精品解析：山东省青岛市银海学校2024-2025学年下学期八年级期中数学试题

2024－2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，有且只有一个是正确的） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ，故B符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意， 故选：B． 2. 下列在数轴上表示不等式组的解集中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”，“含等号用实心，不含等号用空心”是解答此题的关键． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：将不等式组的解集在数轴表示如下： 故选：C． 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4. 用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ） A. 至少有两个角是锐角 B. 至多有一个角是锐角 C. 只有一个角是锐角 D. 没有一个角是锐角 【答案】B 【解析】 【分析】“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此可以解答． 【详解】解：“至少有两个”的反面为“至多有一个”， 而反证法的结社即原命题的逆命题正确， 应假设：三角形三个内角中至多有一个锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题与原命题的关系是解题的关键． 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 6. 2022年4月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了得剩余时间内平整的土地为： ，根据题意得，，即可得． 【详解】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地， ∵学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了， ∴剩余时间内平整的土地为： 根据题意得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出不等式． 7. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）． 8. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何旋转问题、三角形内角和、等腰三角形性质，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解∶由旋转性质可得∶， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 【答案】7x﹣1＞0． 【解析】 【分析】首先表示“x的7倍"为7x，再表示“减去1”为7x-1，最后表示“是正数"为7x-1>0. 【详解】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0， 故答案为7x﹣1＞0． 【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式. 12. 如果一个等腰三角形的两边长分别为和，则此等腰三角形的周长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为或是腰长为两种情况． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 当腰长是时，则三角形的三边是，，，不满足三角形的三边关系； 当腰长是时，三角形的三边是，，，，满足三角形的三边关系，三角形的周长是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形，根据三边关系分情况讨论是解题的关键． 13. 关于x方程的解是一个非负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得方程的解为，再根据解是一个非负数得到关于a的不等式，然后求解即可． 【详解】解：解关于x的方程得， ∵方程的解是一个非负数， ∴，解得， 故答案：． 【点睛】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式，理解方程解的意义，掌握方程和不等式的解法是解答的关键． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 15. 如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形中线的定义，根据三角形中线的定义可得的长，根据相等垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积．作点Q关于的对称点，连接，则，利用点到直线垂直线段最短可得出当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再利用面积法可求出的值，进而可得出的最小值． 【详解】解：点Q关于的对称点，连接，如图所示： ∵平分， ∴点在直线上，， ∴， ∴当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为． 中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作线段的垂直平分线、作两条线段相等等知识，先作线段，再作的垂直平分线，垂足为点，在垂直平分线上截取，即可作出等腰．解决此类题目的关键是熟悉五类基本尺规作图，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图所示： 等腰即为所求． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； （2）将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和平移，熟练掌握旋转三要素和平移规则，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据平移的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 19. 解下列不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，根据不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，根据不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即可求解． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， 数轴表示如下： ∴不等式组的解集为：． 21. 开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元． （1）请问购进了A种笔记本多少本？ （2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值． 【答案】（1）150本 （2）128 【解析】 【分析】本题主要考查了二一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进了种文件夹个，则购进了种文件夹y个，根据题意列出二一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）根据题意，列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设购进了A种笔记本x本，购进了种笔记本y本， 由题意得：， 解得：， 答：购进了A种笔记本150本，购进了B种笔记本200本； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：m的最小值为128． 22. 如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 23. 新学期，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下： 羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球． （1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费__________元． （2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（）． 若选择方案一购买，需要花费______________元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______________元（用含a的代数式表示）． （3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】（1） （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，求代数式的值，不等式的应用，根据题意列出代数式、不等式是解题的关键． （1）根据题意列式计算，可得选择方案二共需花费元； （2）选择方案一购买，需要花费元，选择方案二购买，需要花费元； （3）分三种情况列不等式（或方程）可解得答案． 【小问1详解】 解：依题意，（元）， ∴选择方案二共需花费元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：选择方案一购买，需要花费元， 选择方案二购买，需要花费元， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由，解得， ∴当时，选择方案一更省钱； 由，解得， ∴当时，选择两种方案相同； 由，解得， ∴当时，选择方案二更省钱． 24. 如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． （1）如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； （2）如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； （3）在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 （3）16 【解析】 【分析】（1）证明，即可得； （2）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，根据平移可得，即，故平移的距离为2； （3）根据，由（1）知，得到，即可得到，故平移的距离是16． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形，， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵是等边三角形，，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，，点是边的中点， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点， ∴， ∵， ∴， 故平移的距离为； 【小问3详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴平移的距离是16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及等边三角形的性质及应用、全等三角形的判定与性质、平移变换、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 25. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______ 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积． 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查“等补四边形”，旋转、等边三角形，勾股定理的知识等，解题的关键是掌握“等补四边形”的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，即可． （1）根据旋转的性质，则四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积，即可； （2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质，则，，根据直角三角形的中所对的直角边等于斜边的一半，，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积，即可； （3）作于点，根据等补四边形中，，推出，；当点，，在同一直线上，则， 求出，根据，则， 求出，根据“等补四边形”的面积等于的面积，即可． 【详解】（1）等补四边形”的面积为， 故答案为：． （2）如图，过点作交于点， 根据题意可得：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积为：． （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， 作于点， ∴，，，， 在等补四边形中，， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积等于的面积：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，有且只有一个是正确的） 1. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列在数轴上表示不等式组的解集中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 4. 用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角锐角．应先假设三角形中（ ） A. 至少有两个角是锐角 B. 至多有一个角是锐角 C. 只有一个角是锐角 D. 没有一个角是锐角 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 2022年4月，教育部正式印发《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来综合实践活动课程中完全独立出来．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（　　） A. B. C. D. 7. 若不等式组无解，则m取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落上，此时等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 12. 如果一个等腰三角形的两边长分别为和，则此等腰三角形的周长为 _____． 13. 关于x的方程的解是一个非负数，则a的取值范围是______． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 15. 如图，在中，是线段垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为______． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为___________． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知线段，求作以为底的等腰直角三角形． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）将绕点顺时针旋转，在平面直角坐标系中画出旋转后的； （2）将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的． 19. 解下列不等式 （1） （2） 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元． （1）请问购进了A种笔记本多少本？ （2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值． 22. 如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 23. 新学期，学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球，已知体育用品商店的标价及活动如下： 羽毛球拍100元/副，羽毛球30元/盒，现在正值活动期间，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两副羽毛球拍赠送一盒羽毛球． （1）学校计划购买30副羽毛球拍和100盒羽毛球，若选择方案二共需花费__________元． （2）学校计划购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球（）． 若选择方案一购买，需要花费______________元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______________元（用含a的代数式表示）． （3）学校想购买30副羽毛球拍和a盒羽毛球，应该如何选择购买方案能更省钱？ 24. 如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边，将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点的对应点分别为点． （1）如图2，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，求证：； （2）如图3，图中画出了时的情形，求此时平移的距离； （3）在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形满足为直角时，则平移的距离为__________． 25. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______ 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积． 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$