第4课时 实际问题与一元一次方程(1)-【通成学典】2025年小升初数学暑期升级训练

采蜜角 山岗之上一群猴,高高兴兴玩个够。四分之一荡秋千,二分之一攀上树,剩下十五高声 唱,多少猴子在山岗?68 第4课时 实际问题与一元一次方程(1) 从前面的学习中已经看出,方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.下面我们重 点讨论列一元一次方程解实际问题的一般步骤,用列表法、图示法找等量关系等问题. 知识点一　列一元一次方程解决实际 问题的一般步骤 新知梳理 例题演练 例1 为了改善办学条件,学校购置了笔记本 电脑和台式电脑共100台.已知笔记本电脑的 台数比台式电脑的1 4 少5,则购置的笔记本电 脑有多少台? 点拨:设购置的笔记本电脑有x 台,则购置的 台式电脑有(100-x)台.根据“笔记本电脑的 台数比台式电脑的1 4 少5”,可列出关于x 的 一元一次方程,解方程即可得出结果. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:解决和、差、倍问题时,要结合题意理解 题目中的关键词语的含义,如相等、和、差、几倍、几 分之几、多、少、快、慢等,由此分析出等量关系,列 出方程. 小试身手 1. 为了支援乡镇教学工作,某高校派出志愿 者支教.第一批和第二批志愿者共130人 来到了某乡镇,其中第一批志愿者人数比 第二批志愿者人数的3倍还多10,则第二 批共派出志愿者多少人? 2. 课外活动中一些学生分组参加活动,原来 每组6人,后来重新编组,每组8人,这样 比原来减少2组.这些学生共有多少人? 知识点二　用列表法找等量关系 新知梳理 当题中的条件较多、数量关系较复杂时,可以 列出一个表格,将已知量和未知量填入,然后 进行分析,从中找出等量关系,建立适当的方 程解决问题. 例题演练 例2 一艘轮船从甲码头顺水航行4小时到达 乙码头,原路返回时逆水航行,需5小时到达 甲码头.已知水流的速度为2千米/时,求两个 码头之间的路程.(轮船的静水速度不变) 点拨:设两个码头之间的路程为x 千米,本题 的等量关系为“静水速度=顺水速度-水流速 度=逆水速度+水流速度”,其中基本等量关 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 数学考试十道题,每对一道得五分,答错不但不给分,每道倒扣三分整。小梅不知对几 道,得了二分好伤心。 [上一页答案:60只] 采蜜角 69 系有“速度=路程÷时间”,这些量又分为顺水 与逆水两种情况,故列表如下: 路程/千米 时间/时 速度/(千米/时) 顺水 x 4 x4 逆水 x 5 x5 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:当题目中的数量关系比较复杂时,可以 借助列表的方法分析数量关系,从而建立方程. 小试身手 3. 一艘轮船从甲地顺流行驶8h到达乙地,原 路返回需12h才能到达甲地.已知水流的 速度是3km/h,求甲、乙两地之间的路 程.(轮船的静水速度不变) 4. 甲、乙两支工程队分别有120人、150人,要 使乙队的人数是甲队的2倍,应从甲队抽 调多少人到乙队? 知识点三　用图示法找等量关系 新知梳理 对于一些较复杂的题目,可以利用示意图表示 出题目中的条件与问题之间的关系,然后根据 示意图中有关基本量的内在联系找出等量关 系,进而列出方程. 例题演练 例3 某小组计划做一批中国结,如果每人做 5个,那么比计划多做9个;如果每人做4个, 那么比计划少做15个.该小组共有多少人? 他们计划做多少个中国结? 点拨:设该小组共有x 人,在如图所示的示意 图中表示出等量关系. 例题图 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:解这类题目中有两个隐含的不变量的应 用题时,一般先设其中的一个不变量为未知数,然 后根据题意画出示意图分析数量关系,从而找到等 量关系并列出方程.解答题目时,一定要设出合理 的未知数,这样能让计算变得简单. 小试身手 5. 糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸上糖 浆制作而成的.现将一些山楂分别串在若 干根竹签上,如果每根竹签串5个山楂,那 么还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个 山楂,那么还剩余7根竹签.这些竹签有多 少根? 山楂有多少个? 6. 某工人原计划在规定的时间内加工完一批 零件.如果每小时加工10个零件,就可以 超额完成3个;如果每小时加工11个零 件,就可以提前1小时完成.这批零件有多 少个? 按原计划需多长时间完成? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 采蜜角 李老板养了一些红金鱼和黑金鱼,他发现红金鱼吃掉的鱼食是黑金鱼的2倍,这是什 么原因呢? [上一页答案:小梅答对4道] 70 [基础过关] 1. 某书店举办“书香”图书展,已知甲书和乙 书的标价总和是150元,甲书按标价的 50%出售,乙书按标价的60%出售.小明花 80元买了这两本书,求这两本书的标价各 是多少元. 2. 小明的妈妈过生日,小明到花店买了玫瑰 和康乃馨共10枝,花了18.4元.已知玫瑰 2元一枝,康乃馨1.2元一枝,则小明分别 买了几枝玫瑰和康乃馨? 若设买了x枝玫 瑰,请先填写下表,再解答. 玫瑰 康乃馨 枝 数 费用/元 3. 甲、乙两车从相距280km的两地同时出 发,相向而行,甲车每小时行驶60km,乙车 每小时行驶80km,经过多长时间两车相 遇? (用图示法解答) 4. 一条山路,从山脚到山顶,走了1h还差 1km,从山顶到山脚,用50min可以走 完.已知下山速度是上山速度的1.5倍,则 上山速度和下山速度各是多少? 单程山路 是多少千米? 5. 如图,足球是由许多黑白块的皮缝合而成 的.小强和小刚在玩足球时研究起足球上 的黑白块的个数,结果发现黑块都是五边 形,白块都是六边形.小强好不容易才数清 了黑块共12个,小刚数白块时不是重复, 就是遗漏,无法数清白块的个数.你能帮助 小刚解决这一问题吗? 第5题 6. 某中学组织七年级师生去春游,若单租 45座客车若干辆,则刚好坐满;若单租 60座客车,则少租一辆,且余15个座位. (司机除外) (1) 求参加春游的师生总人数; (2) 若一辆45座客车的租金为每天250元, 一辆60座客车的租金为每天300元,则单 租哪种客车更省钱? [能力提升] 7. 下表为A市居民每月的用水收费标准. 用水量 不超过 22立方米 超过22立方 米的部分 单价/(元/立方米) a a+1.1 (1) 某用户某月用水10立方米,共缴水费 23元,求a的值; (2) 在(1)的前提下,若该用户五月份缴水 费71元,则该用户五月份用水多少立 方米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 20 0,-2a-6=0,解得b=-2,a=-3.所以a|b|= (-3)|-2|=9 解析:根据方程的定义,把x=1 代入方程,根据k可以取任意值,可分别得到关于 a 和b 的方程,求得a 和b 的值,进而求得a|b| 的值. 第4课时 实际问题与一元一次方程(1) 新课预学 [例题演练] 例1:设购置的笔记本电脑有x 台, 则购置的台式电脑有(100-x)台. 14 (100- x)-5=x x=16 [小试身手] 1. 设第二批共派出志愿者x人,则 第一批共派出志愿者(3x+10)人. 3x+10+ x=130 x=30 2. 设这些学生共有x人. x6- x 8=2 x=48 [例题演练] 例2:设两个码头之间的路程为 x千米. x4-2= x 5+2 x=80 [小试身手] 3. 设甲、乙两地之间的路程是 xkm. x8-3= x 12+3 x=144 4. 设应从甲队抽调x 人到乙队. 150+x= 2(120-x) x=30 解析:由题意可知,本题的 等量关系是乙队抽调后的人数=甲队抽调后的人 数×2. [例题演练] 例3:设该小组共有x 人. 5x- 9=4x+15 x=24 5×24-9=111(个) 该小 组共有24人,他们计划做111个中国结 [小试身手] 5. 设这些竹签有x 根. 5x+4= 8(x-7) x=20 5×20+4=104(个) 这些竹 签有20根,山楂有104个 6. 设按原计划需 x小 时完成. 10x-3= 11(x-1)x=8 10×8-3=77(个) 这批零 件有77个,按原计划需8小时完成 预学训练 1. 设甲书的标价是x元,则乙书的标价是(150- x)元. 50%x+(150-x)×60%=80 x= 100 150-x=50 解析:设甲书的标价是x 元, 则乙书的标价是(150-x)元,根据“甲书按标价 的50%出售,乙书按标价的60%出售”,两本书的 总售价是80元列方程求解即可. 2. x 10-x 2x 1.2(10-x) 2x+ 1.2(10-x)=18.4 x=8 10-x=2 小明买 了8枝玫瑰,2枝康乃馨 3. 如图所示 第3题 设经过xh两车相遇. 60x+80x=280 x=2 4. 设 上 山 速 度 是 x km/h,则 下 山 速 度 是 1.5xkm/h. 1×x+1=5060×1.5x x=4 1.5x=6 1×4+1=5(km) 上山速度是4km/h, 下山速度是6km/h,单程山路是5km 解析:由 题意可知,上山路程和下山路程相等,根据这个等 量关系列方程解答. 5. 设白块有x 个. 6x-3x=5×12 x=20 解析:由题图可知,黑块的5条边都与白块的边缝 合,而每个白块只有3条边与黑块的边缝合,另外 3条边与其他白块的边缝合.若设白块有x 个,则 题中的等量关系是白块的总边数-3x=黑块的 总边数. 6. (1) 设单租45座客车x 辆,则参加春游的师 生总人数为45x. 45x=60(x-1)-15 x= 5 45x=225 (2) 单租45座客车的租金:250× 5=1250(元) 单租60座客车的租金:300× (5-1)=1200(元) 因为1200<1250,所以单 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 租60座客车更省钱 7. (1) 由题意,得10a= 23,解得a=2.3 (2) 设该用户五月份用水x 立 方米.因为当用水22立方米时,水费为22× 2.3=50.6(元),50.6<71,所以x>22.22× 2.3+(x-22)×(2.3+1.1)=71 x=28 第5课时 实际问题与一元一次方程(2) 新课预学 [例题演练] 例1:设分配x 人加工螺栓,则分配 (100-x)人加工螺母. 18x×2=(100-x)× 24 x=40 100-x=60 [小试身手] 1. 设分配x名工人加工上衣,则分 配(35-x)名工人加工裤子. 20x=50(35-x) x=25 35-x=10 2. 设用x张白铁皮制盒身,则用(36-x)张白铁 皮制盒底. 2×25x=40(36-x) x=16 36- x=20 解析:设用x 张白铁皮制盒身,则用 (36-x)张白铁皮制盒底,根据“1个盒身与2个 盒底配成一套罐头盒”可知,制盒底的总数量是制 作盒身总数量的2倍,由此可列出关于x 的一元 一次方程并求解. [例题演练] 例2:设完成这批服装加工任务用 了x天. 130x+ 1 50 (x-18)=1 x=25.5 [小试身手] 3. 设她们一起合作要绣x 天才能 把这幅刺绣绣完. 140×4+ 1 40+ 1 50 x=1 x=20 4. 设应先安排x 人整理. 130x×1+ 1 30× (x+ 6)×2=1 x=6 解析:设应先安排x 人整理, 根据“每人的工作效率×工作时间×工作人数= 工作总量”,结合题意,即可得出关于x 的一元一 次方程,并求解. [例题演练] 例3:(1) 40%x (2) 200×80%- 20-x=40%x 100 [小试身手] 5. 设该电饭煲的进价为x元,则标价 为(1+50%)x 元,售价为80%×(1+50%)x 元. 80%×(1+50%)x-128=568 x=580 预学训练 1. B 解析:设应安排x 人挖土,则安排(48- x)人运土,根据“如果平均每人每天能挖土5方 或运土3方”,且要正好能使挖出的土及时运走, 可列方程求解. 2. A 解析:设完成任务需要xh,本题的等量关 系是甲完成的工作量+乙完成的工作量=1,由此 列出方程求解. 3. C 解析:设乙单独完成这项工作需要x天,由 于工作总量相同,而乙的工作效率比甲高20%, 故甲的工作时间比乙的工作时间多20%,可列方 程x(1+20%)=12并求解. 4. D 5. A 解析:书包原价每个x 元,则第一次降价 打八折后为0.8x 元,第二次降价10元后为 (0.8x-10)元,根据“经两次降价后售价为90元” 可列方程为0.8x-10=90. 6. B 7. B 8. B 解析:设小慧此次购书的总价值是x元,则 根据题意可列出方程20+0.8x=x-10,解得 x=150,即小慧不买卡直接购书需付款150元. 9. (90-x) 12x 15(90-x) 12x=15(90-x) 10. 1000(26-x)=2×800x 解析:设安排x名 工人生产螺柱,则安排(26-x)名工人生产螺母, 根据“1个螺柱需要配2个螺母”可知,螺母的个 数是螺柱的2倍,从而得出等量关系,列出方程为 1000(26-x)=2×800x. 11. 180 解析:设每件运动服的成本价是x 元, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈