第5课时 实际问题与一元一次方程(2)-【通成学典】2025年小升初数学暑期升级训练

为什么猴子不喜欢平行线? [上一页答案:红金鱼数是黑金鱼数的2倍] 采蜜角 71 第5课时 实际问题与一元一次方程(2) 方程是人们探索世界时有力的数学工具,解决许多日常生活问题时,常常需要用到基本的 数量关系,下面我们来尝试解决一元一次方程中的配套问题、工程问题、销售中的盈亏问题. 知识点一　配套问题 新知梳理 找准要配套物品之间的数量关系,根据它们的 等量关系列出方程解答. 例题演练 例1 某车间有工人100人,平均每人每天可 以加工螺栓18个或螺母24个.要使每天加工 的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母),应 如何分配加工螺栓和螺母的工人? 点拨:本题中的等量关系:加工螺栓的人数+ 加工螺母的人数=100,加工螺栓的总个数× 2=加工螺母的总个数. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:解决配套问题的关键是利用配套本身所 存在的等量关系,如若a件甲产品和b件乙产品配 成一套,则甲产品数∶a=乙产品数∶b,即甲产品 数×b=乙产品数×a. 小试身手 1. 某车间有35名工人,平均每人每天可加工 20件上衣或50条裤子.要使每天加工的上 衣和裤子配套,应如何分配加工上衣和裤 子的工人? 2. 用白铁皮做罐头盒,每张白铁皮可制盒身 25个或制盒底40个,1个盒身与2个盒底 配成一套罐头盒.现有36张白铁皮,用多 少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底 可以使盒身与盒底正好配套? 知识点二　工程问题 新知梳理 利用“工作总量=工作时间×工作效率”列方 程解题. 例题演练 例2 某服饰公司接了一批服装加工任务,一 车间单独完成要30天,二车间单独完成要 50天.现由一、二车间共同来完成这批服装加 工任务,在合作期间,二车间有新的任务,中途 加工其他服装18天,那么完成这批服装加工 任务用了多少天? 点拨:把这批服装加工任务的总量看作单位 “1”,一车间单独完成要30天,那么一车间的 工作效率是1 30 ;二车间单独完成要50天,那么 二车间的工作效率是1 50. 设完成这批服装加工 任务 用 了 x 天,则 二 车 间 加 工 了 (x- 18)天.再根据“一车间的工作量+二车间的工 作量=1”列出方程并求解. 解答: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 采蜜角 一减一不是零。(打一字) [上一页答案:平行线不相交(香蕉)]72 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:工程问题的共同特点:不需要知道具体 的工作总量,而且工作总量不变.解决这类问题时, 一般先将工作总量看作单位“1”,然后根据“先做的 工作量+后做的工作量=最终完成的工作量(一般 情况下,完成该工作即最终完成的工作量为‘1’)” 列方程进行解答. 小试身手 3. 绣一幅刺绣,李阿姨单独绣完要40天,张 阿姨单独绣完要50天.李阿姨绣了4天 后,张阿姨决定和李阿姨一起绣,她们一起 合作要绣多少天才能把这幅刺绣绣完? 4. 整理一批图书,如果由一个人单独整理,那 么要用30h.现先安排一部分人整理1h, 随后又增加6人和他们一起整理了2h,恰 好完成这项工作.假设每个人的工作效率 相同,则应先安排多少人整理? 知识点三　销售中的盈亏问题 新知梳理 先弄清题目中的相关量之间的关系,根据“利 润=成本×利润率,利润=售价-进价”列出 方程. 例题演练 例3 某商品每件标价为200元,若按标价打 八折后,再降价20元销售,仍获利40%,求该 商品每件的进价.设该商品每件的进价为 x元. (1) 根据题意,将如图所示的示意图补充 完整; 例题图 (2) 根据示意图可列方程: , 解得x= . 点拨:(1) 根据题意,示意图的横线上要求的 是利润,利润为40%x 元.(2) 根据按标价打 八折后,再降价20元销售,仍获利40%,找出 等量关系:售价-进价=利润,即可列出方程 200×80%-20-x=40%x. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:一般先弄清题目中的利润、售价、进价三 个量之间的关系,再根据“售价-进价=利润”列方 程解答. 小试身手 5. 某市开展了消费暖心活动,本次活动中的 家电消费券单笔交易满600元立减128元 (每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进 价提高50%后标价,若按标价的八折销售, 某顾客购买该电饭煲时,使用一张家电消 费券后,又付现金568元.求该电饭煲的 进价. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 抽屉原理又称“鸽笼原理”,它是组合数学的一个基本原理,可推广为面积的重叠原理。 [上一页答案:三] 采蜜角 73 [基础过关] 1. 某工地安排48人去挖土和运土,如果平均 每人每天能挖土5方或运土3方,那么要 正好能使挖出的土及时运走,应安排( ) A. 30人挖土,18人运土 B. 18人挖土,30人运土 C. 24人挖土,45人运土 D. 45人挖土,24人运土 2. 甲、乙两人给花园浇水,甲单独做需要4h 完成任务,乙单独做需要6h完成任务,现 在甲、乙合作,则完成任务需 ( ) A. 2.4h B. 3.2h C. 5h D. 10h 3. 某项工作,甲12天可以单独完成,乙的工 作效率比甲高20%,那么乙单独完成这项 工作需要的天数为 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 4. 一项工程,甲单独完成需要5天,乙单独完 成需要10天,现先由甲单独做2天,然后 再安排乙与甲合作完成剩下的部分,则完 成这项工程共耗时 ( ) A.1天 B. 2天 C. 3天 D. 4天 5. 超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第 一次降价打八折,第二次降价每个又减 10元.若经两次降价后售价为90元,则根 据题意可列方程为 ( ) A. 0.8x-10=90 B. 0.08x-10=90 C. 90-0.8x=10 D. x-0.8x-10=90 6. 文具店销售某种书袋,每个12元,王老师 计划购买这种书袋若干个.结账时店员说: “如果你再多买一个就可以打九折,总价钱 会便宜24元.”王老师说:“那就多买一个 吧,谢谢!”根据两人的对话可求得王老师 原计划要购买书袋的个数为 ( ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 甲、乙两店分别购进一批无线耳机,每副耳 机甲店的进价比乙店便宜10%,乙店的标 价比甲店高5.4元,甲、乙两店的利润率分 别为20%,17%,则乙店每副耳机的进价为 ( ) A. 56元 B. 60元 C. 72元 D. 80元 8. 某书店推出一种优惠卡,每张卡售价 20元,凭卡购书可享受八折优惠.小慧到 该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,共 节省了10元.若此次小慧不买卡直接购 书,则她需付款 ( ) A. 140元B. 150元C. 160元D. 200元 9. 有一加工茶杯的车间,平均每人每小时可 以加工杯身12个或加工杯盖15个,且 1个杯身配1个杯盖.车间共有90人,则安 排多少人加工杯身,才能使每小时加工的 杯身和杯盖正好配套? 解:设安排x人加工杯身,则安排 人加工杯盖,每小时加工杯身 个,杯 盖 个,列方程为 . 10. 某车间有26名工人,平均每人每天可以 生产800个螺柱或1000个螺母,1个螺柱 需要配2个螺母.为使每天生产的螺柱和 螺母刚好配套,设安排x 名工人生产螺 柱,则可列方程为 . 11. 某商店出售一批运动服,每件的标价为 300元,打八折销售后可获利60元,则每 件运动服的成本价是 元. 12. 某商店购进一批皮鞋,每双售价120元, 可获利20%,设每双皮鞋的进价是x 元, 则可列方程为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 采蜜角 碧玉妆成一树高,万条垂下绿丝绦。———[唐]贺知章《咏柳》74 13. 一项工程,甲队单独做15天完成,乙队单 独做30天完成,两队合作x天可以完成, 由此条件列方程为 . 14. 某区准备对某水上工程进行改造,甲工程 队单独做需4个月完成,乙工程队单独做 需6个月完成.现在甲、乙两队先合作 2个月,则乙工程队再单独做几个月能完 成此工程? 你能列出方程吗? 解:设 . 等量关系: 方程: 15. 一项工程,甲队单独做,需要10天完成; 乙队单独做,需要15天完成.甲、乙两队 合作, 天后完成这项工程的23. 16. 某厂有50名工人,平均每人每天可以加 工36张课桌或48把椅子.要使每天加工 的课桌和椅子配套(1张课桌配2把椅 子),应如何分配加工课桌和椅子的工人? 17. 一项工程,由甲、乙、丙三人完成,甲单独 做需10天完成,乙单独做需12天完成, 丙单独做需15天完成.现计划7天完成, 乙、丙先合作3天后,乙有事,由甲、丙合 作完成剩下的工程,则能否按计划完成这 项工程? 18. 用甲、乙、丙三台抽水机从矿井里抽水,若 单独用一台抽水机抽完,则甲需要24小 时,乙需要30小时,丙需要40小时.在 甲、丙同时抽了6小时后,让乙加入,则乙 加入后还需要几小时才能把矿井里的水 抽完? 19. 小郑购买一台冰箱,在扣除13%的补贴 后,再用商场赠送的消费券抵了100元, 实际只花了1726.13元,那么他购买这台 冰箱大约节省了多少元? (结果精确到 0.1元) 20. 一家商店因换季将某种服装打折销售.若 每件服装按标价的五折出售,则亏20元; 若按标价的八折出售,则赚40元. (1) 每件服装的标价、成本价各是多少元? (2) 若按成本价售出,则该服装打了几折? [能力提升] 21. 某商店开展“五一”大酬宾活动,跳绳每根 25元,超过10根,享受八折优惠. (1) 购买6根跳绳需 元,购买 12根跳绳需 元. (2) 小红比小明多购买2根跳绳,付款时 小红反而比小明少付5元,你认为有这种 可能吗? 若有,请求出小红购买跳绳的根 数;若没有,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 21 租60座客车更省钱 7. (1) 由题意,得10a= 23,解得a=2.3 (2) 设该用户五月份用水x 立 方米.因为当用水22立方米时,水费为22× 2.3=50.6(元),50.6<71,所以x>22.22× 2.3+(x-22)×(2.3+1.1)=71 x=28 第5课时 实际问题与一元一次方程(2) 新课预学 [例题演练] 例1:设分配x 人加工螺栓,则分配 (100-x)人加工螺母. 18x×2=(100-x)× 24 x=40 100-x=60 [小试身手] 1. 设分配x名工人加工上衣,则分 配(35-x)名工人加工裤子. 20x=50(35-x) x=25 35-x=10 2. 设用x张白铁皮制盒身,则用(36-x)张白铁 皮制盒底. 2×25x=40(36-x) x=16 36- x=20 解析:设用x 张白铁皮制盒身,则用 (36-x)张白铁皮制盒底,根据“1个盒身与2个 盒底配成一套罐头盒”可知,制盒底的总数量是制 作盒身总数量的2倍,由此可列出关于x 的一元 一次方程并求解. [例题演练] 例2:设完成这批服装加工任务用 了x天. 130x+ 1 50 (x-18)=1 x=25.5 [小试身手] 3. 设她们一起合作要绣x 天才能 把这幅刺绣绣完. 140×4+ 1 40+ 1 50 x=1 x=20 4. 设应先安排x 人整理. 130x×1+ 1 30× (x+ 6)×2=1 x=6 解析:设应先安排x 人整理, 根据“每人的工作效率×工作时间×工作人数= 工作总量”,结合题意,即可得出关于x 的一元一 次方程,并求解. [例题演练] 例3:(1) 40%x (2) 200×80%- 20-x=40%x 100 [小试身手] 5. 设该电饭煲的进价为x元,则标价 为(1+50%)x 元,售价为80%×(1+50%)x 元. 80%×(1+50%)x-128=568 x=580 预学训练 1. B 解析:设应安排x 人挖土,则安排(48- x)人运土,根据“如果平均每人每天能挖土5方 或运土3方”,且要正好能使挖出的土及时运走, 可列方程求解. 2. A 解析:设完成任务需要xh,本题的等量关 系是甲完成的工作量+乙完成的工作量=1,由此 列出方程求解. 3. C 解析:设乙单独完成这项工作需要x天,由 于工作总量相同,而乙的工作效率比甲高20%, 故甲的工作时间比乙的工作时间多20%,可列方 程x(1+20%)=12并求解. 4. D 5. A 解析:书包原价每个x 元,则第一次降价 打八折后为0.8x 元,第二次降价10元后为 (0.8x-10)元,根据“经两次降价后售价为90元” 可列方程为0.8x-10=90. 6. B 7. B 8. B 解析:设小慧此次购书的总价值是x元,则 根据题意可列出方程20+0.8x=x-10,解得 x=150,即小慧不买卡直接购书需付款150元. 9. (90-x) 12x 15(90-x) 12x=15(90-x) 10. 1000(26-x)=2×800x 解析:设安排x名 工人生产螺柱,则安排(26-x)名工人生产螺母, 根据“1个螺柱需要配2个螺母”可知,螺母的个 数是螺柱的2倍,从而得出等量关系,列出方程为 1000(26-x)=2×800x. 11. 180 解析:设每件运动服的成本价是x 元, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 根据“利润=标价×折扣-进价”即可得出关于x 的一元一次方程,解方程即可得出结论. 12. (1+20%)x=120 解析:由题意可知,每双 皮鞋的利润为(120-x)元,根据获利20%,方程 可列为120-x=20%x,即(1+20%)x=120. 13. 1 15+ 1 30 x=1 14. 乙工程队再单独做x个月能完成此工程 甲 工程队做的+乙工程队做的=整个工程 2× 1 4+2× 1 6+x× 1 6=1 解析:甲工程队单独做 需4个月完成,则甲工程队每个月做14 ;乙工程队 单独做需6个月完成,则乙工程队每个月做16 ,当 甲、乙 两 队 合 作 2 个 月 时,共 完 成 2×14+ 2×16 .可设乙工程队再单独做x 个月能完成此 工程,则根据等量关系“甲工程队做的+乙工程队 做的=整个工程”,列出方程即可. 15. 4 解析:设x 天后完成这项工程的23 ,根据 题意可列出方程 1 10+ 1 15 x=23,解得x=4. 16. 设应分配x 名工人加工课桌,则分配(50- x)名工人加工椅子. 36x×2=48(50-x) x=20 50-x=30 解析:根据“1张课桌配2把 椅子”可知,加工椅子的数量是课桌的2倍,那么 有这样的等量关系:加工课桌的工人数×36×2= 加工椅子的工人数×48,根据等量关系列方程解 答即可. 17. 设甲、丙合作完成剩下的工程需要x 天. 1 12+ 1 15 ×3+ 110+115 x=1 x=3.3 3.3+ 3=6.3(天) 6.3<7 能按计划完成这项工程 18. 设乙加入后还需要x小时才能把矿井里的水 抽完. 124+ 1 40 ×6+ 124+140+130 x=1 x=6 19. 设这台冰箱原价x 元. (1-13%)x= 1726.13+100 x=2099 2099-1726.13≈ 372.9(元) 20. (1) 设每件服装的标价是 x元. 50%x +20=80%x -40 x = 200 50%×200+20=120(元) 每件服装的标 价是200元,成本价是120元 (2) 120÷200= 60% 若按成本价售出,则该服装打了六折 21. (1) 150 240 解析:根据“单价×数量=总 价”,求出购买6根跳绳需多少元;购买12根跳 绳,因为超过10根,打八折,所以用单价×数量× 0.8即可求出购买12根跳绳需多少元. (2) 有 设小红购买x 根跳绳,则小明购买(x- 2)根跳绳. 25x×0.8=25×(x-2)-5 x=11 解析:当两人购买的跳绳都不超过10根或超过 10根,是不会出现购买的跳绳多,付的钱反而少 的情况,所以小红购买的跳绳超过10根,小明购 买的跳绳不超过10根.设小红购买x 根跳绳,则 小明购买(x-2)根跳绳,列出方程25x×0.8= 25×(x-2)-5,求出x的值,看是否大于10. 3　自主测评 小升初名校招生卷（一） 一、 1. ✕ 2. ✕ 3. 􀳫 解析:一件商品先降价20%,把原价看作 单位“1”,降价后是原价的(1-20%),再提价 25%,是把原价的(1-20%)看作单位“1”,现价就 是原价的(1-20%)×(1+25%),据此判断即可。 4. 􀳫 解析:将甲×34= 乙÷53= 丙×43 转化成 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈