2025年四川省宜宾市中考数学试卷

2025年四川省宜宾市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 2．（4分）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（4分）满足不等式组的解是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．m3÷m＝m2 B．（﹣mn）2＝﹣mn2 C．3m2﹣m2＝2 D．m2•m3＝m6 6．（4分）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 8．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，O是坐标原点，反比例函数y（x＞0）与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y（x＞0）的图象上，直线AB与y轴交于点C，连结OB，若AB＝3AC，则OB的长为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　） A． B．4 C．2 D．2 12．（4分）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。 13．（4分）分解因式：a2﹣a＝　 　 ． 14．（4分）分式方程0的解为　 　 ． 15．（4分）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　 　 °． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为　 　 ． 17．（4分）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝　 　 ． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是　 　 ． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）（1）计算：4sin30°+||； （2）计算：（）•． 20．（10分）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是　 　 ，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有　 　 人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 21．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 22．（10分）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：1.41，1.73，π≈3.14）． （1）求圆心角∠PON的度数； （2）求的弧长（结果精确到0.1米）． 23．（12分）如图，过原点O的直线与反比例函数y（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）． （1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积； （2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE＝10，tan∠CAD，求DE与BD的长度； （3）在（2）的条件下，若F为上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． 25．（14分）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）． （1）求b、c的值； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 2025年四川省宜宾市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C A C A A D C B C 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4分）2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【解析】解：2025的相反数是﹣2025． 故选：A． 2．（4分）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； 故选：D． 3．（4分）一组数据：4，5，5，6，a的平均数为6，则a的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】解：由题意知，6， 解得a＝10， 故选：D． 4．（4分）满足不等式组的解是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【解析】解：不等式组的解为0＜x≤2， 故满足不等式组的解是1． 故选：C． 5．（4分）下列计算正确的是（　　） A．m3÷m＝m2 B．（﹣mn）2＝﹣mn2 C．3m2﹣m2＝2 D．m2•m3＝m6 【解析】解：A、m3÷m＝m2，故此选项符合题意； B、（﹣mn）2＝m2n2，故此选项不符合题意； C、3m2﹣m2＝2m2，故此选项不符合题意； D、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．（4分）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【解析】解：设小明要答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80， 解得：x≥12， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对的题数是12道． 故选：C． 7．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【解析】解：∵半径OC⊥AB于点D， ∴ADAB8＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OD3． 故选：A． 8．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：根据题意得：， 故选：A． 9．（4分）如图，O是坐标原点，反比例函数y（x＞0）与直线y＝﹣2x交于点A，点B在y（x＞0）的图象上，直线AB与y轴交于点C，连结OB，若AB＝3AC，则OB的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E， ∵反比例函数与直线y＝﹣2x交于点A， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵AD⊥x，BE⊥x， ∴AD∥BE， ∴， ∵AB＝3AC， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴， 故选：D． 10．（4分）如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】解：如图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F， ∵AD＝2DB， ∴2， ∴ ∵DF∥BC， ∴△AFD∽△ACB， ∴， ∴， ∴设S△AFD＝4s，S△ACB＝9s， ∴沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴3． 故选：C． 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF.当BF最短时，则AE的长度为（　　） A． B．4 C．2 D．2 【解析】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H， ∵直线l∥BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAG＝90°， ∵EF⊥CE，， ∴， ∴， ∵∠CEF＝∠CAG＝90°， ∴△CEF∽△CAG， ∴，∠ECF＝∠ACG， ∴，∠GCF＝∠ACE， ∴△GCF∽△ACE， ∴∠CGF＝∠CAE＝90°， ∴∠ACG+∠AGC＝90°，∠AGC+∠HGF＝90°， ∴∠HGF＝∠ACG， ∵tan∠ACG， ∴∠ACG和∠HGF都是定值， ∴点F在射线GF上运动， ∴当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示），延长HF，CB相交于点N， ∵∠ACB＝∠CAH＝∠AHN＝90°， ∴四边形ACNH是矩形， ∴HN＝AC＝4，AH＝CN， ∵BF⊥GF，∠CGF＝90°， ∴BF∥CG， ∴∠FBN＝∠GCN， ∵AH∥CN， ∴∠CGA＝∠GCN， ∴∠FBN＝∠CGA， ∵∠FNB＝∠CAG＝90°， ∴△FNB∽△CAG， ∴， ∵AGAC， ∴FN＝2BN， 设BN＝x，则FN＝2x，CN＝5+x， ∴FH＝4﹣2x， ∴AH＝CN＝x+5， ∴GH＝（x+5）﹣2＝x+3， ∵tan∠ACG＝tan∠HGF， ∴， ∴， 解得x＝1， ∴BN＝1，FN＝2，FH＝2，GH＝4， ∴GF2，， ∵△GCF∽△ACE， ∴， ∴， 解得AE＝4， ∴当BF最短时，则AE的长度为4． 故选：B． 12．（4分）如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论：①abc＞0；②b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜4﹣2，6＜x2＜4+2．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】解∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∵A（2，0）在抛物线上， ∴4a+2b+c＝0， ∴b+2b+c＝0， ∴c＝﹣3b， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3b＜﹣2 3＜b＜1，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c＝4a﹣2b+c， 将c＝﹣3b代入得，y＝﹣4b， ∴ED＝4b， ∵， ∵对称轴为直线x＝﹣2，A（2，0）， ∴AE＝4， ∴， ∴∠CAD＜45°， ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＜45°， ∴∠ADC＞90°， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵， ∴当时，，c＝﹣3b＝﹣2， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得， ∴当b＝1时，，c＝﹣3b＝﹣3， ∴方程ax2+（b﹣2）x+c＝0转化为， 解得x＝﹣2或6； ∵方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1x2（x1＜x2）， ∴﹣2＜x1＜4﹣2，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。 13．（4分）分解因式：a2﹣a＝　a（a﹣1）　 ． 【解析】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 14．（4分）分式方程0的解为　x＝1　 ． 【解析】解：0， 方程两边同乘x（x﹣2），得x+x﹣2＝0， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，x（x﹣2）≠0， 所以分式方程的解是x＝1， 故答案为：x＝1． 15．（4分）如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　50　 °． 【解析】解：∵∠BAC是⊙O的圆周角，∠BAC＝40°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝80°， ∵OB＝OC， ∴， 故答案为：50． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上M处．若A、M、E三点共线，则的值为　　 ． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°， ∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBA，∠FEM＝∠EMB， 由翻折得∠CEF＝∠FEM，MF＝CF， ∴∠EMB＝∠EBM， ∴CE＝BE＝ME， ∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠EBM， ∴∠ADM＝∠AMD， ∴AD＝AM，设BE＝ME＝x，则AD＝AM＝2x，AE＝AM+EM＝3x， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（4分）已知a1、a2、a3、a4、a5是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a1+a2+a3+a4+a5＝　58　 ． 【解析】解：设a1+a2+a3+a4+a5＝m，那么去掉a1后和为m﹣a1，去掉a2后和为m﹣a2，去掉a3后和为m﹣a3，去掉a4后和为m﹣a4，去掉a5后和为m﹣a5； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设m﹣ai＝m﹣aj（i≠j）， 那么这四个不同的值可以表示为m﹣a1，m﹣a2，m﹣a3，m﹣a4（假设a5与前面某一个数相等）， ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴（m﹣a1）+（m﹣a2）+（m﹣a3）+（m﹣a4）＝45+46+47+48＝186，即4m﹣（a1+a2+a3+a4）＝186， ∵a1+a2+a3+a4+a5＝m， ∴a1+a2+a3+a4＝m﹣a5， ∴4m﹣（m﹣a5）＝186，即3m+a5＝186， 当m﹣a5＝m﹣a1＝45时，即a5＝m﹣45， ∴3m+m﹣45＝186，解得：，不是整数，不符合题意， 当m﹣a5＝m﹣a2＝46时，a5＝m﹣46， ∴3m+m﹣46＝186，解得：m＝58，符合题意， 当m﹣a5＝m﹣a3＝4时，即a5＝m﹣47， ∴3m+m﹣47＝186，解得：，不是整数，不符合题意； 当m﹣a5＝m﹣a4＝48时，a5＝m﹣48， ∴3m+m﹣48＝186，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，m＝58，即a1+a2+a3+a4+a5＝58， 方法2：设a1+a2+a3+a4+a5＝m，令a1+a2+a3+a4＝45，a1+a2+a3+a5＝46，a1+a2+a4+a5＝47，a1+a3+a4+a5＝48，a2+a3+a4+a5＝x， ∴4（a1+a2+a3+a4+a5）＝45+46+47+48+x， ∴4m＝186+x， ∵x是45、46、47、48中的一个，并且m是整数， ∴x＝46， ∴a1+a2+a3+a4+a5＝58， 故答案为：58． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD的最大值是　　 ． 【解析】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，连接DE， ∴∠ACD＝90°， ∵△ACD面积为24， ∴， ∴AC×CD＝48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8， ∵BC＝6， ∴BC×CE＝6×8＝48，即AC×CD＝BC×CE， ∴， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝∠ACD＝90°， ∵∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE， ∴∠ACB＝∠ECD， ∵， ∴△CED∽△ACB， ∴∠EDC＝∠ABC＝90°， ∵CE＝8， 即定角定弦，故点D在以CE为直径的圆上， 记圆心为直径CE的中点O， 即⊙O的半径OD＝4， 连接OB，并延长与⊙O交于一点，即为D1， 此时BD1为BD的最大值， 故， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）（1）计算：4sin30°+||； （2）计算：（）•． 【解析】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1． 20．（10分）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　100　 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是　10人　 ，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有　150　 人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【解析】解：（1）本次共调查了5÷5%＝100（名）学生． 喜爱舞蹈的学生人数是100×10%＝10（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：100；10人． （2）600150（人）． ∴估计有150人喜欢乒乓球运动． 故答案为：150． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲乙两人的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴同时选中甲乙两人的概率为． 21．（10分）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD＝5， ∴∠D＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD＝5， ∴BF＝BC+FC＝5+5＝10． 22．（10分）如图，扇形OPN为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O，A、B、N、O在同一直线上．直线AP与所在⊙O相切于点P，此时测得∠PAO＝45°；从点A处沿AO方向前进8.0米到达B处．直线BQ与所在⊙O相切于点Q，此时测得∠QBO＝60°．（参考数据：1.41，1.73，π≈3.14）． （1）求圆心角∠PON的度数； （2）求的弧长（结果精确到0.1米）． 【解析】解：（1）∵直线AP与所在⊙O相切于点P， ∴∠APO＝90°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PON＝90°﹣∠PAO＝45°； （2）∵直线BQ与所在⊙O相切于点Q， ∴∠BQO＝90°， ∵∠QBO＝60°， ∴， 设BQ＝x，BO＝2x， ∴， ∵AB＝8.0m， ∴AO＝AB+BO＝（8.0+2x）m， ∵在Rt△APO中，∠A＝45°， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为24．lm． 23．（12分）如图，过原点O的直线与反比例函数y（k≠0）的图象交于A、B两点．一次函数y＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C，与x轴交于点M，其中A（﹣2，1），C（﹣1，n）． （1）求一次函数y＝mx+b的表达式，并求△AOM的面积； （2）连结BC，在直线AC上是否存在点D，使以O、A、D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）把A（﹣2，1）代入到中得：， 解得k ＝﹣2， ∴反比例函数解析式为， 在中，当 x＝﹣1时，， ∴C（﹣1，2）， 把A（﹣2，1），C（﹣1，2）代入到y＝mx+b中得：， 解得， ∴一次函数y＝mx+b的表达式为y＝x+3， 在y＝x+3中，当y＝x+3＝0时，x＝﹣3， ∴M（﹣3，0）， ∴OM＝3， ∴； （2）∵直线AB经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为B（2，﹣1），OA＝OB， ∵A（﹣2，1），C（﹣1，2）， ∴，BC，AB， ∴AC2+BC2，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵BC⊥AC， ∴OA与AC不垂直， ∵△OAD与△ABC相似， ∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况， 当△OAD∽△BAC时，则，∠ODA＝∠BCA＝90°， ∴，OD∥BC， ∴此时点D为AC的中点， ∴点D的坐标为， 当△OAD∽△CAB时，则， ， ∴，OD， 设D（d，d+3）， ∴， 解得d＝3， ∴d+3＝6， ∴点D的坐标为（3，6）； 综上所述，点D的坐标为或（3，6）． 24．（12分）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点．过D作直线DB与AE的延长线交于B点．过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE，且∠AED＝∠ADC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AE＝10，tan∠CAD，求DE与BD的长度； （3）在（2）的条件下，若F为上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF．当四边形ADEF面积最大时，求DF的长度． 【解析】（1）证明：连接OD，则OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠AED＝∠ADC， ∴∠ODE＝∠ADC， ∵AE是⊙O的直径，∠ADE＝90°， ∵∠ODC＝∠ADC+∠ODA＝∠ODE+∠ODA＝90°， ∵OD是⊙O的半径； ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠ADC＝∠AED， ∴∠CAD＝∠DAE， ∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝2，， ∴， ∴， ∵AD2+DE2＝AE2AE＝10， ∴， ∴DE＝6， ∵∠BDE＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE， ∴∠BDE＝∠DAE， ∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OD2+BD2＝OB2， ∴， 解得BD＝0（舍去）或； （3）过点E作EG⊥BD于点G，则∠DGE＝90°， 当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到AE的距最大，点F是的中点， ∴， ∴AF＝EF， ∵∠AFE＝90°， ∴， ∴∠EDF＝∠EAF＝45°， ∴∠DEG＝90°﹣∠EDF＝45°， ∴DG＝EG，DG2+EG2＝DE2，DE＝6， ∴， ∵AE＝10， ∴， ∴， ∴． 25．（14分）如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）． （1）求b、c的值； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）依题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得； （2）由（1）得b＝2，c＝3， 则y＝﹣x2+2x+3，C（0，3）， 令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3＝（﹣x+3）（x+1）， ∴x1＝3，x2＝﹣1， 故B（﹣1，0），A（3，0）， 分别过点E、D作 EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示： ∵EN⊥OA，DM⊥OA， ∴∠ENB＝∠DMB＝90°， ∵∠DBM＝∠EBN， ∴△DMB∽△ENB， ∴， ∵DE：BE＝1：2， ∴DB：BE＝3：2， ∴， 设点E的纵坐标为2m，则点D的纵坐标为3m， 设AC的解析式为y＝kx+r（k≠0）， ∵C（0，3），A（3，0）， ∴， 解得， ∴AC的解析式为y＝﹣x+3， 把y＝2m代入y＝﹣x+3， 得2m＝﹣x+3， ∴x＝3﹣2m， ∴E（3﹣2m，2m）， 设BE的解析式为y＝tx+q（t≠0）， 把E（3﹣2m，2m），B（﹣1，0）分别代入y＝tx+q， 得， 解得， ∴BE的解析式为， 依题意，把y＝3m代入， 得， 则x＝5﹣3m， 即点D（5﹣3m，3m）， ∵点D为抛物线上第一象限内一点，且y＝﹣x2+2x+3， ∴3m＝﹣（5﹣3m）2+2（5﹣3m）+3， 整理得3m2﹣7m+4＝（m﹣1）（3m﹣4）＝0， ∴， 此时的2﹣m≠0， 故m1＝1，是符合题意的， 当m＝1时，则5﹣3m＝5﹣3＝2，3m＝3，此时D（2，3）， 当m时，则5﹣3m＝5﹣4＝1，3m4此时D（1，4）， 综上：D（2，3）或D（1，4）； （3）存在，过程如下： 由（2）得y＝﹣x2+2x+3， 整理y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵F为抛物线的顶点， ∴F（1，4）， ∵平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N， 连结FP、PN，过点P作PH⊥FN，∠FPN＝120°，如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+n， 把x＝1代入y＝﹣（x﹣m）2+n， 得， ∵点P（m，n）在y＝﹣（x﹣1）2+4上， ∴n＝﹣（m﹣1）2+4， ∴（m﹣1）2＝4﹣n， ∴， ∴N（1，﹣4+2n）， ∵P（m，n），N（1，﹣4+2n），F（1，4）， ∴PF2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2，PN2＝（m﹣1）2+[n﹣（﹣4+2n）]2＝（m﹣1）2+（n﹣4）2， 则PF2＝PN2， 即PF＝PN， ∴△PFN是等腰三角形， ∵∠FPN＝120°， ∴， 则， ∴， 令t＝m﹣1， ∴， 即， ∵n＝﹣（m﹣1）2+4， ∴， 即， ∴， ∴， ∴m﹣1＝0，或， ∴m＝1（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令y＝0，则， ∴， 即， ∴，， 则，∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$