>m>n B.m>n>p C.m>p>n D.p>n>m 【答案】A 【解析】由m5=4,得m=<, 由n8=9,得n==, 因此,== ==>1,即>m>n, 由0.9p=0.8,得p=log0.90.8>log0.90.81=2, 于是得p>m>n, 所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n. 8.(2025·沈阳模拟)实数x,y满足2x+y=1.若|2y-1|-2|x|<3,则实数x的取值范围是(　　) A.(-1,2) B.(-1,0) C. D. 【答案】A 【解析】根据题意可知y=1-2x,不等式|2y-1|-2|x|<3可化为|1-4x|-2|x|<3. 对绝对值里面的式子进行分类讨论可得当x <0时,原不等式可化为1-4x-2×(-x)<3,即1-2x<3,解得-1<x<0; 当0≤x≤时,原不等式可化为1-4x-2x<3,解得0≤x≤; 当x>时,原不等式可化为4x-1-2x<3, 即2x-1<3,解得<x<2. 综上可知-1<x<2, 即实数x的取值范围是(-1,2). 二、多选题 9.若a>b>0,则下列不等式中正确的是(　　) A.< B.-a2<-ab C.ln|a-1|>ln|b-1| D.2a-b>1 【答案】ABD 【解析】因为a>b>0,>0,所以>, 即<,故A正确; 因为a>b>0,-a<0,所以-a2<-ab,故B正确; 若a=,b=,ln|a-1|=ln|b-1|=ln,故C不正确; 因为a-b>0, 所以2a-b>20=1,故D正确. 10.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 【答案】ABD 【解析】x=[(x+2y)+2(2x-y)]∈(-1,2),故A正确; y=(x+2y)-(2x-y)∈(-2,1),故B正确; x+y=∈(-2,2),故C错误; x-y=∈(-1,3),故D正确. 11.已知实数a,b,c满足a>b>c,且abc=1,则下列说法正确的是(　　) A.(a+c)2> B.< C.a2>b2 D.(a2b-1)(ab2-1)>0 【答案】ABD 【解析】对A,根据a,b,c满足a>b>c, 且abc=1可知a>0,且a,b,c均不等于0, 当b<0时,不等式(a+c)2>显然成立, 当b>0时,a,c均为正数, 由基本不等式可得(a+c)2≥4ac==>,故A正确; 对B,因为a>b>c,故a-c>b-c>0, 故<成立,故B正确; 对C,当a=,b=-1,c=-2时,满足a>b>c且abc=1,但a2>b2不成立,故C错误; 对D,因为abc=1,(a2b-1)(ab2-1)==,因为a>b>c,故>0,故D正确. 三、填空题 12.已知M=x2-3x,N=-3x2+x-3,则M,N的大小关系是　　　　.  【答案】M>N 【解析】∵M-N=(x2-3x)-(-3x2+x-3) =4x2-4x+3=(2x-1)2+2>0, ∴M>N. 13.若-1<a+b<3,2<a-b<4,t=2a+b,则a的取值范围为　　　　;t的取值范围为　　　　.  【答案】　 【解析】a=[(a+b)+(a-b)], 由-1<a+b<3,2<a-b<4,得 1<(a+b)+(a-b)<7, 所以<[(a+b)+(a-b)]<, 即<a<, 又t=2a+b=(a+b)+(a-b), ∴-+1<(a+b)+(a-b)<+2, 即t∈. 14.已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是　　　　.  【答案】(-3,-1) 【解析】因为a>b>c,2a+b+c=0, 故a>0,c<0, 所以<0,1>>,2++=0, 所以=--2, 所以有1>-2->, 解不等式得-3<<-1, 故的取值范围是(-3,-1). 四、解答题 15.(1)设a>b>0,比较与的大小; (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 【解析】 (1)∵a>b>0, ∴>0,>0, ∴==1+>1, ∴>. 【证明】　 (2)∵c<d<0,∴-c>-d>0, 又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0, 又e<0, ∴-= ==>0, ∴>. 16.已知实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4. (1)求实数a的取值范围; (2)求3a-2b的取值范围. 【解析】 (1)a=[(a+b)+(a-b)], 由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4, 得-4≤(a+b)+(a-b)≤6, ∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3, 即-2≤a≤3, 故实数a的取值范围为[-2,3]. (2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b) =(m+n)a+(m-n)b, 则解得 ∴3a-2b=(a+b)+(a-b), ∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4. ∴-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10, ∴-4≤3a-2b≤11, 即3a-2b的取值范围为[-4,11]. 学科网（北京）股份有限公司 $$