椭圆 讲义-2026届高三数学一轮复习

椭圆 课前学习任务 一、必备知识 知识点一　椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为 椭圆； (2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2； (3)若a＜c，则集合P为 空集. 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为 2a； 短轴B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝ 2c 离心率 e＝ ∈(0,1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 归 纳 拓 展 1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a. 4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆． 5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－. 二、双基自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) 2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．x2＋＝1 D．＋＝1 4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 课堂核心考点 考点一椭圆的定义及应用 例1．过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为____________. 2．(2025·江苏南京外国语学校调研)设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是____________. [引申]本例2中，若F1为椭圆的左焦点，则|PA|＋|PF1|的最大值为________，|PF1|·|PF|的最大值为________，若直线PF交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为________，若∠F1PF＝60°，则S△PFF1＝________. 【变式训练】 (2024·吉林省吉林地区模拟)已知复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 考点二 椭圆的标准方程 例1．短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程为____________. 2．经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点的椭圆的标准方程为____________. 3．与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)的椭圆的标准方程为____________. 4．(多选题)(2025·重庆调研)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± C．存在点P满足∠F1PF2＝90° D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ [引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为____________. 【变式训练】 1．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(　　) A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 考点三 椭圆的几何性质 角度1　椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴 例(2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6 B．或2 C．2 D．2或2 角度2　求椭圆的离心率 例1．(2024·江西名校教研联盟开学考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且ab＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．(2025·江苏南通如皋中学测试)F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C．－ D．－ 3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，||＝4||，则椭圆C的离心率为________. 角度3　求椭圆离心率的取值范围 例1．(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. 2．(2025·山西部分学校月考)设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　　) A．2 B．2 C．2＋ D．2＋2 2．(角度2)(2025·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　) A． B． C． D． 3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 课后素养提升 与椭圆有关的最值问题 例 1．(2025·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是(　　) A．4 B．3＋2 C．6 D．4＋2 2．(2024·山东烟台、德州诊断)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(2,3)，向量＝m＋n，且m－n－4＝0.若P为椭圆x2＋＝1上一点，则||的最小值为(　　) A． B． C． D．2 【变式训练】 (2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为(　　) A．1 B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆 课前学习任务 一、必备知识 知识点一　椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论： (1)若a＞c，则集合P为 椭圆； (2)若a＝c，则集合P为 线段F1F2； (3)若a＜c，则集合P为 空集. 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　　 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为 2a； 短轴B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝ 2c 离心率 e＝ ∈(0,1) a、b、c 的关系 c2＝a2－b2 归 纳 拓 展 1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值；a与b分别为椭圆上的点到原点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a. 4．e＝.离心率e越大，椭圆越扁；离心率e越小，椭圆越圆． 5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 7．若M、N为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝－. 二、双基自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [答案]　B [解析]　由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B. 3．(多选题)(选择性必修1P115T4)长轴长是短轴长的3倍；且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．x2＋＝1 D．＋＝1 [答案]　AD [解析]　若P为长轴的端点，则a＝3，b＝1， 椭圆的标准方程为＋y2＝1； 若P为短轴的端点，则b＝3，a＝9， 椭圆的标准方程为＋＝1. 4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　A(－a,0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＋＝1，则y＝， 所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A． 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ [答案]　C [解析]　将直线y＝x＋m与椭圆联立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2，设F1到AB的距离d1，F2到AB的距离d2，易知F1(－，0)，F2(，0)，则d1＝，d2＝，＝＝＝2，解得m＝－或－3(舍去)，故选C． 课堂核心考点 考点一椭圆的定义及应用 例1．过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程为____________. [答案]　＋＝1 [解析]　将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C． 则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， ∴|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝6>4＝|AB|， ∴点M的轨迹是以点B(－2,0)，A(2,0)为焦点、线段AB中点O为中心的椭圆，且a＝3，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝5， ∴所求轨迹方程为＋＝1. 2．(2025·江苏南京外国语学校调研)设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是____________. [答案]　[4－，4＋] [解析]　＋＝1，F为C的右焦点，F(2,0)，左焦点F1(－2,0)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF1|＝4＋|PA|－|PF1|，－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|⇒－≤|PA|－|PF1|≤，|PA|＋|PF|∈[4－，4＋]． [引申]本例2中，若F1为椭圆的左焦点，则|PA|＋|PF1|的最大值为________，|PF1|·|PF|的最大值为________，若直线PF交椭圆于另一点Q，则△F1PQ的周长为________，若∠F1PF＝60°，则S△PFF1＝________. [答案]　4＋1　8　8　 [解析]　|PA|＋|PF1|＝4＋|PA|－|PF|≤4＋|AF|＝4＋1.(当且仅当P、A、F共线时取等号)，即|PA|＋|PF1|的最大值为4＋1，|PF1|·|PF|≤2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF|即P为椭圆与y轴交点时取等号)，∴|PF1|·|PF|的最大值为8，△F1PQ的周长＝|PF1|＋|PF|＋|FQ|＋|F1Q|＝4a＝8，由|PF1|＋|PF|＝4得|PF1|2＋|PF|2＋2|PF1|·|PF|＝32①，由∠F1PF＝60°知|PF1|2＋|PF|2－|PF1||PF|＝4②，由①②知|PF1||PF|＝，∴S△PF1F＝|PF1||PF|sin 60°＝. 【变式训练】 (2024·吉林省吉林地区模拟)已知复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为(　　) A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 [答案]　C [解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z＋2|＋|z－2|＝6，所以＋＝6，其几何意义为任意一点(x，y)到点(2,0)与(－2,0)的距离和为6，又点(2,0)和(－2,0)之间的距离小于6，符合椭圆定义，所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆．故选C． 考点二 椭圆的标准方程 例1．短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为的椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1或＋＝1 [解析]　由已知，有解得 从而b2＝a2－c2＝9. ∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 2．经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点的椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1 [解析]　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， ∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上， ∴解得m＝，n＝. 故椭圆方程为＋＝1. 3．与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)的椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1或＋＝1 [解析]　若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2. 故所求方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1. 综上可知椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 4．(多选题)(2025·重庆调研)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± C．存在点P满足∠F1PF2＝90° D．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ [答案]　BD [解析]　依题意a＝4，b＝3，c＝， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误； 设P(x0，y0)， |F1F2|＝2，×2×|y0|＝2，|y0|＝2， x＝＝＝，x0＝±，B正确； cos∠F1PF2＝≥＝＝＝>0，“≥”中的等号成立的条件是|PF1|＝|PF2|，所以不存在P满足∠F1PF2＝90°，C错误； 设P(x0，y0)， ＋＝1,9x＋16y＝144，y＝(16－x)， A1(－4,0)，A2(4,0)， kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，D正确．故选BD. [引申]若将本例3中“离心率”改为“焦点”，则椭圆的标准方程为____________. [答案]　＋＝1 [解析]　设椭圆的标准方程为＋＝1，则＋＝1，解得λ＝±2，又3＋λ>0，∴λ＝2，故椭圆标准方程为＋＝1. 【变式训练】 1．(多选题)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(　　) A．若1<t<3，则C为椭圆 B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3 C．曲线C可能是圆 D．若C为双曲线，则t<1 [答案]　BC [解析]　若C为椭圆则则1<t<2或2<t<3.∴A错； 若C为焦点在y轴上的椭圆则t－1>3－t>0， 则2<t<3，∴B对；显然t＝2时，曲线C是圆． ∴C对；若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，则t>3或t<1.∴D错．故选BC． 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 [答案]　B [解析]　因为离心率e＝＝＝， 解得＝，b2＝a2， A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)， B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)， 因为·＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入， 解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＋＝1.故选B. 考点三 椭圆的几何性质 角度1　椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴 例(2025·安徽蚌埠质检)若椭圆C：＋＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为(　　) A．6 B．或2 C．2 D．2或2 [答案]　D [解析]　当焦点在y轴时，由e＝＝，解得m＝，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2；当焦点在x轴时，由e＝＝，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2＝2.故选D. 角度2　求椭圆的离心率 例1．(2024·江西名校教研联盟开学考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且ab＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　根据题意知c＝1，故a2＝b2＋c2＝b2＋1①，且ab＝②，联立①②解得a＝，C的离心率e＝＝.故选D. 2．(2025·江苏南通如皋中学测试)F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C．－ D．－ [答案]　A [解析]　如图所示，设|AF1|＝m，因为AF1⊥BF1，∠ABF1＝30°，所以|AB|＝2m，|AF2|＝2a－m，|BF1|＝m，|BF2|＝2m－(2a－m)＝3m－2a，所以m＋3m－2a＝2a，解得m＝＝，所以3m2＝(16－8)a2,6am＝(12－4)a2，在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋(2a－m)2－2m(2a－m)cos 60°，化为4c2－4a2＋6am－3m2＝0，所以4c2－4a2＋(12－4)a2－(16－8)a2＝0，化简得e2＝2－，所以e＝，故选A． 3．(2025·山西大同调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若＝2，||＝4||，则椭圆C的离心率为________. [答案]　 [解析]　因为＝2，＝2所以F2N∥F1M，且|F2N|＝|F1M|，延长MF1交椭圆于点Q，则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝.则由|QM|＝a，|F2M|＝，|F2Q|＝，得∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2可得5a2＝9c2，∴离心率e＝. 角度3　求椭圆离心率的取值范围 例1．(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为____________. [答案]　{e|－1<e<1} [解析]　在△PF1F2中，由正弦定理知＝.因为＝，椭圆离心率e＝，所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.① 又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a， 将①代入可得|PF2|＝. 又a－c<|PF2|<a＋c，所以两边同除以a得1－e<<1＋e.又0<e<1， 所以{e|－1<e<1}． 2．(2025·山西部分学校月考)设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由题意椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则|PF2|＝|F1F2|＝2c，且需满足以F2为圆心，以|PF2|为半径的圆与椭圆有交点，即2c≥a－c，即e＝≥，又e<1，故椭圆离心率的取值范围是，故选C． 【变式训练】 1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝，则C的长轴长为(　　) A．2 B．2 C．2＋ D．2＋2 [答案]　D [解析]　椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 则c＝1， ∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2， 由余弦定理可得 |PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos ，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2× ， 解得a＝1＋，a＝1－(舍去)， ∴2a＝2＋2，故选D. 2．(角度2)(2025·广东三校模拟)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　∵·＝0，∴FB⊥AB，∴|FB|2＋|AB|2＝(a＋c)2，即b2＋c2＋a2＋b2＝(a＋c)2，整理得2ac－2b2＝0，即ac＝a2－c2，∴＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，求得e＝，∵e>0，∴e＝，故选B. 3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． [答案]　D [解析]　由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∴c≥b，即c2≥a2－c2⇔e2＝2≥⇔e≥.又e∈(0,1)，∴≤e<1.故选D. 课后素养提升 与椭圆有关的最值问题 例 1．(2025·浙江数海漫游模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过F2的一条直线与C交于A，B两点，且AF1⊥AB，|BF2|＝1，则椭圆长轴长的最小值是(　　) A．4 B．3＋2 C．6 D．4＋2 [答案]　B [解析]　设|AF2|＝t，则|AB|＝t＋1，|BF1|＝2a－1，|AF1|＝2a－t，由AF1⊥AB得(t＋1)2＋(2a－t)2＝(2a－1)2，则2a＝>0，有t>1，所以2a＝＝(t－1)＋＋3≥3＋2＝3＋2，当且仅当(t－1)＝，即t＝1＋时取等号．则椭圆长轴长的最小值是3＋2.故选B. 2．(2024·山东烟台、德州诊断)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(2,3)，向量＝m＋n，且m－n－4＝0.若P为椭圆x2＋＝1上一点，则||的最小值为(　　) A． B． C． D．2 [答案]　A [解析]　设点C(x，y)，由A(－1,0)，B(2,3)及＝m＋n，得(x，y)＝(－m＋2n,3n)，即而m－n－4＝0，消去m，n得：3x－y＋12＝0，设椭圆x2＋＝1上的点P(cos θ，sin θ)，θ∈R，则点P到直线3x－y＋12＝0的距离d＝＝，其中锐角φ由tan φ＝确定，当sin(θ－φ)＝1时，dmin＝，而||≥d，所以||的最小值为.故选A． 【变式训练】 (2024·江苏南通海安中学月考)P为椭圆C：＋y2＝1上一点，A(1,0)，则|PA|最小值为(　　) A．1 B． C． D． [答案]　D [解析]　解法一：设P(x，y)，则|PA|＝＝＝，由于－2≤x≤2，故当x＝时，|PA|min＝.故选D. 解法二：设P(2cos θ，sin θ)，θ∈R，则|PA|＝＝＝＝，由于－1≤cos θ≤1，故当cos θ＝时，|PA|取最小值，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$