辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

高二数学 第 1 页，共 4 页 秘密★启用前 2024-2025（下）期末质量监测 高 二 数 学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的） 1.如图，𝑈是全集，𝑀，𝑁，𝑃是𝑈的子集，则阴影部分表示的集合是 A. 𝑀 ∩ (𝑁 ∩ 𝑃) B. 𝑀 ∪ (𝑁 ∩ 𝑃) C. (∁𝑈𝑀) ∩ (𝑁 ∩ 𝑃) D. (∁𝑈𝑀) ∪ (𝑁 ∩ 𝑃) 2.设𝑎 > 0，𝑏 > 0，𝑎 + 𝑏 = 1，则下列说法错误的是 A. 𝑎𝑏的最大值为 1 4 B. 𝑎2 + 𝑏2的最小值为 1 2 C. 4 𝑎 + 1 𝑏 的最小值为9 D. √ 𝑎 + √ 𝑏的最小值为√ 2 3.若定义在𝑅上的奇函数𝑓(𝑥)在(−∞, 0)单调递减，且𝑓(2) = 0，则满足𝑥𝑓(𝑥 − 1) ≥ 0的𝑥的 取值范围是 A. [−1,1] ∪ [3, +∞) B. [−3, −1] ∪ [0,1] C. [−1,0] ∪ [1, +∞) D. [−1,0] ∪ [1,3] 4.函数𝑦 = 2𝑥3 2𝑥+2−𝑥 在[−6,6]的图象大致为 A. B. 高二数学 第 2 页，共 4 页 C. D. 5.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉( 未看被丢掉小球的颜色).现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球 也是红球的概率为 A. 3 14 B. 1 3 C. 2 3 D. 2 7 6.某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资 金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金 超过800万元的第一年是(参考数据：𝑙𝑔2 ≈ 0.3，𝑙𝑔1.13 ≈ 0.053) A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 7.在数列{𝑎𝑛}中，若𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 + 2 𝑛+1，则𝑎𝑛 = __________． A. 𝑛 · 2𝑛 B. 5 2 − 1 2𝑛 C. 2 · 3𝑛 − 2𝑛+1 D. 4 · 3𝑛−1 − 2𝑛+1 8.已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 1 4 ，𝑔(𝑥) = −ln𝑥，𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}表示𝑚，𝑛的最小值，设函数 ℎ(𝑥) = min{𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)}(𝑥 > 0)，若ℎ(𝑥)有2个零点，则𝑎的取值范围为 A. (− 5 4 , − 3 4 ) B. (−3, − 3 4 ) C. {− 3 4 } D. {− 3 4 , − 5 4 } 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9.已知集合𝐴 = {𝑥|𝑎 + 1 < 𝑥 < 2𝑎 − 3}, 𝐵 = {𝑥|𝑥 ⩽ −2 或𝑥 ⩾ 7}，则𝐴 ∩ 𝐵 = ⌀的必要不充 分条件可能是 A. 𝑎 < 7 B. 𝑎 < 6 C. 𝑎 < 5 D. 𝑎 < 4 10.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推动 出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值𝑋 = 2.1，样本方差𝑆2 = 0.01，已知该种植区以往的亩收入𝑋服从正态分布𝑁(1.8,0. 12)， 假设推动出口后的亩收入𝑌服从正态分布𝑁(𝑋, 𝑆2)，则(若随机变量𝑍服从正态分布𝑁(𝜇, 𝜎2)， 则𝑃(𝑍 < 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.8413) A. 𝑃(𝑋 > 2) > 0.2 B. 𝑃(𝑋 > 2) < 0.5 C. 𝑃(𝑌 > 2) > 0.5 D. 𝑃(𝑌 > 2) < 0.8 11.已知函数𝑓(𝑥) = 2ln𝑥 + 1 𝑥 ，数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1 = 2，𝑎𝑛+1 = 𝑓(𝑎𝑛)(𝑛 ∈ 𝑁∗)，则下列有关数列{𝑎𝑛}的叙述正确的是 A. 𝑎2 < 𝑎1 B. 𝑎𝑛 > 1 C. 𝑆100 < 100 D. 𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑛+1 + 1 > 2𝑎𝑛 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 高二数学 第 3 页，共 4 页 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.已知函数𝑓(𝑥) = { −𝑥2 + 2(𝑎 − 1)𝑥, 𝑥 ≤ 1 (8 − 𝑎)𝑥 + 4, 𝑥 > 1 在𝑅上单调递增，则实数𝑎的取值范围是 ． 13.期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对 的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1 道做对的概率为 ． 14.正方形𝐴𝐵𝐶𝐷位于平面直角坐标系上，其中𝐴(1,1)，𝐵(−1,1)，𝐶(−1, −1)，𝐷(1, −1).考 虑对这个正方形执行下面三种变换：(1)𝐿：逆时针旋转90°. (2)𝑅：顺时针旋转90°. (3)𝑆： 关于原点对称.上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四个点所在的位 置会发生变化.例如，对原正方形作变换𝑅之后，顶点𝐴从(1,1)移动到(1, −1)，然后再作一 次变换𝑆之后，𝐴移动到(−1,1).对原来的正方形按𝑎1，𝑎2，⋯，𝑎𝑘的顺序作𝑘次变换记为 𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑘，其中𝑎𝑖 ∈ {𝐿, 𝑅, 𝑆}，𝑖 = 1，2，⋯，𝑘.如果经过𝑘次变换之后，顶点的位置恢复 为原来的样子，那么我们称这样的变换是𝑘 −恒等变换.例如，𝑅𝑅𝑆是一个3 −恒等变换.则 3 −恒等变换共 种；对于正整数𝑛，𝑛 −恒等变换共 种. 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤） 15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床 产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：𝜒2 = 𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐) 2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) ． 𝑃(𝜒2 ≥ 𝑘) 0.050 0.010 0.001 𝑘 3.841 6.635 10.828 16．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶 段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至 少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投 中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为𝑝，乙每次投中的概率为𝑞，各次 投中与否相互独立． (1)若𝑝 = 0.4，𝑞 = 0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概 率； (2)假设0 < 𝑝 < 𝑞， (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 高二数学 第 4 页，共 4 页 17．数列{𝑎𝑛}满足𝑎1 = 1，𝑎2 = 2，𝑎𝑛+2 = 2𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 + 2． (1)设𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛，证明{𝑏𝑛}是等差数列； (2)求{𝑎𝑛}的通项公式． 18．设函数𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9 2 𝑥2 + 6𝑥 − 𝑎． (1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间． (2)若方程𝑓(𝑥) = 0有且仅有三个实根，求实数𝑎的取值范围． 19．如果曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)存在相互垂直的两条切线，称函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是“正交函数”.已知 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 2ln𝑥，设曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点𝑀(𝑥0, 𝑓(𝑥0))处的切线为𝑙1． (1)当𝑎 = −8，𝑥0 = 8时，是否存在直线𝑙2满足𝑙1 ⊥ 𝑙2，且𝑙2与曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)相切？请说明理 由； (2)如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是“正交函数”，求满足要求的实数𝑎的集合𝐷； (3)若对任意𝑎 ∈ [−5, −4)，曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)都不存在与𝑙1直的切线𝑙2，求𝑥0的取值范围．