精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期末考试 《数学》试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：A、无法计算，故此选项错误； B、2+无法计算，故此选项错误； C、2﹣，无法计算，故此选项错误； D、﹣＝，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 4. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在一次函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1<x2时，y1<y2，则m的取值范围是(　　) A. m> B. m< C. m< D. m>－ 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据一次函数性质：中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由当x12时，y12，可推出1＋2m>0. 【详解】因为，A(x1，y1)和点B(x2，y2)在一次函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x12时，y12， 所以，推出1＋2m>0， 所以，m>. 故选D. 【点睛】本题考核知识点：一次函数性质. 解题关键点:判断一次函数中y随x如何变化，关键看k的符号.反之，从函数值的变化关系可以推出k的取值范围. 6. 庆元大道两侧需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S(单位m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( ) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】此题只要能求出2至5小时的一次函数解析式，从而求出当x=2时的纵坐标，除以2即可． 【详解】解：从图象可以知2至5时的函数图象经过(4，1600)(5，2100) 设该时段的一次函数解析式为y=kx+b(x≥2)，依题意，将点(4，1600)(5，2100)分别代入， 可列方程组有 解得： ∴一次函数的解析式为：y=500x-400 ∴当x=2时，解得y=600． ∴前两小时每小时完成的绿化面积是600÷2=300(m2) 故选B． 【点睛】此题主要考查求一次函数的解析式与函数的图象的关系．只要能根据两点代入一次函数的解析式y=kx+b中列出方程组分别求出k，b值即可 7. 在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：，，，，，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多数为众数，据此求解即可． 【详解】解：这组数据中，90出现的次数为2，最多， 故众数为90， 故选：B 【点睛】此题考查了众数的求解，掌握众数的求解方法是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（　　） A. m2 B. m2+1 C. 2m2 D. （m+1）2 【答案】A 【解析】 【分析】如图，作AD⊥BC交BC于D，根据勾股定理得AB2=BD2+AD2，AP2=PD2+AD2，再根据D是BC的中点，整理得到AB2﹣AP2=PB•PC，再把AB=m代入求解即可. 【详解】解：如图，作AD⊥BC交BC于D， AB2=BD2+AD2 ①， AP2=PD2+AD2 ②， ①﹣②得： AB2﹣AP2=BD2﹣PD2， ∴AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD）， ∵AB=AC， ∴D是BC中点， ∴BD+PD=PC，BD﹣PD=PB， ∴AB2﹣AP2=PB•PC， ∴PA2+PB•PC=AB2=m2． 故选A. 9. 如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（ ） A. 甲错，乙、丙都对 B. 甲、丙都错，乙对 C. 甲、乙、丙都对 D. 甲、乙、丙都错 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何的综合、点的坐标和对称的性质．根据点要 点到点之间，可知：当点在点位置时，是点的纵坐标；当点在点位置时，是点的 纵坐标；作点关于的对称点，连接，，此时对应的的值最小，是点的纵坐标，利用勾股定理求出的长即为的值． 【详解】解：当点在点位置时， ，， ， 点的纵坐标为， 故甲错； 当点在点位置时，如下图所示， ， 在中，，， ， ， 点的纵坐标为， 故乙对； 如下图所示， 作点关于的对称点，连接，， 则，， ， 点的纵坐标为， 故丙对． 综上所述，甲错，乙、丙对， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 二．填空题（每空3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法． 先化简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点E位于点A右侧），则点E表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记勾股定理是解题的关键．由勾股定理可推出的长，再根据作图得出的长，即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点点E位于点A右侧， ， 点E表示的数为， 故答案为： 13. 已知一组数据，，…，的方差是，则数据，，…，的方差是________． 【答案】12 【解析】 【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．由此即可解答. 【详解】∵数据，，…，的方差是， ∴数据，，…，的方差是12， ∴数据，，…，的方差是12. 故答案为12. 【点睛】本题考查了方差的定义．熟知当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍，是解决本题的关键. 14. 已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据题意求出、两点的坐标，进而求出的面积，再根据和的面积相等分情况列出等式解答即可． 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 15. 如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图1和2，作点关于的对称点，连接，，先根据轴对称的性质可得，将求的最小值转化为求点到折线的最短距离，从而可得在图2中，当时，点到的距离最短，再设交于点，交于点，利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，最后利用的面积求解即可得． 【详解】解：如图1和2，作点关于的对称点，连接，， 由轴对称的性质得：， ∴求的最小值可转化为求点到折线的最短距离， 如图1，当点在上运动时，点到的最短距离为的长， 如图2，当点在上运动时，则时，点到的距离最短， ∵如图2，在中，， ∴当点在折线上运动时，点到折线的最短距离为图2中的长， 在图2中，设交于点，交于点， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、垂线段最短等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． （1）先根据二次根式的乘除法法则运算，然后合并即可； （2）先化简二次根式及绝对值，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 【答案】（1） （2）学校旗杆的高为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据，结合题意即可获得答案； （2）先证明四边形是矩形，得到，，，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知， 则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，可有 ， 即， 解得， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高为． 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据是的中点，，易证得，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形。 【详解】证明：如图， ， ， 是的中点，是边上的中线， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ∴四边形是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键． 19. 在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）补全条形统计图； （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2）估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； （3）补全图形见解析 （4）理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体和扇形统计图，能从统计图中提取有用信息是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解，结合求解即可； （2）总人数分别乘以七、八年级优秀人数所占比例，再相加即可得出答案； （3）根据，再补全图形即可． （4）根据众数、中位数、方差的意义分析判断即可． 【小问1详解】 解：七年级成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，而这2个数分别为90、90， 所以其中位数， 八年级成绩在A组人数为人，组人数为人，C组成绩为92的有5人， 所以其成绩的众数． 而， ∴； 【小问2详解】 解：人， 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； 【小问3详解】 解：∵七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90；共人， 补全图形如图所示， ； 【小问4详解】 解：七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些， 理由：因为七、八年级学生成绩的平均数相等，虽然八年级成绩的中位数略高于七年级，但七年级成绩的众数大于八年级，且方差更小，成绩更稳定，所以七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些． 20. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （2）如图2．在正方形中，点E，F，G分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定. （1）根据“垂等四边形”的定义作图即可； （2）先证明，再求出，则，证明，得到，导角证明，得到，则，即可证明四边形是垂等四边形． 【小问1详解】 解：如图1中，四边形即为所求． 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形． 21. 烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； （1）求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ （2）每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 【答案】（1）烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 （2）25件，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元，根据两种套餐价格列出方程组，通过代入消元法求解； （2）设每天准备种套餐件，则准备种套餐件，根据条件列出不等式确定的取值范围，再根据利润关系列出函数关系式，根据函数性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设烩面的价格为元，小份凉菜的价格为元． 根据题意可得， 由第一个方程得，代入第二个方程得， 解得：， 将代入得． 所以烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元； 【小问2详解】 解：设每天准备种套餐件，则准备种套餐件． 根据题意可得， 解得： ， ∵， ∴， ∵为整数， ∴， ∴， ∵套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜， ∴套餐利润为元，套餐利润为元， 设利润为， ∴． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，此时元， 此时件． ∴餐馆每天应准备25件种套餐，最大利润为元． 22. 【问题导入】如图①，在直线上找一点，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点关于直线的对称点，连接，与直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最小． 如图②，在直线上找一点，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点在轴上运动，点在直线下方的轴上运动． ①当最小时，求点的坐标； ②当最大时，求点的坐标． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当的值最大时，若点、分别是线段、上的动点，且，连接、，当最小时，求点的坐标． 【答案】（1）①②；（2）． 【解析】 【分析】（1）①把代入，求出，再把代入解析式，求出的值，作点B关于x轴对称点，连接，则与轴的交点即为点，求出的解析式，令，求出点的坐标即可； ②由①可得的最小值，作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可； （2），得到当最大，最小时，t有最大值，过点P，作，，连，证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）①将点代入，得， ∴ 将点代入，得； 故，； 作点B关于x轴对称点，连接， 则与轴的交点即为点， 此时的值最小为的长， ∵， ∴设直线的解析式为， 则：， 解得： ∴， 令，则， 解得， ∴； ②作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长， 设的解析式为 把，分别代入 得 解得 ∴ 令，则， ∴， （2）依题意，， 当最大，最小时，t有最大值，且， ∵， ∴， ∴； 过点P作，使得，连， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握将军饮马是解题的关键． 23. 如图，菱形的边长为6，，为直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交对角线于点，为边的中点，连接． 　　 　 （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出与的关系． （2）如图2，当点在边上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）当时，请直接写出的长． 【答案】（1），，理由见解析 （2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和三角形的中位线性质求解即可； （2）成立，证明过程可根据菱形的性质证明得到，进而可证明得到，进而得到为的中位线，利用三角形的中位线性质可得出结论； （3）过A作于M，连接，则，在中，利用锐角三角函数求得，，在中，利用勾股定理求得，再由得到，进而由求解即可． 【小问1详解】 解：，，理由为： 由题意，当点与点重合时，点F与点D重合， ∵四边形是菱形， ∴，即，又为边的中点， ∴为的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论成立，即，． 证明：在图2中，连接交于O，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴，则， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则， ∴， ∴，又， ∴，则， ∵为边的中点， ∴为的中位线， ∴，； 【小问3详解】 解：在图2中，过A作于M，连接，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期末考试 《数学》试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ， ， C. ， ， D. ，， 3. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 4. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在一次函数y＝(1＋2m)x－3的图象上，且当x1<x2时，y1<y2，则m的取值范围是(　　) A. m> B. m< C. m< D. m>－ 6. 庆元大道两侧需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率，该绿化组完成的绿化面积S(单位m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( ) A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 7. 在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：，，，，，则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（　　） A. m2 B. m2+1 C. 2m2 D. （m+1）2 9. 如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（ ） A. 甲错，乙、丙都对 B. 甲、丙都错，乙对 C. 甲、乙、丙都对 D. 甲、乙、丙都错 10. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题（每空3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点（点E位于点A右侧），则点E表示的数为______． 13. 已知一组数据，，…，的方差是，则数据，，…，的方差是________． 14. 已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 15. 如图，在矩形中，，点在折线上运动；点关于的对称点为，连接，在点从点运动到点的过程中，的最小值为___________． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2） 17. 某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段表示旗杆高度，垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段．用皮尺测出的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 小丽身高 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段与之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆的高． 18. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．证明四边形是菱形 19. 在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）补全条形统计图； （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 20. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． （1）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （2）如图2．在正方形中，点E，F，G分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形． 21. 烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出两种套餐，套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； （1）求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ （2）每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的套餐数量是套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件种套餐？最大利润为多少？ 22. 【问题导入】如图①，在直线上找一点，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点关于直线的对称点，连接，与直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最小． 如图②，在直线上找一点，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点关于直线的对称点，连接并延长交直线交于点．由对称可得，所以，当、、三点共线的时候，，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点在轴上运动，点在直线下方的轴上运动． ①当最小时，求点的坐标； ②当最大时，求点的坐标． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当的值最大时，若点、分别是线段、上的动点，且，连接、，当最小时，求点的坐标． 23. 如图，菱形的边长为6，，为直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交对角线于点，为边的中点，连接． 　　 　 （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出与的关系． （2）如图2，当点在边上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $