专题二 奇数和偶数问题-【通成学典】2025年五年级数学暑期升级训练（北师大版）

中国是最早运用“十进制”计数法的国家。早在春秋战国时期,便已能熟练地运用十进 制的算筹计数法。 采蜜角 23 专题二 奇数和偶数问题 一个整数是奇数还是偶数就是数的奇偶性,奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇数的和是偶 数,任意多个偶数的和是偶数。数的奇偶性在解决问题中有着广泛的应用,日常生活中有一些 有趣的数学问题,用一般方法很难解答,但巧妙地运用数的奇偶性,对其中的一些数进行奇偶 分析,问题就能迎刃而解。 类型一 根据数的奇偶性解决多次往返 问题 例1 一只小船从河的南岸摆渡到北岸,再从 北岸摆渡到南岸,多次往返。已知小船最初在 南岸,摆渡50次后,小船在南岸还是北岸? 摆 渡2023次后呢? 点拨:可以根据数的奇偶性来判断小船最后是 在南岸还是北岸。 方法一:列表法。 摆渡次数 1 2 3 4 5 6 …… 小船所在的 位置 北 岸 南 岸 北 岸 南 岸 北 岸 南 岸 …… 观察表格可知,摆渡次数为奇数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 时,小船在北 􀪍 岸 􀪍 ;摆渡次数为偶数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 时,小船在南岸 􀪍􀪍 。 方法二:图示法。 解答: 根据往返规律解决问题 解决在两个地点间多次往返的问题,要明确 两点:① 走偶数次时回到起点;② 走奇数次时到 达与起点相对的另一点。 类型二 根据运算结果的奇偶性解决问题 例2 有一组数,1,2,3,5,8,13,21……从第 3个数起,每个数都是前面两个数的和,在前 1000个数中,奇数有多少个? 点拨:根据“奇数+偶数=奇数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ”“奇数+奇􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 数=偶数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ”及上面一组数,可以得出它们的排 􀪍 列规律如下:奇数、偶数、奇数、奇数、偶数、奇 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 数…… 􀪍􀪍􀪍 这样就可以把每3个数分为一组,每组 中有2个奇数和1个偶数,求出前1000个数 中有多少组,就可以求出有多少个奇数了。 解答: 根据奇、偶数排列规律解决求奇、偶数个数问题 解决此类问题时,要根据数的排列特点判断 奇、偶数出现的规律,再根据周期问题的解题方法 解决问题。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 整合提优 评价苑 用时：　　　分钟　　　　自我评价：☆☆☆☆☆24 1. 一张扑克牌正面朝上放在桌子上,翻动1次正面朝下,翻动2次正面朝上。翻动99次后,哪个 面朝上? 翻动100次后,哪个面朝上? 2. 从3开始列举,后一个数是前一个数加3后的得数:3,6,9,12……第2023个数是奇数还是 偶数? 3. 在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位上的数字。在这串 数中,是否会出现相邻的四个数是“2000”? 135761939237134…… 4. 某班21名同学参加竞赛,共有20道竞赛题。每道题的评分方法如下:答对得5分,不答得 1分,答错倒扣1分。这21名同学分数的总和是奇数还是偶数? 5. 用0,1,2,3,…,9这10个数字组成5个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数并且 尽可能大,这5个两位数的和是多少? 数学(北师版)五年级 80 四、 画图略 52 五、 1. (1) 西 北 15(或北 西 75) 北 东 35 (或东 北 55) (2) 10×4+15×2=70(千米) 2. 亚洲:32×316=6 (支) 欧洲:6÷613=13 (支) 3. (1) (2) 解:设x 分后两人第一次相遇。 (150+130) x=5600 x=20 4. (1) 三种 第一种:选5张A种铁皮,6×6×6= 216(立方分米) 216立方分米=216升 第二种:选 1张A种铁皮和4张B种铁皮,6×6×7=252(立方 分米) 252立方分米=252升 第三种:选2张A种 铁皮和3张B种铁皮,6×7×6=252(立方分米) 252立方分米=252升 (2) 第二种:6×6×1+6× 7×4=204(平方分米) 第三种:6×6×2+6×7× 3=198(平方分米) 204>198 至少需要198平方 分米的铁皮 (3) 6×7×(6-0.5)=231(立方分米) 105升=105立方分米 231-105=126(立方分米) 5. 2 5+ 9 10-1= 3 10 解析:2 5+ 9 10 的结果除了整体 “1”之外还包括一个获二等奖的占获奖总人数的几分 之几,用2 5 与9 10 的和减去“1”就是获二等奖的占获奖 总人数的几分之几。 2 整合提优(五年级全学年) 专题一 消去问题 [例题导引] 例1 解答:圆珠笔:(12.2-7.8)÷(5-3)= 2.2(元) 铅笔:(12.2-2.2×5)÷2=0.6(元) 例2 解答:香蕉:(29.2×2-53.4)÷(3×2-5)= 5(元) 苹果:(29.2-5×3)÷2=7.1(元) [提优训练] 1. (60-46.5)÷(8-5)=4.5(吨) (46.5-4.5× 5)÷2=12(吨) 2. 练习本:70.5÷(5+7×6)=1.5(元) 钢笔:1.5× 6=9(元) 3. 羊:(97.5×2-135.5)÷(6×2-5)=8.5(千克) 牛:(97.5-8.5×6)÷3=15.5(千克) 4. 钢笔:(52.7×2-32.3×3)÷(5×2-3×3)= 8.5(元) 墨水:(32.3-8.5×3)÷2=3.4(元) 解析:将小宇买的钢笔和墨水的数量都扩大到原来的 3倍,这样小宇买(3×3)支钢笔和(2×3)瓶墨水共付 (32.3×3)元。将小芳买的钢笔和墨水的数量都扩大 到原来的2倍,这样小芳买(5×2)支钢笔和(3×2)瓶 墨水共付(52.7×2)元。52.7×2与32.3×3的差即 为(5×2-3×3)支钢笔的价钱,可以求出1支钢笔的 价钱,进而求出1瓶墨水的价钱。 5. 58÷(7+6×5÷4)=4(元) 解析:首先根据互相 交换一盒后,两人手里物品的总价相等,可得6盒奶 糖的价格+1盒巧克力的价格=1盒奶糖的价格+ 5盒巧克力的价格,据此推得5盒奶糖的价格等于 4盒巧克力的价格,所以6盒巧克力的价格等于(6× 5÷4)盒奶糖的价格;然后根据(7+6×5÷4)盒奶糖 的价格等于58元,求出一盒奶糖的价格是多少即可。 专题二 奇数和偶数问题 [例题导引] 例1 解答:摆渡50次后,小船在南岸;摆渡2023次 后,小船在北岸 例2 解答:1000÷3=333(组)……1(个) 333× 2+1=667(个) [提优训练] 1. 翻动99次后,反面朝上;翻动100次后,正面朝上 2. 奇数 解析:这组数按照奇数、偶数、奇数、偶 数……的顺序排列,第2023个数是奇数。 3. 不会 解析:仔细观察会发现,这串数的前四个数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)五年级 81 都是奇数,按照“从第五个数起,每个数都是它前面四 个数之和的个位上的数字”,如果不看具体数,只看数 的奇偶性,那么将这串数依次写出来,得到:奇数、奇 数、奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、奇数、奇数、偶数、奇 数……可以看出,这串数是按照四个奇数、一个偶数 的规律循环出现的,永远不会出现四个偶数连在一起 的情况,即不会出现“2000”。 4. 偶数 解析:如全对得20×5=100(分),100是偶 数;如答错1题要从100分中减去5+1=6(分),即 94分,94也是偶数;如有1题不答,要从100分中减 去5-1=4(分),即96分,96还是偶数,每名同学的分 数肯定是偶数,所以这21名同学分数的总和就是偶数。 5. (4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351 解析:10个数字正好组成5个两位数,我们先不考虑 “和是奇数”这个条件,只考虑5个两位数的和尽可能 大如何解决。要使得0~9这10个数字组成的5个 两位数的和尽可能大,那么5个两位数的十位上的数 字要取较大的9,8,7,6,5,个位上的数字取较小的0, 1,2,3,4。这时,我们再考虑5个两位数和的奇偶性。 看几个数的和是奇数还是偶数,只需要看个位上的数 字之和,如果个位上的数字之和是奇数(或偶数),那 么这几个数的和就是奇数(或偶数)。根据这个原则, 我们很容易看出个位上的数字是0,1,2,3,4,这5个 数字中有2个是奇数,因为偶数个奇数的和是偶数, 所以这5个两位数的和是偶数,不满足题目的要求。 从已得到的5个两位数出发,尽可能少地调整十位与 个位上的数字,调整的两个数字要尽可能地接近。因 此,只有4和5这两个数字位置互换,这样5个两位数 的十位上的数字分别是4,6,7,8,9,个位上的数字分 别是0,1,2,3,5,这样个位上的数字之和就是奇数。 专题三 分数基本性质 [例题导引] 例1 解答:4×2×3×3 5×2×3×3= 72 90 例2 解答:100+23+32=155 155÷(2+3)×2= 62 155÷(2+3)×3=93 62-23=39 93-32= 61 原来的分数是3961 [提优训练] 1. 12-8=4 12÷4=3 24÷3=8 24-8=16 分母 应该减去16 2. 3×5×3×2×2 5×5×3×2×2= 180 300 3. (75+2)÷(1+6)=11 11×6=66 66-2=64 原来的分数是11 64 解析:分母增加2后,分子与分母 的和是75+2=77,根据约分后得16 可知,分子是 77÷(1+6)=11,分母是11×6=66。原来的分母是 66-2=64,所以原来的分数是1164 。 4. (27-5)÷(15-4)=2 4×2=8 15×2=30 8-5=3 30-27=3 加上的数是3 解析:分子和 分母同时加上一个相同的数,差不变,约分后的差是 11,原来分子和分母的差是现在分子与分母差的 2倍,则2是约去的数,用4和15分别乘这个约去的 数,还原成约分前的分子、分母,再求出与原分子、分 母相差几,就是加上的那个相同的数。 5. 25+6+39=70 70÷(1+4)=14 1×14=14 4×14=56 14-6=8 56-39=17 原来的分数是 8 17 解析:新分数分子与分母的和是25+6+39=70, 约去的数是70÷(1+4)=14,约分前新分数的分子是 1×14=14,约分前新分数的分母是4×14=56,原来 的分数的分子是14-6=8,原来的分数的分母是 56-39=17,原来的分数是817 。 专题四 最大公因数与最小公倍数问题 [例题导引] 例1 解答:10的倍数有10,20,30,40,50,60,70, 80,90,100,110,120…… 12的倍数有12,24,36, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 附:答案与解析