第3课时 解一元一次方程(2)-【通成学典】2025年小升初数学暑期升级训练

篮中苹果不知数,爸爸要我算清楚。扩大两倍加十六,每人便可分八个。全家一共五 口人,篮中苹果多少个? 采蜜角 65 第3课时 解一元一次方程(2) 前面我们已经学习了利用等式的性质解方程,下面我们将继续探究当方程中出现了分数 和括号应该怎样解方程. 知识点一　利用去括号解方程 新知梳理 例题演练 例1 解方程:5(x-1)-x=2x+1. 点拨:先利用去括号法则去括号,然后通过移 项把含有未知数的项移到方程的左边,常数项 移到方程的右边,并分别合并同类项,最后把 未知数的系数化为1即可. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:运用乘法分配律去括号时,不要遗漏括 号内的每一项. 小试身手 1. 解方程: (1) 3(2x-1)=15; (2) 2(3x+1)=10-2x. 知识点二　利用去分母解方程 新知梳理 例题演练 例2 解方程:x-13 -2= 4-x 2 . 点拨:方程两边乘2和3的最小公倍数6,去掉 分母,再去括号,移项,合并同类项,进而解题. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:去分母时,要注意不要漏乘没有分母 的项. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 采蜜角 有一种东西,上升的同时会下降,下降的同时会上升,这是什么? [上一页答案:12个]66 小试身手 2. 解方程: (1) 3x-5 2 = 2x 3 ; (2) x 6-5= 30-x 4 . 知识点三　解一元一次方程的步骤 新知梳理 一般地,解一元一次方程的步骤包括:去分母、 去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通 过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步 向着x=a的形式转化. 变形 名称 依 据 具体做法 注意事项 去分母 等式的 性质2 方程两边乘各 分母的最小公 倍数 (1) 不要漏乘 不含分母的 项;(2) 当分 子是多项式 时,去分母后 应将分子作 为一个整体 加上括号 去括号 乘法分配 律、去括号 法则 先去小括号,再 去中括号,最后 去大括号(也可 以先去大括号, 再去中括号,最 后去小括号) (1) 不要漏 乘括号里的 任 何 一 项; (2) 不要弄 错符号 移项 等式的 性质1 把含未知数的 项都移到方程 的一边,常数项 都移到方程的 另一边 (1) 移项要 变号;(2) 不 要漏掉任何 一项 续表 合并 同类项 合并同类 项法则 系数相加,字母 及字母的指数 不变,把方程化 为ax=b(a,b 为常数,且a≠ 0)的形式 (1) 未 知 数 及其指数不 变;(2) 未知 数的系数不 要漏掉符号 未知数 的系数 化为1 等式的 性质2 在方程ax=b (a,b为常数,且 a≠0)的两边同 除以a 或乘1a , 得到方程的解 为x=ba 不要将分子、 分母的位置 颠倒 例题演练 例3 解方程:x+33 - x+1 2 =1. 点拨:将方程去分母、去括号、移项、合并同类 项、系数化为1,即可求解. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:解方程时,应该根据方程的特点灵活选 用恰当的步骤进行解答.如果分母是小数,那么一 般先根据分数的基本性质,把分母化成整数,然后 按照解方程的一般步骤进行解答. 小试身手 3. 解方程:2x-1 3 - 10x-5 12 = 3x+8 4 -1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 一年四季,春、夏、秋、冬,冬去春来,像这样依次不断重复就是循环现象。 [上一页答案:跷跷板] 采蜜角 67 [基础过关] 1. 解方程2(x-3)-3(x-4)=5时,下列去 括号正确的是 ( ) A. 2x-3-3x+4=5 B. 2x-6-3x-4=5 C. 2x-3-3x-12=5 D. 2x-6-3x+12=5 2. 将方程2x-1 2 - x-1 3 =1 去分母,得6x- 3-2x-2=6,错在 ( ) A. 分母的最小公倍数找错 B. 去分母时,漏乘出错 C. 去分母时,分子部分没有加括号 D. 去分母时,各项所乘的数不同 3. 下列方程的变形过程中,正确的是 ( ) A. 1+2x 3 = 5x-1 2 ,去 分 母,得2×1+ 2x=3(5x-1) B. 3 2 (3x+1)=5,去分母,得6(3x+ 1)=10 C. 2x+3 2 - 9x+5 8 =0 ,去分母,得4(2x+ 3)-(9x+5)=0 D. t 2-1= t-2 3 ,去分母,得3t-1=2(t-2) 4. 将方程12-3(2x-4)=2(x-7)+5x 去 括号,得 . 5. 方程x-1 3 +x=1 的解为 . 6. 当x= 时,式子13 (1-2x)与式子 2 7 (3x+1)的值相等. 7. 式子2x-1 3 与式子3-2x 的和为4,则 x= . 8. 已知式子4x-1 3 的值与式子x 2 的值互为相 反数,则x的值为 . 9. 已知x=1是方程ax+32 =1- x-a 3 的解, 则a= . 10. 解方程: (1) 4(4x-1)=3(x+1); (2) 2(2x-1)=1-(3-x); (3) 2x-1 3 - 2x-3 4 =1. 11. 当x取何值时,式子3(4-x)和4(3+x) 的值相等? [能力提升] 12. 已知a,b为常数,关于x 的方程kx-a2 - 1=2x-bk4 ,无论k取何值,方程的解总是 x=1,则a|b|的值为多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 19 6. x-3x=34-12 7. -4 8. 1 9. -15 10. -4 解析:把12x-3=-5- 1 2y 移项,得 1 2x+ 1 2y=-5+3 ;合并同类项,得1 2 (x+ y)=-2;系数化为1,得x+y=-4. 11. (1) y=-2 (2) y=-1 (3) x=10 (4) t=-1611 (5) x=36 (6) x=1 12. 把3x-2=2x+1移项,得3x-2x=1+2; 合并同类项,得x=3,所以m=3.所以30m+ 10=30×3+10=100 13. (1) 等式的性质2 等式的性质1 (2) 设x=0.36 ∙∙ ,则100x=100×0.36 ∙∙ ,100x= 36.36 ∙∙ ,100x=36+x,99x=36,x=411 解析:根 据探究过程,可设x=0.36 ∙∙ ,两边同时乘100,可得 100x=36+x,最后解方程即可. 第3课时 解一元一次方程(2) 新课预学 [例题演练] 例1:去括号,得5x-5-x=2x+ 1;移项,得5x-x-2x=1+5;合并同类项,得 2x=6;系数化为1,得x=3 [小试身手] 1. (1) x=3 (2) x=1 [例题演练] 例2:去分母,得2(x-1)-12= 3(4-x);去括号,得2x-2-12=12-3x;移项, 得2x+3x=12+2+12;合并同类项,得5x=26; 系数化为1,得x=265 [小试身手] 2. (1) x=3 (2) x=30 [例题演练] 例3:去分母,得2(x+3)-3(x+ 1)=6;去括号,得2x+6-3x-3=6;移项,得 2x-3x=6-6+3;合并同类项,得-x=3;系数 化为1,得x=-3 [小试身手] 3. x=-1 预学训练 1. D 2. C 3. C 4. 12-6x+12=2x-14+5x 5. x=1 6. 1 32 解析:根据题意,可以列出方程1 3 (1- 2x)=27 (3x+1),去分母,得7(1-2x)=6(3x+ 1);去括号,移项,合并同类项,系数化为1后,得 x=132. 7. -1 解析:根据题意,可以列出方程2x-13 + 3-2x=4,去分母,得2x-1+9-6x=12;移项, 合并同类项,得-4x=4;系数化为1,得x=-1. 8. 2 11 解析:根据题意,可以列出方程4x-1 3 = -x2 ,去分母,得2(4x-1)=-3x;去括号,移项, 合并同类项,系数化为1,得x=211. 9. -5 解析:把x=1代入方程ax+32 =1- x-a 3 ,得a+3 2 =1- 1-a 3 ,去分母,得3(a+3)= 6-2(1-a);去括号,移项,合并同类项后,得 a=-5. 10. (1) x=713 (2) x=0 (3) x=72 11. 由题意,得3(4-x)=4(3+x),去括号,得 12-3x=12+4x;移项,合并同类项,得-7x=0; 系数化为1,得x=0 12. 把x=1代入kx-a2 -1= 2x-bk 4 ,得k-a 2 - 1=2-bk4 ,整理,得k(b+2)-2a-6=0.因为无 论k取何值,方程的解总是x=1,所以b+2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 20 0,-2a-6=0,解得b=-2,a=-3.所以a|b|= (-3)|-2|=9 解析:根据方程的定义,把x=1 代入方程,根据k可以取任意值,可分别得到关于 a 和b 的方程,求得a 和b 的值,进而求得a|b| 的值. 第4课时 实际问题与一元一次方程(1) 新课预学 [例题演练] 例1:设购置的笔记本电脑有x 台, 则购置的台式电脑有(100-x)台. 14 (100- x)-5=x x=16 [小试身手] 1. 设第二批共派出志愿者x人,则 第一批共派出志愿者(3x+10)人. 3x+10+ x=130 x=30 2. 设这些学生共有x人. x6- x 8=2 x=48 [例题演练] 例2:设两个码头之间的路程为 x千米. x4-2= x 5+2 x=80 [小试身手] 3. 设甲、乙两地之间的路程是 xkm. x8-3= x 12+3 x=144 4. 设应从甲队抽调x 人到乙队. 150+x= 2(120-x) x=30 解析:由题意可知,本题的 等量关系是乙队抽调后的人数=甲队抽调后的人 数×2. [例题演练] 例3:设该小组共有x 人. 5x- 9=4x+15 x=24 5×24-9=111(个) 该小 组共有24人,他们计划做111个中国结 [小试身手] 5. 设这些竹签有x 根. 5x+4= 8(x-7) x=20 5×20+4=104(个) 这些竹 签有20根,山楂有104个 6. 设按原计划需 x小 时完成. 10x-3= 11(x-1)x=8 10×8-3=77(个) 这批零 件有77个,按原计划需8小时完成 预学训练 1. 设甲书的标价是x元,则乙书的标价是(150- x)元. 50%x+(150-x)×60%=80 x= 100 150-x=50 解析:设甲书的标价是x 元, 则乙书的标价是(150-x)元,根据“甲书按标价 的50%出售,乙书按标价的60%出售”,两本书的 总售价是80元列方程求解即可. 2. x 10-x 2x 1.2(10-x) 2x+ 1.2(10-x)=18.4 x=8 10-x=2 小明买 了8枝玫瑰,2枝康乃馨 3. 如图所示 第3题 设经过xh两车相遇. 60x+80x=280 x=2 4. 设 上 山 速 度 是 x km/h,则 下 山 速 度 是 1.5xkm/h. 1×x+1=5060×1.5x x=4 1.5x=6 1×4+1=5(km) 上山速度是4km/h, 下山速度是6km/h,单程山路是5km 解析:由 题意可知,上山路程和下山路程相等,根据这个等 量关系列方程解答. 5. 设白块有x 个. 6x-3x=5×12 x=20 解析:由题图可知,黑块的5条边都与白块的边缝 合,而每个白块只有3条边与黑块的边缝合,另外 3条边与其他白块的边缝合.若设白块有x 个,则 题中的等量关系是白块的总边数-3x=黑块的 总边数. 6. (1) 设单租45座客车x 辆,则参加春游的师 生总人数为45x. 45x=60(x-1)-15 x= 5 45x=225 (2) 单租45座客车的租金:250× 5=1250(元) 单租60座客车的租金:300× (5-1)=1200(元) 因为1200<1250,所以单 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈