精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年下学期莆田第十五中八年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处 A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 4. 如图，已知平行四边形 的对角线 与相交于点 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 当时，四边形 是菱形 B. 当时，四边形 是菱形 C. 当 时，四边形 是矩形 D. 当 时，四边形 是菱形 5. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　） A. 保持不变 B. 增加1cm C. 减少 D. 增加 6. 如图所示，在矩形中，点 的坐标是，则 的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ） A. 24米2 B. 36米2 C. 48米2 D. 72米2 8. 如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点P作，分别交 ， 于E、F，连接 、 ．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 9. 如图，正方形 中， ，直线 交于点 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 两个无理数的乘积是有理数，称这两个数互为共轭数，下列各数中与﹣2互为共轭数的是（　　） A. 2﹣ B. ﹣4﹣2 C. +3 D. 2﹣4 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：=________． 12. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____． 13. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 14. 如图，矩形 中，，将矩形沿 折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 15. 如图我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是______． 16. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AB上一个定点，点F是BC上一个动点，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B的对应点落在矩形内部．若的最小值为3，则AE＝___． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简． 19. 如图，在平行四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，求证：． 20. 如图，在中，． （1）求作： 的一条中位线，与 交于D点，与交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）若，连接 ，求 的长度． 21. 如图，在中，，， 为边上的高，点 为垂足，求的面积． 22. 如图，矩形 中，，点E、F分别在 上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段EF的长． 23. 已知、 、为 的三边， （1）若，判断 的形状； （2）若，计算的值． 24. 如图1，菱形 中，点E、F分别为 、 的中点，连接 、 ． （1）求证：； （2）如图2，若H为 上一点，连接、，使，求证：． 25. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期莆田第十五中八年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】根据题意得， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质； 根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，原式错误； C.，正确； D.，原式错误； 故选：C． 3. 如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处 A. 5m B. 7m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【分析】首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可． 【详解】设树顶端落在离树底部x米，由题意得： 解得：x=8. 故选C. 【点睛】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 4. 如图，已知平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 当 时，四边形 是菱形 B. 当时，四边形 是菱形 C. 当 时，四边形 是矩形 D. 当 时，四边形 是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项，牢记判定方法是解答本题的关键． 【详解】解： ．∵， ∴平行四边形 是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形 是菱形， 故结论正确，不符合题意； ．∵四边形 是平行四边形， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴平行四边形 是矩形， 故结论正确，不符合题意； ．当 时，四边形 不一定是菱形， 故结论错误，符合题意； 故选：． 5. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　） A. 保持不变 B. 增加1cm C. 减少 D. 增加 【答案】D 【解析】 【分析】在菱形ABCD中，证明△ABC是等边三角形，求出对角线AC的长，在正方形ABCD中利用勾股定理求出对角线AC的长，然后比较即可． 【详解】解：在菱形ABCD中，连接AC， ∵AB＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝1cm， 当学具由菱形变成正方形后，它们的边长不变， 即正方形的边长AB＝BC＝1cm， 在正方形ABCD中，连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC＝（cm）， ∵， ∴点A、C之间的距离变化为增加cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记正方形，菱形的性质是解题的关键． 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点 ，连接．根据矩形的性质，的长度即为 的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点 ，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 7. 如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ） A. 24米2 B. 36米2 C. 48米2 D. 72米2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米， ∵52+122=132 即AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点． 8. 如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点P作，分别交 ， 于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交 于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交 于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，正方形 中， ，直线 交 于点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 10. 两个无理数的乘积是有理数，称这两个数互为共轭数，下列各数中与﹣2互为共轭数的是（　　） A. 2﹣ B. ﹣4﹣2 C. +3 D. 2﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可得到答案. 【详解】解：∵是有理数， ∴与的乘积为有理数， ∴与互为共轭数， ∴与也互为共轭数， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了共轭数的概念，解题的关键是在于运用平方差公式进行求解. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：=________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：原式 故答案为：12. 12. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得另一条对角线的长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直平分， 根据勾股定理，可求得，另一对角线的一半为3， 则另一条对角线长为6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查菱形的基本性质及勾股定理的运用． 13. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生 正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点 ，构造 ，利用勾股定理求得 的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， 米，米，米， （米）． 在 中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 14. 如图，矩形 中，，将矩形沿 折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出 ，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 15. 如图我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾，弦，则小正方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：如图所示，“赵爽弦图”中的直角三角形都是全等的三角形，即： 勾，弦弦， 股， 小正方形的边长， 小正方形的面积， 故答案是：4． 16. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AB上一个定点，点F是BC上一个动点，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B的对应点落在矩形内部．若的最小值为3，则AE＝___． 【答案】 【解析】 【分析】连接DE，则，由为定值，故当D、E、 三点共线时，最小，设AE=x，在Rt△AED中由勾股定理建立方程，可求得x的值，从而求得AE的值． 【详解】如图，连接DE， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵E点为定点， ∴EB为定值， ∴当D、E、 三点共线时，最小， 且最小值为3，即，如下图所示， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=90゜，AD=BC=4， 设AE=x，则EB=AB-AE=3-x，， 在Rt△AED中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，运用方程思想是本题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算顺序与法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则、二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先逆用积乘方法则将底数有理化，即得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出a＜0，b＞0，a-b＜0，再化简即可； 【详解】解：由数轴知， ，且． ∴． ． 【点睛】本题主要考查绝对值的定义，算术平方根的性质，正确掌握相关定义是解题关键． 19. 如图，在平行四边形 中，E，F分别是 ， 的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ， ∵E，F分别是 ， 的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形 是平行四边形，可得到，再由E，F分别是 ， 的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）求作： 的一条中位线，与 交于D点，与 交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）若，连接 ，求 的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以B、C为圆点,以大于线段 一半的长度在 线段上下方画弧线，连接弧线交点交 于D， 于E，则 即为所求作图形； （2）根据中位线性质可知，点D为 中点，得到，结合已知可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，分别以B、C为圆点,以大于线段 一半的长度在 线段上下方画弧线，连接弧线交点交 于D， 于E，则 即为所求作图形， 【小问2详解】 如图，连接 ， 是 的中位线， 分别为中点， ， 为直角三角形 ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了作图，作垂线段，中位线的性质定理，含30度角的直角三角形特征，直角三角形斜边中线等于斜边一半，平行线的性质，正确作出中位线是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，， 为 边上的高，点为垂足，求的面积． 【答案】84 【解析】 【分析】设BD为x，则，利用勾股定理得出方程，然后进行解答即可． 【详解】解：设 =，则， 在和使用勾股定理可以得到： ， 解得：， 又∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答． 22. 如图，矩形 中，，点E、F分别在 上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在矩形 中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过F作于H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 23. 已知 、 、为 的三边， （1）若，判断 的形状； （2）若，计算的值． 【答案】（1）直角三角形或等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键； （1）先对式子进行因式分解，进而可得到结果； （2）先将和移项，然后对方程两边进行因式分解，再通过变形即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 或 ∵ 、 、为 的三边， ∴ 或 ∴ 的形状为直角三角形或等腰三角形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 24. 如图1，菱形 中，点E、F分别为 、 的中点，连接 、 ． （1）求证：； （2）如图2，若H为 上一点，连接、，使，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，，由 可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交 延长线于点G，由 可判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形 是菱形， ， ， ∵点E、F分别为 、 的中点， ，， ， 在和中， ， （ ）， ； 【小问2详解】 证明：，， ， 是直角三角形，， ， 延长交 延长线于点G， 在菱形 中， ， ，， 在和中， ， （ ）， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ∵菱形 中， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理逆定理等；能熟练利用菱形的性质，全等三角形的判定及性质进行求证是解题的关键． 25. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出 周长的最小值．当 时，请你求出 周长的最小值． 【答案】（1） 解：AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°； 【小问3详解】 解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $