第1课时 从算式到方程-【通成学典】2025年小升初数学暑期升级训练

骡行七里马行九,先放骡行七里走,次后马走赶骡行,几里相随一处有? [上一页答案:1斤9两5钱] 采蜜角 59 第三部分　一元一次方程 第1课时 从算式到方程 在小学我们认识了像2x=50,3x+1=4这样的简单方程,它是应用广泛的数学工具,研 究许多问题时,经常用字母表示其中的未知数,通过分析数量关系,列出方程表示相等关系.下 面你将进一步感受到方程的作用,学习利用一元一次方程解决问题的方法. 知识点一　一元一次方程 新知梳理 例题演练 例1 给出下列式子:① x2+2x=1;② 1 x- 3x=9;③ 1 2x=0 ;④ 3-13=2 2 3 ;⑤ y-2 3 = y+ 1 3. 其中,一元一次方程有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 点拨:①中未知数的最高次数是2,它不是一 次方程;②中等号左边的式子的分母含有未知 数,不是整式方程;④是等式,不含有未知数, 不是方程;③⑤符合条件.故一元一次方程有 2个. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:一元一次方程中的“元”是指未知数,“一 元”是指只含有一个未知数,“一次”是指所含未知 数的项的最高次数是1. 小试身手 1. 下列方程属于一元一次方程的是 ( ) A. x+2y=3 B. y+3=0 C. x2-2x=0 D. 1 y+y=0 知识点二　根据实际问题列一元一次方程 新知梳理 例题演练 例2 甲班有54 人,乙班有48人,要使甲班人 数是乙班的2倍,则应从乙班调往甲班多少 人? 设应从乙班调往甲班x人,可列方程为 ( ) A. 54+x=2(48-x)B. 48+x=2(54-x) C. 54-x=2×48 D. 48+x=2×54 点拨:因为从乙班调往甲班x 人,所以现在甲 班有(54+x)人,乙班有(48-x)人.根据“甲 班人数是乙班的2倍”,可列出方程. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:列方程的关键是根据题意找出题中的等 量关系,根据等量关系列出方程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 采蜜角 食堂猛增一群人,饭碗只能大家分。每人可用一饭碗,菜碗只能两人用,三人合用一汤 碗,五十五只分均匀。主人一时没细算,共来多少新客人? [上一页答案:31.5里] 60 小试身手 2. 根据“x 的3倍与5的和比x 的1.5倍少 2”,可列方程为 ( ) A. 3x+5=1.5x-2 B. 3x+5=1.5x+2 C. 3(x+5)=1.5x-2 D. 3(x+5)=1.5x+2 知识点三　方程的解和解方程 新知梳理 1. 能使方程中等号左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解,求方程的解的过程叫做解 方程. 2. 只含有一个未知数的方程的解也叫做方程 的根. 例题演练 例3 检验下面各数是不是方程3x+4=9- 2x的解. (1) x=0; (2) x=1. 点拨:先将未知数的值分别代入方程的左边和 右边,观察左右两边的计算结果是否相等,再 进行判断.使等式成立的就是方程的解. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:方程的解与解方程是两个不同的概念, 方程的解是一个具体的数值,而解方程是求方程的 解的过程,方程的解是通过解方程求得的. 小试身手 3. 检验下面的方程后面括号里的数是不是方 程的解. 2x-1=12x-4x=-2 ,x=-12 知识点四　方程的解的应用 新知梳理 1. 能使方程中等号左右两边相等的未知数的 值叫做方程的解. 2. 根据方程的解的定义,将解代入原方程,列 出新的方程后求出未知数,进而求出所求式子 的值. 例题演练 例4 已知x=4是关于x 的方程3a-x= x 2+3 的解,求a2-2a的值. 点拨:此题的题眼是“x=4是关于x 的方程 3a-x=x2+3 的解”,根据方程的解的定义把 x=4代入原方程即可确定a 的值,然后代入 求值即可. 解答: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解有所悟:若一个字母的值是方程的解,则这个字 母所给定的值代入方程后能使等号左右两边成 立.根据方程的解的定义,将方程转化成关于求字 母的方程,进而求出所求字母和式子的值. 小试身手 4. 已知关于x 的方程5x-a=x+3的解是 x=2,试求5a-4的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 小升初衔接·数学 一根竿高两米五,一只蜗牛往上爬。白天爬竿五分米,夜里下降三分米。小小蜗牛上 竿顶,一共爬了多少天? [上一页答案:30人] 采蜜角 61 [基础过关] 1. 下列方程属于一元一次方程的是 ( ) A. 4x-5=0 B. 3x-2y=3 C. 3x2-14=2 D. 1 x-2=3 2. 给出下列式子:① 1 x=1 ;② 3x-y=4; ③ x 2=5x+1 ;④ x2-4x=3;⑤ x-5≥0; ⑥ x=0.其中,一元一次方程有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在“爱护环境,建我家乡”的活动中,七(1)班 学生回收饮料瓶共10kg,男生回收的质量 是女生的4倍.设女生回收饮料瓶xkg,根 据题意可列方程为 ( ) A. 4(10-x)=x B. x+14x=10 C. 4x=10-x D. 4x=10+x 4. 下列方程中,解为x=2的是 ( ) A. 2x+4=0 B. 2(x+1)=5 C. x 3- 1 2= 1 6 D. -2x=-1 5. 已知七年级某班30名学生种树72棵,男生 每人种3棵树,女生每人种2棵树.设男生 有x人,则根据题意可列方程为 ( ) A. 2x+3(72-x)=30 B. 3x+2(72-x)=30 C. 2x+3(30-x)=72 D. 3x+2(30-x)=72 6. 小明买3千克水晶梨付10元,找回1元 6角,求每千克水晶梨多少元.请根据问题 设出未知数并列方程.(只列方程) 7. 从甲地到乙地,某人骑自行车比乘公共汽 车多用2.5h.已知骑自行车的平均速度为 15km/h,公共汽车的平均速度为40km/h, 求甲、乙两地之间的路程.(只列方程) 8. 如果方程(m-1)x2|m|-1+2=0是关于x 的一元一次方程,试求m 的值. 9. 植树节当天,甲班植树的棵数比乙班多 20%,乙班植树的棵数比甲班的一半多 10.设乙班植树x棵. (1) 根据题意列出关于x 的方程; (2) 检验乙班植树的棵数是否为25. [能力提升] 10. 水资源短缺令人担忧,为鼓励节约用水, 某市制定了居民用水标准,标准依据一户 的人口数而定,超过标准用水量的部分加 价收费.三口之家用水不超过标准用水量 的,每立方米收1.3元,超过标准用水量 的部分每立方米收2.9元.某三口之家某 月用水12立方米,缴水费22元.求该市 三口之家每月的标准用水量.(只列方程) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 预学储备 17 9. (1) 38+2×(10-1)=56(个) (2) 38+2× (20-1)=76(个) (3) 38+2(n-1)=(2n+36)个 10. 由题意,得1 3x 3y2 的次数是3+2=5, 3a2b3m-4 的次数是2+3m-4=3m-2,所以 3m-2=5,解得m=73 11. (1) 2x (2.5x-15) (2) 当x=20时,2x=2×20=40;当x=36时, 2.5x-15=2.5×36-15=75,40+75=115(元) 解析:将x=20和x=36分别代入对应的式子 中,计算后相加即可. 第2课时 整式的加减 新课预学 [例题演练] 例1:D [小试身手] 1. D 2. A [例题演练] 例2:原式=(5m2n-6m2n)+ (-2mn+3mn)+4mn2=-m2n+mn+4mn2 [小试身手] 3. 原式=(a2b+3a2b)+[(-b2c)+ 2b2c]=4a2b+b2c 4. 原式=(m+2)x3+3nxy2-xy+y,因为此多 项式不含三次项,所以m+2=0,3n=0,解得 m=-2,n=0.2m+3n=-4+0=-4 解析:将 多项式合并后,令三次项系数为0,求出m 和n的 值,即可求出2m+3n的值. [例题演练] 例3:原式=2a-4b-6m+3n [小试身手] 5. (1) 原式=4b-6a+6a-9b=-5b (2) 原式=4a2+6ab-4a2-7ab+1=1-ab 解析:所给的式子含有括号,需先去括号,再合并 同类项. [例题演练] 例4:(1) -a2+b-2 (2) -b-c+d [小试身手] 6. (1) -7x3+2x2+8 (2) 6ab+a-b 预学训练 1. A 2. D 3. D 4. C 5. A 6. B 7. (1) 原式=-3x (2) 原式=x-5y-4 (3) 原式=-16a 2b+12ab 2 8. A=C-B=12 (x-4)-16 (3x-6)=-1 9. 三角形的第二条边长:m+n+(m-3)=2m+ n-3,三角形的周长:m+n+(2m+n-3)+ (2n-m)=m+n+2m+n-3+2n-m=2m+ 4n-3 10. (1) 因为关于x,y 的两个单项式2mxay3 与-4nx4yb 是同类项(其中xy≠0),所以a=4, b=3 (2) 由题意,可知2mxay3-4nx4yb=0,所 以2m-4n=0,即m-2n=0.所以(m-2n- 1)2022=1 11. 因为单项式9xmy3 与单项式4x2yn 是同类 项,所以m=2,n=3.所以m+n=5 解析:根据 同类项的定义,可得m,n的值,最后相加即可. 12. (1) 因为(x+2)2+|y-3|=0,所以x+2= 0,y-3=0,解得x=-2,y=3 (2) A-2B=2x2+xy+3y-2(x2-xy)= 2x2+xy+3y-2x2+2xy=3xy+3y.把x= -2,y=3代入,得3×(-2)×3+3×3=-9 解析:把A,B 表示的整式先代入A-2B 并化简, 再把x,y的值代入计算. 第三部分　一元一次方程 第1课时 从算式到方程 新课预学 [例题演练] 例1:B [小试身手] 1. B [例题演练] 例2:A 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 [小试身手] 2. A [例题演练] 例3:(1) 把x=0代入方程3x+ 4=9-2x,左边=3×0+4=4,右边=9-2×0= 9.因为左边≠右边,所以x=0不是原方程的解 (2) 把x=1代入方程3x+4=9-2x,左边=3× 1+4=7,右边=9-2×1=7.因为左边=右边,所 以x=1是原方程的解 [小试身手] 3. 把x=-2代入方程2x-1= 1 2x-4 ,左边=2×(-2)-1=-5,右边=12× (-2)-4=-5.因为左边=右边,所以x=-2 是原方程的解;把x=-12 代入方程2x-1= 1 2x-4 ,左边=2× -12 -1=-2,右边=12× -12 -4=-174.因为左边≠右边,所以x= -12 不是原方程的解 解析:把未知数的值代入 方程,如果方程中等号左右两边相等,那么未知数 的值是方程的解,否则不是. [例题演练] 例4:把x=4代入方程3a-x= x 2+3 ,得3a-4=42+3 ,解得a=3.当a=3时, a2-2a=32-2×3=3 [小试身手] 4. 把x=2代入方程5x-a=x+ 3,得5×2-a=2+3,解得a=5.当a=5时, 5a-4=5×5-4=21 预学训练 1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. 1元6角= 1.6元 设每千克水晶梨x元. 10-3x=1.6 7. 设甲、乙两地之间的路程为xkm. x15- x 40= 2.5 8. 由题意,可知2|m|-1=1且m-1≠0, 解得m=-1 9. (1) x=12 (1+20%)x+10 (2) 把x=25代入方程,左边=25,右边=12× (1+20%)×25+10=25.因为左边=右边,所以 乙班植树的棵数为25 10. 设该市三口之家每月的标准用水量是x立方 米. 1.3x+2.9×(12-x)=22 解析:由题意, 可知每月用水量超过标准用水量时的等量关系为 标准用水量×1.3+超过标准用水量的部分× 2.9=缴的水费.设该市三口之家每月的标准用水 量是x 立方米,则超过标准用水量的部分是 (12-x)立方米,根据等量关系列出方程即可. 第2课时 解一元一次方程(1) 新课预学 [例题演练] 例1:C [小试身手] 1. (1) D (2) D [例题演练] 例2:合并同类项,得-5x=6;系数 化为1,得x=-65 [小试身手] 2. (1) x=-14 (2) x=-27 [例题演练] 例3:移项,得-9x+4x=1+2+2; 合并同类项,得-5x=5;系数化为1,得x=-1 [小试身手] 3. (1) x=-32 (2) x=-80 (3) x=6 预学训练 1. C 2. C 3. A 4. A 解析:由2x-3=x+1,解得x=4.把x= 4代入方程4m+x=20,可得4m+4=20,解得 m=4. 5. D 解析:把方程移项,得ax-4x=1-3;合并 同类项,得(a-4)x=-2;系数化为1,得x= - 2a-4. 因为方程的解为正整数,所以a-4=-2 或-1,解得a=2或3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈