精品解析：重庆市第一中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年重庆一中初2026届初二下期期末考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 下列说法错误的是（ ） A. 四个角都相等的菱形是正方形 B. 若点将线段黄金分割且，则 C. 任意两个正方形不一定相似 D. 若关于变量，的关系式为，则是的反比例函数 7. 如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4或 D. 或6 9. 如图，正方形中，、、分别是、、边上一点且，以为斜边，在右侧作等腰，连接、、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于，，的单项式，，，其中，，均不为0，，，均为正整数，规定，，下列说法，正确的个数为（ ） ①当时，代数式的值共有3种不同的结果； ②当多项式的次数为2时，满足条件的多项式一共有7个； ③当时，所有满足条件的的和恒为正数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 12. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 13. 小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 14. 在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则，，的大小关系是________（请用“<”符号连接）． 15. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 16. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____． 17. 在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则________． 18. 若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则________；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则________． 三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每题各10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 20. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，连接，点是线段上的一点． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接、． （2）若是以为斜边的直角三角形，求证： 证明：四边形是矩形 ① ② 是以为斜边的直角三角形 ③ ④ ⑤ 21. 先化简，再求值，其中是满足不等式的整数解． 22. 周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若这天上午有名观众，下午有名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评分在9分以上的总人数是多少人？ 23. 某特产店出售、两种特产，已知每袋种特产的售价比每袋种特产的售价贵3元，老王第一次购买时，花费4500元购买种特产，花费1800元购买种特产，发现购买的种特产的数量恰好是种特产数量的2倍． （1）求每袋种特产与每袋种特产的售价分别是多少元； （2）已知每袋种特产的进价是元，每袋种特产的进价比种特产的进价少，、两种特产的售价不变，老王第二次购买时，种特产的数量比第一次少袋，种特产的数量比第一次少，若特产店第二次销售共获利2100元，求的值． 24. 如图1，在中，，，为边上的高，点为的中点，交于点，动点以每秒1个单位长度的速度沿的路径运动，过点作交于点，设运动时间为秒，记，请回答下列问题： （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在如图2所示的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 25. 如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； （3）如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 26. 在中，，，点在线段的延长线上，连接． （1）如图1，点在线段上，连接，过点作于点．若，，，求线段的长度； （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接，点是线段的中点．连接，过点作，连接，．若，，求证：； （3）如图3，点是线段的中点，点是线段的中点，连接、，过点作于点，交于点．将绕点逆时针旋转得，连接，以为斜边在右侧作等腰，连接．若，当的长度最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2026届初二下期期末考试 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【详解】解：的相反数为． 故选：B． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，关键是掌握三视图的概念及相关知识；根据从正面看到的图形有几行几列、每行每列有几个正方形，即可解题． 【详解】解：从正面看到的图形有2行3列、第1行有3个正方形，第2行有1个正方形， 它的主视图是： 故选：B． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比平方求出和的面积之比为． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之比为， 故选：D． 4. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即的值应在在0和1之间， 故选：B． 5. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD． 【详解】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴CD=3， 经检验，CD=3是所列方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 四个角都相等的菱形是正方形 B. 若点将线段黄金分割且，则 C. 任意两个正方形不一定相似 D. 若关于变量，的关系式为，则是的反比例函数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，比例线段，相似图形，反比例函数的性质．逐一分析各选项的正确性，结合相关数学概念进行判断． 【详解】解：A、菱形四边相等，若四个角都相等，则每个角为，此时菱形为正方形，说法正确，本选项不符合题意； B、黄金分割的定义为较长线段与全长的比等于较短线段与的比，即，整理得，说法正确，本选项不符合题意； C、正方形的所有角均为，且对应边成比例，因此任意两个正方形一定相似，原说法错误，本选项符合题意； D、反比例函数的形式为，题中符合定义，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，，与相交于点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 8. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. 4或 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两实数根为， ，，， ， ，即， 解得或， ， ， 故选：A． 9. 如图，正方形中，、、分别是、、边上一点且，以为斜边，在右侧作等腰，连接、、．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，延长交于T，连接，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，；由正方形的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理可得，证明，得到；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于T，连接， ∵是等腰直角三角形，且为斜边， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知关于，，的单项式，，，其中，，均不为0，，，均为正整数，规定，，下列说法，正确的个数为（ ） ①当时，代数式的值共有3种不同的结果； ②当多项式的次数为2时，满足条件的多项式一共有7个； ③当时，所有满足条件的的和恒为正数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式与多项式、分式的化简与求值、零指数幂、因式分解等知识．根据分式的化简，分别求得分子和分母的值，即可判断①；找到多项式的次数为2的可能情况，即可判断②；将原式利用完全平方公式分解为，据此即可判断③． 【详解】解：①当时，， ， 分子可能为，，，，分母为或， 分式化简后可能值为，，共3种不同结果，故①正确； 多项式次数为2，即的最大值为2，且m，n，， 每个字母的指数可为1或2，且至少一个为2， 一共有种可能（排除全为1的情况），故②正确； 当时，则， 因为， 所以满足条件的的次数为2，分别为、、、、、， 所有的和为， 表达式可变形为，恒为非负， 又由，，，则所有满足条件的的和恒为正数，故③正确； 综上，正确个数为3， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和平方根，根据零指数幂和平方根的法则计算后，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 13. 小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数有2种， ∴小明抽中洪崖洞和长江索道的概率为， 故答案为：． 14. 在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则，，的大小关系是________（请用“<”符号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，，， ， 故答案为：． 15. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解， 得：， ∵方程有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 16. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=的图象上，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【详解】解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴AB=5，BC=2﹣（﹣3）=2+3=5，AB⊥x轴， ∴△ABC是等腰直角三角形， 过点A′作A′E⊥AB于E，过点C′作C′F⊥x轴于F， 则A′E=3，BE==4， ∵△A′BC′是△ABC旋转得到， ∴∠A′BE=∠C′BF， 在△A′BE和△C′BF中， ， ∴△A′BE≌△C′BF（AAS）， ∴BF=BE=4，C′F=A′E=3， ∴OF=BF﹣OB=4﹣3=1， ∴点C′的坐标为（1，﹣3）， 把（1，﹣3）代入y=得，=﹣3， 解得k=﹣3． 故答案是：﹣3． 17. 在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识点，难度较大． 连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点，可得， ，设，则，则，由翻折得到，设，在中由勾股定理建立方程，解得：（舍），在中，由勾股定理求得，再由勾股定理求解，由勾股定理求解，可得，再由斜边中线得到． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，作交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴在中，，在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，设， ∵在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 18. 若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则________；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义的分式运算． 根据“梦幻数”的定义取符合条件的最小的数求出是，代入计算即可；根据“梦幻数”的定义得到，，可得，由E是整数可知为2的倍数且为5的因数，即可得到，计算即可． 【详解】解：∵是最小的“梦幻数”， 百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1， ∴是， ∴； ∵是“梦幻数”， 且满足的千位数字为，十位数字为8， ∴是即（）， ∴， ∵是“梦幻数”， 的百位数字为6，十位数字是， ∴是即（或）， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴为2的倍数且为5的因数（c、a均为正整数且，或） 当为5的因数时，或或， ∵为2的倍数，且取最大值，，或， 当时，，当时，； 当时，，当时，； 当时，，当时，； 综上所述，当时，取最大值， ∴，， ∴． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，其余每题各10分，共78分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解一元二次方程： （1）先计算完全平方式，多项式乘多项式，再合并同类项； （2）利用公式法解方程． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， ，． 20. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，连接，点是线段上的一点． （1）用尺规作图，完成以下基本作图：过点作交于点，交于点，连接、． （2）若是以为斜边的直角三角形，求证： 证明：四边形是矩形 ① ② 是以为斜边的直角三角形 ③ ④ ⑤ 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2），，，， 【解析】 【分析】此题考查了垂线的作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是关键． （1）按照垂线的作图方法作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 是以为斜边的直角三角形 ； 故答案为：，，，， 21. 先化简，再求值，其中是满足不等式的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内以及运算除法，再运算乘法以及化简，得，再分别算出的整数解，结合分式有意义的条件，把代入，得，即可作答． 【详解】解： ． ∵ ∴由得； ∴由得； ∴不等式组的解集为， ∵其中是满足不等式的整数解 ∴ ∵ ∴， 则， 把代入，得． 22. 周末休闲放松，观影是个好选择．为了解大家对某部电影的喜爱情况，一天小美同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名观众对电影进行评分（十分制），并收集、整理数据如下．所有观众的评分均高于8分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：9.1，9.2，9.3，9.3，9.3，9.3，9.4，9.4． 上午、下午所抽取观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上午、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若这天上午有名观众，下午有名观众观看了这部电影，请估计上午、下午的观众中给电影评分在9分以上的总人数是多少人？ 【答案】（1）；；； （2） 解：上午的观众对电影的评分较高，理由： 因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）名． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体，读懂图表，获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中位数，众数的定义，即可求出和的值，先求出下午组的人数所占百分比，即可求出的值； （）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【小问1详解】 解：在上午名学生的评分中，出现的次数最多，故众数； 下午名学生的评分在C组百分比为：， ∴下午名学生的评分在A组百分比为：， 即， 下午名学生的评分在A组的人数为名，B组的人数为名， 把下午名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数是第10和11名学生的成绩即在C组中的分别是：9.3，9.3，故中位数； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是名． 23. 某特产店出售、两种特产，已知每袋种特产的售价比每袋种特产的售价贵3元，老王第一次购买时，花费4500元购买种特产，花费1800元购买种特产，发现购买的种特产的数量恰好是种特产数量的2倍． （1）求每袋种特产与每袋种特产的售价分别是多少元； （2）已知每袋种特产的进价是元，每袋种特产的进价比种特产的进价少，、两种特产的售价不变，老王第二次购买时，种特产的数量比第一次少袋，种特产的数量比第一次少，若特产店第二次销售共获利2100元，求的值． 【答案】（1）每袋种特产的售价为15元，则每袋种特产的售价为12元 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设每袋种特产的售价为a元，则每袋种特产的售价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据题意得可得每袋种特产的进价为元，第二次购买时，种特产的数量为袋，种特产的数量为袋，再根据特产店第二次销售共获利2100元，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每袋种特产的售价为a元，则每袋种特产的售价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：每袋种特产的售价为15元，则每袋种特产的售价为12元； 【小问2详解】 解：根据题意得：每袋种特产的进价为元， 第二次购买时，种特产的数量为袋，种特产的数量为袋， ∵特产店第二次销售共获利2100元， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：m的值为10． 24. 如图1，在中，，，为边上的高，点为的中点，交于点，动点以每秒1个单位长度的速度沿的路径运动，过点作交于点，设运动时间为秒，记，请回答下列问题： （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在如图2所示的平面直角坐标系中画出和的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2） 解：如图，由图可知函数的最小值为2； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质及勾股定理，可得，，由证，求出，再分两种情况：点P在线段上，点P在线段上，列出分段函数即可； （2）根据（1）中解析式，描点、连线即可画出函数图象； （3）利用数形结合思想，函数的图象在的上方部分对应的x的范围，即为所求． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， 由动点的运动速度可知：当时，点P在线段上，如图， ， ， ， ， ， ， ； 当时，点P在线段上，如图， 则， ， ； 综上可知，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，当时，函数的图象在的上方， 可得时，的取值范围为． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，反比例函数，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，分段表示出函数的解析式是解题的关键． 25. 如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在线段上，过作轴于点，交反比例函数图象于点，当时，在正半轴上有一点，满足，是线段上的一个动点，连接，求的最小值； （3）如图2，第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，将直线向下平移8个单位得直线，点为直线上一点，点为第二、四象限的角平分线上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标及所有情况中平行四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，反比例函数中平行四边形的存在性，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入，即可求解； （2）求出，利用，求出，可得，则，则，过点在轴下方作，过点作于点，则，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图，求解即可； （3）求出，直线的解析式为，由点为直线上一点，设，由点为第二、四象限的角平分线上一点，设， 分当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标列式即可求出坐标，再计算面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 将代入， 得：， ∴， 将代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 则， ∵轴于点，交反比例函数图象于点， ∴， 即， 解得：， 当时，，得， 则， 当时，， 则， ∴， 如图，过点在轴下方作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，取得最小值，最小值为如图的长，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：由第二、四象限的角平分线交反比例函数第四象限的函数图象于点，即直线与交第四象限的函数图象于点， ∴， 解得：（负值舍）， ∴， 由将直线向下平移8个单位得直线， ∴直线的解析式为， 由点为直线上一点， ∴设， 由点为第二、四象限的角平分线上一点， ∴设， 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 此时如图，过点作直线于点，过点作轴交直线于点， 则， 当时，得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 当、为对角线时， 得：， 解得：， ∴， ∴， 同理， ∴； 综上所述，点的坐标或或，平行四边形面积的最大值为． 26. 在中，，，点在线段的延长线上，连接． （1）如图1，点在线段上，连接，过点作于点．若，，，求线段的长度； （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接，点是线段的中点．连接，过点作，连接，．若，，求证：； （3）如图3，点是线段的中点，点是线段的中点，连接、，过点作于点，交于点．将绕点逆时针旋转得，连接，以为斜边在右侧作等腰，连接．若，当的长度最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1）线段的长度为； （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，连接，作交于点，则， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 作延长线于点，则， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）的面积为． 【解析】 【分析】（1）通过推导角度得出等腰三角形，判定三角形全等，对应边相等，用勾股定理解三角形即可； （2）由三角形外角的性质可导出等腰三角形，构造等腰直角三角形，可得边之间的数量关系，综合全等三角形的判定和性质，进行等量代换即可； （3）通过相似三角形的判定和性质，确定最大时点的位置，综合应用正方形的性质，三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定和性质，可导出线段长度，用勾股定理解三角形，借助三角形的面积公式可得点到的距离，代入三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，点在线段的延长线上，，， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：线段的长度为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接，则四边形为正方形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在的延长线上时最大，最大值为 作于点，交于点，则， ∵于点 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 设点到的距离为，则 ∴， ∴， ∴， 答：当的长度最大时，的面积为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形，三角形外角的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等和相似的判定方法，能够正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $