专题四 最大公因数与最小公倍数问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（北师大版）

一夫当关,万夫莫开。 采蜜角 27 专题四 最大公因数与最小公倍数问题 最大公因数与最小公倍数是小学数学中非常重要的知识点,不仅要掌握最大公因数、最小 公倍数的概念,还要会求出几个数的最大公因数与最小公倍数,并能用相关的知识解决实际 问题。 类型一 求三个数的最小公倍数 例1 求10,12和20的最小公倍数。 点拨:先按从小到大 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的顺序分别列举出10,12 和20的倍数,然后找出它们的公倍数,最后从 公倍数中找出最小 􀪍􀪍 的一个。 解答: 运用列举法求三个数的最小公倍数 求三个数的最小公倍数与求两个数的最小公 倍数一样,都可以运用列举法,先按从小到大的顺 序列举出三个数各自的倍数,再从中找出它们的 最小公倍数。 类型二 用最大公因数解决实际问题 例2 某幼儿园买回49块水果糖和29块奶糖。 刘老师把两种糖分别平均分给小班的每个小 朋友,结果水果糖多出4块,奶糖还少1块。 小班最多有多少个小朋友? 点拨: 解答: 运用移多补少法解决与最大公因数 有关的实际问题 当两个数不是公因数的倍数时,通过“移多补 少”,可以使这两个数正好是公因数的倍数,进而 根据题目要求,求出最大公因数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 求下面各组数的最大公因数。 16和24 24,36和96 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆28 2. 求下面各组数的最小公倍数。 6,10和15 12,14和42 3. 中秋之夜,明明一家一起吃团圆饭。饭后,奶奶拿出洗好的苹果给大家吃。奶奶洗好的苹果 至少有多少个? 4. 有一根长方体木料,长3.25米,宽1.75米,厚0.75米。如果将这根木料正好截成体积相等的 小正方体木块,并使每个小正方体木块尽可能大,那么小正方体木块的棱长是多少? 可以截 成多少个这样的小正方体木块? 5. 如图,一条街道在点B 处有一个拐角,在街道一侧等距离地安装路灯,要求点A,B,C 处各安 装一盏路灯。这条街道最少需要安装多少盏路灯? 6. 甲、乙两地之间,原来每隔45米竖1根电线杆,加上两端的2根,共有53根,现在改为每隔 60米竖1根电线杆。除了两端的2根电线杆不必移动外,中间还有多少根电线杆不必移动? 数学(北师版)五年级 81 都是奇数,按照“从第五个数起,每个数都是它前面四 个数之和的个位上的数字”,如果不看具体数,只看数 的奇偶性,那么将这串数依次写出来,得到:奇数、奇 数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇 数……可以看出,这串数是按照四个奇数、一个偶数 的规律循环出现的,永远不会出现四个偶数连在一起 的情况,即不会出现“2000”。 4. 偶数 解析:如全对得20×5=100(分),100是偶 数;如答错1题要从100分中减去5+1=6(分),即 94分,94也是偶数;如有1题不答,要从100分中减 去5-1=4(分),即96分,96还是偶数,每名同学的分 数肯定是偶数,所以这21名同学分数的总和就是偶数。 5. (4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351 解析:10个数字正好组成5个两位数,我们先不考虑 “和是奇数”这个条件,只考虑5个两位数的和尽可能 大如何解决。要使得0~9这10个数字组成的5个 两位数的和尽可能大,那么5个两位数的十位上的数 字要取较大的9,8,7,6,5,个位上的数字取较小的0, 1,2,3,4。这时,我们再考虑5个两位数和的奇偶性。 看几个数的和是奇数还是偶数,只需要看个位上的数 字之和,如果个位上的数字之和是奇数(或偶数),那 么这几个数的和就是奇数(或偶数)。根据这个原则, 我们很容易看出个位上的数字是0,1,2,3,4,这5个 数字中有2个是奇数,因为偶数个奇数的和是偶数, 所以这5个两位数的和是偶数,不满足题目的要求。 从已得到的5个两位数出发,尽可能少地调整十位与 个位上的数字,调整的两个数字要尽可能地接近。因 此,只有4和5这两个数字位置互换,这样5个两位数 的十位上的数字分别是4,6,7,8,9,个位上的数字分 别是0,1,2,3,5,这样个位上的数字之和就是奇数。 专题三 分数基本性质 [例题导引] 例1 解答:4×2×3×3 5×2×3×3= 72 90 例2 解答:100+23+32=155 155÷(2+3)×2= 62 155÷(2+3)×3=93 62-23=39 93-32= 61 原来的分数是3961 [提优训练] 1. 12-8=4 12÷4=3 24÷3=8 24-8=16 分母 应该减去16 2. 3×5×3×2×2 5×5×3×2×2= 180 300 3. (75+2)÷(1+6)=11 11×6=66 66-2=64 原来的分数是11 64 解析:分母增加2后,分子与分母 的和是75+2=77,根据约分后得16 可知,分子是 77÷(1+6)=11,分母是11×6=66。原来的分母是 66-2=64,所以原来的分数是1164 。 4. (27-5)÷(15-4)=2 4×2=8 15×2=30 8-5=3 30-27=3 加上的数是3 解析:分子和 分母同时加上一个相同的数,差不变,约分后的差是 11,原来分子和分母的差是现在分子与分母差的 2倍,则2是约去的数,用4和15分别乘这个约去的 数,还原成约分前的分子、分母,再求出与原分子、分 母相差几,就是加上的那个相同的数。 5. 25+6+39=70 70÷(1+4)=14 1×14=14 4×14=56 14-6=8 56-39=17 原来的分数是 8 17 解析:新分数分子与分母的和是25+6+39=70, 约去的数是70÷(1+4)=14,约分前新分数的分子是 1×14=14,约分前新分数的分母是4×14=56,原来 的分数的分子是14-6=8,原来的分数的分母是 56-39=17,原来的分数是817 。 专题四 最大公因数与最小公倍数问题 [例题导引] 例1 解答:10的倍数有10,20,30,40,50,60,70, 80,90,100,110,120…… 12的倍数有12,24,36, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析 82 48,60,72,84,96,108,120…… 20的倍数有20,40, 60,80,100,120…… 10,12和20的公倍数有60, 120…… 10,12和20的最小公倍数是60 例2 解答:49-4=45(块) 29+1=30(块) 45和 30的最大公因数是15,所以小班最多有15个小朋友 [提优训练] 1. 8 12 2. 30 84 3. 3和5的最小公倍数是15 15+1=16(个) 奶奶 洗好的苹果至少有16个 4. 3.25米=325厘米 1.75米=175厘米 0.75米=75厘米 325,175和75的最大公因数是 25,所以小正方体木块的棱长是25厘米 (325÷ 25)×(175÷25)×(75÷25)=273(个) 解析:先换 算单位,将米转化成厘米。因为要截成尽可能大的小 正方体木块,所以找325,175和75的最大公因数,求 出小正方体木块的棱长,再进一步求出截成的小正方 体木块的个数。 5. 715和520的最大公因数是65 715÷65=11(盏) 520÷65=8(盏) 11+1+8=20(盏) 解析:由题中 “等距离地安装路灯”可知,求相邻两盏路灯之间的距 离可转化为求715和520的公因数。又由“最少需要 安装多少盏路灯”可知,路灯总盏数要最少,则相邻两 盏路灯之间的距离要最大,于是问题转化为求715和 520的最大公因数。最后求出这条街道最少需要安装 的路灯总盏数。 6. 45×(53-1)=2340(米) 45和60的最小公倍数 是180 2340÷180-1=12(根) 解析:先根据原来 的电线杆根数和相邻2根电线杆的距离求出甲地到 乙地的距离,甲、乙两地共有53-1=52(个)间隔,相 邻2根电线杆的距离是45米,则甲地到乙地的距离 为45×52=2340(米)。找出45和60的最小公倍数 是180后,求出除第1根外,不必移动的电线杆(包含 最后1根)的数量为2340÷180=13(根),去掉最后 1根,所以中间还有13-1=12(根)电线杆不必移动。 专题五 组合图形的面积 [例题导引] 例1 解答:方法一:9×6÷2+15×6÷2=72(cm2) 方法二:[(9+3)+(3+15)]×6÷2-3×6=72(cm2) 方法三:(9+15)×6÷2=72(cm2) 例2 解答:10×8÷2+10=50(cm2) [提优训练] 1. 26×18-2×18=432(平方米) 2. 小路的面积:(20+15)×2-2×2=66(平方米) 草坪的占地面积:20×15-66=234(平方米) 3. 16×16-56=200(平方厘米) 200×2÷16= 25(厘米) 25-16=9(厘米) 解析:三角形甲的面 积比三角形乙的面积大56平方厘米,结合图形可得, 正方形ACDE 的面积比三角形BDE 的面积大56平 方厘米,由此可得三角形 BDE 的面积等于正方 形ACDE 的面积减去56平方厘米,求得三角形BDE 的面积,再利用三角形的面积公式求出BD 的长,即 可求得BC 的长。 4. 3×1.5÷2=2.25(平方厘米) 解析:根据同底等 高的三角形面积相等,可得三角形ABC 的面积等于 三角形DBC 的面积,两个三角形的面积分别减去三 角形EBC 的面积,可得三角形ABE 的面积等于题图 中涂色部分的面积,最后根据三角形的面积公式进行 计算。 5. 8×8÷2=32(平方厘米) 32-16=16(平方厘米) 32+16=48(平方厘米) 解析:因为三角形AOE 的 面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米,所以三角 形AEB 的面积比三角形BED 的面积小16平方厘 米。又因为三角形BED 与三角形BAD 同底等高,所 以三角形AEB 的面积比三角形BAD 的面积小16平 方厘米,三角形BAD 为腰长8厘米的等腰直角三角 形,可以求出面积,也就是三角形BED 的面积,根据 以上关系可以求出三角形AEB 的面积,三角形AEB 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)五年级