精品解析：湖北省襄阳市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末八年级数学学业质量检测试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 7. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 10. 如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数是__________． 13. 如图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 14. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ． 15. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 16. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 让文明之光点亮每一个角落，携手共创美好家园．某中学开展了“创文明校园 做文明学生”主题宣讲活动，活动后为了解学生对文明知识掌握情况，进行了问卷调查．以下是该校七、八年级学生问卷成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取30名学生的问卷成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（分）表示成绩，分成五组：，，，，．其中七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，81，85，85，85，85，85，85，85，85，87，89； 【描述数据】根据抽取的七年级学生成绩，绘制出频数分布直方图． 【分析数据】七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80．4 138．05 八年级 80．4 83 84 85．04 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中______，______； （2）请补全七年级抽取学生成绩的频数分布直方图； （3）问卷成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有270名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数． （4）从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次问卷调查中两个年级的成绩做出评价． 19. 如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 20. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 21. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 22. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，，求点到的距离． 23. 2022年5月，经国家知识产权局认定，“枣阳皇桃”成功获批国家地理标志证明商标，每年5月至11月是“枣阳皇桃”上市销售的时间．某果商计划租用若干辆货车装运，两种不同品种的“皇桃”共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装同一个品种，且必须装满．已知每辆货车可装品种4吨或品种6吨，其中品种每吨获利1200元，品种每吨获利1500元，请解决下列问题： （1）设装运品种的货车有辆，装运品种的货车有辆，求与的函数表达式； （2）求出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式； （3）若装运品种的货车的辆数不少于装运品种的货车的辆数，应怎样安排车辆才能获得最大利润，并求出最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点． （1）求出直线的解析式； （2）如图1，当的面积为9时，求点的坐标； （3）如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标． 25. 在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交，于，． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不与点重合）时，探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点是中点时，连接交于，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末八年级数学学业质量检测试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此分析即可作出判断．本题考查了二次根式的性质． 【详解】解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．是最简二次根式，故此选项符合题意； D．， 则不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴可以构成直角三角形，故该选项符合题意； C．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：C． 5. 某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，方差和中位数，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数， 故选：． 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 7. 直线经过第一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线经过的象限，确定、的正负性，再据此判断直线经过的象限。本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（、为常数，）中、对函数图象的影响是解题的关键。 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， ∴直线的图象经过第一、三、四象限， 故选：D 8. 如图，四边形是菱形，点在轴上，顶点A，B的坐标分别是，，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点E，先求得菱形的边长，再求得点D的坐标，根据菱形的性质，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：连接，交于点E， ∵点A，B的坐标分别是，， ∴菱形的边长， ∴， ∴点D的坐标是， 设点C的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，解得， ，解得， ∴点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用． 9. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意； B、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项说法错误，符合题意； C、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意； D、时风筝达到最大高度为，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，请你先顺次连接各边中点，再判断所得到的中点四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理得到，，，，根据得到，再根据菱形的判定解答即可，熟记三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵点E，F，G，H分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 故选：C． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由“在平行四边形中，”可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的上方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，； 故答案为：． 14. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ． 【答案】旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，利用勾股定理列出方程，解之即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2， 解得，x=12． 答：旗杆的高度为12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键 15. 已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 16. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 三、解答题（共9题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 让文明之光点亮每一个角落，携手共创美好家园．某中学开展了“创文明校园 做文明学生”主题宣讲活动，活动后为了解学生对文明知识掌握情况，进行了问卷调查．以下是该校七、八年级学生问卷成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取30名学生的问卷成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（分）表示成绩，分成五组：，，，，．其中七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，81，85，85，85，85，85，85，85，85，87，89； 【描述数据】根据抽取的七年级学生成绩，绘制出频数分布直方图． 【分析数据】七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80．4 138．05 八年级 80．4 83 84 85．04 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中______，______； （2）请补全七年级抽取学生成绩的频数分布直方图； （3）问卷成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有270名学生，请估计七年级成绩优秀的学生总人数． （4）从平均数、众数、中位数三个统计量中任意选一个，对本次问卷调查中两个年级的成绩做出评价． 【答案】（1）， （2） 补全统计图如下： （3）估计七年级学生优秀学生的总人数为人 （4）七年级的知识掌握的更好 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义、众数的定义，平均数的意义，用样本估计总体，频数分布直方图等等，正确理解题意是解题的关键； （1）由中位数的定义、众数的定义即可求解； （2）求出在范围的成绩的人数，补全图，即可求解； （3）用样本中优秀所占的比例，即可求解； （4）比较平均数、中位数、众数，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得，七年级成绩的中位数是把七年级30名学生成绩按照从小到大排列后的第和第个数的平均数， 在的成绩的人数为， ， 七年级30名学生成绩，出现次数最多的数字是， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，七年级在范围的成绩的人数有： （人）， 【小问3详解】 解：由题意得，七年级成绩人中分以上的人数有：（人）， （人）， ∴估计七年级学生优秀学生的总人数为人． 【小问4详解】 解：七、八年级的平均数、中位数都相同，但是七年级的众数高于八年级的众数， ∴七年级的知识掌握的更好． 19. 如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，则可得到，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴． 20. 如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 即， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定、菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】略 21. 小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里． 【探究发现】小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表： 碗的个数（个） 1 2 3 4 5 这擦碗的总高度（厘米） 7 10 【建立模型】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； （2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由； 【结论应用】应用上述发现的规律计算： （3）当碗的个数量为12个时，求这摞碗的总高度． （4）请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】 （1）描点如图所示： （2）它们在同一条直线上；； （3）22厘米； （4）一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画一次函数图象，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中数据描点即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入函数解析式，求出y的值即可； （4）把代入函数解析式，求出x的值，得出答案即可． 【详解】解：（1）略 （2）这些点在一条直线上． 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （3）把代入得：， 当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米． （4）把代入得：， 解得：， ∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里． 22. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，，求点到的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质以及折叠的性质，等腰三角形的判定． 根据矩形的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，，设点到的距离为h，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得：， ∴，， 设点到的距离为h， ∴， ∴， ∴， 即点到的距离为． 23. 2022年5月，经国家知识产权局认定，“枣阳皇桃”成功获批国家地理标志证明商标，每年5月至11月是“枣阳皇桃”上市销售的时间．某果商计划租用若干辆货车装运，两种不同品种的“皇桃”共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装同一个品种，且必须装满．已知每辆货车可装品种4吨或品种6吨，其中品种每吨获利1200元，品种每吨获利1500元，请解决下列问题： （1）设装运品种的货车有辆，装运品种的货车有辆，求与的函数表达式； （2）求出总利润（元）与（辆）之间的函数关系式； （3）若装运品种的货车的辆数不少于装运品种的货车的辆数，应怎样安排车辆才能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1），且x为3的倍数 （2） （3）安排6辆货车运A品种，安排6辆货车运B品种，最大利润为82800元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据货车装运A品种和B品种共60吨，列出函数关系即可求解； （2）根据，代入（1）的解析式，即可求解． （3）根据装运A品种的货车的辆数不得少于装运B品种的货车的辆数，求得x的范围，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设装运品种的货车有辆，装运品种的货车有辆， ∴， 即， 根据题意：， ∴，且x为3的倍数， 即与的函数表达式为，且x为3的倍数； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵装运品种的货车的辆数不少于装运品种的货车的辆数， ∴，即， ∴， ∵，且x为3的倍数， ∴，且x为3的倍数， ∴x取6，9，12，15， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值为， 即安排6辆货车运A品种，安排6辆货车运B品种，最大利润为82800元． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点． （1）求出直线的解析式； （2）如图1，当的面积为9时，求点的坐标； （3）如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线和直线的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，；当时，， ∴或； 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 综上：或． 25. 在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交，于，． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不与点重合）时，探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点是中点时，连接交于，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，过点B作于点Q，交于点L， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，理由如下： 如图，连接，交于点P， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点B作于点Q，交于点L，四边形是平行四边形，从而得到 ，再证明，可得，即可解答； （3）连接，交于点P，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，从而得到，，进而得到，再由勾股定理可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $