2025年四川省内江市中考数学试卷

2025年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作（　　） A． B． C．﹣3℃ D．3℃ 2．（3分）古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（　　） A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010 4．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 5．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示： 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 1 3 10 4 2 这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　） A．24.5，25 B．25，25 C．25，25.5 D．25.5，26 6．（3分）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（　　） A．安 B．全 C．校 D．园 7．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 8．（3分）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 9．（3分）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 10．（3分）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 12．（3分）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（　　） A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．（4分）分解因式：a2﹣1＝　 　 ． 14．（4分）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　 　 ． 15．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　 　 ． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 18．（9分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长． 19．（10分）内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A 95＜x≤100 m B 85＜x≤95 24 C 75＜x≤85 14 D x≤75 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中m＝ 　 　 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 　 　 度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．（6分）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　 　 ． 23．（6分）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　 ． 24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为　 　 ． 25．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　 　 ． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．) 26．（12分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积； （3）连接DE，若，求cosA的值． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 2025年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C． D C． A B B D B B D C A 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作（　　） A． B． C．﹣3℃ D．3℃ 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，中国是世界上最早使用负数的国家，负数早已广泛应用到生产和生活中．例如，零上3℃记作+3℃，则零下3℃记作﹣3℃． 故选：C． 2．（3分）古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3．（3分）2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员，若每颗卫星每天处理的数据量为3500000000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35000000000字节，将数据35000000000用科学记数法表示为（　　） A．35×109 B．3.5×109 C．3.5×1010 D．0.35×1010 【解析】解：35000000000＝3.5×1010． 故选：C． 4．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 【解析】解：已知函数， 则x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：A． 5．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋，其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示： 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 1 3 10 4 2 这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是（　　） A．24.5，25 B．25，25 C．25，25.5 D．25.5，26 【解析】解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次， 所以这组数据的众数为25； 中位数是数据排列后，第10个和第11数据的平均数， 所以这组数据的中位数为25． 故选：B． 6．（3分）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（　　） A．安 B．全 C．校 D．园 【解析】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 7．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•x4＝x8 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x+2x2＝3x2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 【解析】解：x2•x4＝x6，则A不符合题意， （x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则B不符合题意， x与2x2不是同类项，无法合并，则C不符合题意， （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，则D符合题意， 故选：D． 8．（3分）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【解析】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 9．（3分）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（　　） A．72（100﹣x）＝60（100+3﹣x） B．60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x） C．60（100+x）＝72（100﹣3+x） D． 【解析】解：根据题意得：60（100﹣x）＝72（100﹣3﹣x）． 故选：B． 10．（3分）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D；（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是（　　） A．64° B．66° C．68° D．70° 【解析】解：由尺规作图可知：AB＝AD＝BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∠BDC＝∠ADB∠ADC， ∴∠A+ADC＝180°， ∵∠A＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝140°， ∴∠BDC∠ADC＝70°． 故选：D． 11．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故选：C． 12．（3分）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，16），经过第2次运算得到点（2，8），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（2，1）经过第2025次运算后得到点是（　　） A．（2，1） B．（4，2） C．（1，2） D．（1，4） 【解析】解：初始点：（2，1）（第0次运算）． 第1次：横坐标2为偶数，，纵坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4；，得到点（1，4）． 第2次：横坐标1为奇数，f（1）＝3×1+1＝4，纵坐标4为偶数，，得到点（4，2）． 第3次：横坐标4为偶数，，纵坐标2为偶数，，得到点（2，1），与初始点相同，即三次一循环， ∴2025÷3＝675， ∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即（2，1）． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．（4分）分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　 ． 【解析】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 14．（4分）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　　 ． 【解析】解：在英文单词“banana”中共6个字母，其中字母“a”有3个； 则字母为“c”的概率是：． 故答案为：． 15．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是　2　 ． 【解析】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB8＝4， 在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4， ∴OD3， ∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是　5　 ． 【解析】解：如图，连接BD，BF， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD10， ∵点G为BE的中点，点H为EF的中点， ∴BF＝2GH， ∴当BF有最大值时，GH有最大值， ∵点F是CD的点， ∴当点F与点D重合时，BF有最大值为10， ∴GH的最大值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 【解析】解：（1）原式＝1+3+4﹣1 ＝7； （2）原式 ＝3． 18．（9分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长． 【解析】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BF+CF＝EC+CF， ∴BF＝EC， ∵BF＝4，FC＝3， ∴EC＝4， ∴BE＝BF+FC+EC＝4+3+4＝11． 19．（10分）内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来．为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A 95＜x≤100 m B 85＜x≤95 24 C 75＜x≤85 14 D x≤75 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中m＝ 　60　 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 　60　 度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【解析】解：（1）随机抽取的学生共有：24÷40%＝60（人）， ∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，人）， 扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：360°60°， 故答案为：60，60； （2）3000600（人）， 答：若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种， ∴甲、乙两人被同时选中的概率为． 20．（9分）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角（∠ABD）为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD）为30°，又测得BC＝80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）． 【解析】解：设AD＝x m， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°， ∴BD（m）， 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°， ∴CD（m）， ∵BC＝BD+CD＝80m， ∴xx＝80， 解得x＝4040， ∴AD＝（4040）m， 答：桥塔AD的高度为（4040）m． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集； （3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积． 【解析】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（﹣6，1）， ∴k1＝﹣6×1＝﹣6， 故反比例函数的表达式为， 把点A（a，6）代入反比例函数得，， 解得a＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣1，6）， ∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点， ∴，解得， 故一次函数的表达式为y＝x+7； （2）∵， ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴﹣6≤x≤﹣1； （3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7， 解得：y＝﹣4+7＝3， ∴C（﹣4，3）， 当y＝3时，代入，得， 解得：x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， 如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， ∵B（﹣6，1），D（﹣2，3）， ∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4， ∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3， ∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．（6分）已知实数a，b满足a+b＝2，则a2﹣b2+4b＝　4　 ． 【解析】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b ＝2（a+b） ＝2×2 ＝4， 故答案为：4． 23．（6分）对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　﹣17≤P＜﹣7　 ． 【解析】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y， ∴关于a的不等式组，即为， ∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：． ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为﹣1，0，1， ∴． ∴﹣17≤P＜﹣7． 故答案为：﹣17≤P＜﹣7． 24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为　（﹣1.5，5）　 ． 【解析】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴相交于G， 则四边形BOGC是矩形， ∴OG＝BC＝a，CG＝ BO，∠EGF＝90°． 由折叠的性质，得AD＝AF＝a，DE＝FE． ∵点B的坐标为 （1，0），点F的坐标为（0，3）， ∴BO＝1，FO＝ 3， ∴AO＝AB﹣BO＝a﹣1． 在Rt△AOF 中，AO2+FO2＝AF2， ∴（a﹣1）2+32＝a2， 解得a＝5， ∴FG＝OG﹣OF＝2，GE＝CD﹣CG﹣DE＝4﹣DE． 在Rt△EGF中，GE2+FG2＝EF2， ∴（4一 DE）2+22＝DE2， 解得DE＝2.5， ∴GE＝1.5， ∴点E的坐标为 （﹣1.5，5）． 故答案为：（﹣1.5，5）． 25．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　　 ． 【解析】解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD， ∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN， 当N，E，F，M四点共线时取得最小值， ∵N，M是D关于AB，AC的对称点， ∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM， 又∵∠EAD+∠FAD＝45°， ∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°， ∴△AMN是等腰直角三角形， ∴， ∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小， 又∵∠B＝60°，， ∴， ∴△DEF周长最小为， 故答案为：． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．) 26．（12分）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【解析】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积； （3）连接DE，若，求cosA的值． 【解析】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵∠C＝90°， ∴BC⊥AC， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D，交AB于点E， ∴OE＝OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴OD⊥AC， 又∵OD是⊙O半径， ∴直线AC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为R， ∴OD＝OE＝OB＝R， ∵点E是AO的中点， ∴AE＝OE＝R， ∴AO＝2R， 由（1）可知：OD⊥AC， ∴在Rt△AOD中，sinA， ∴∠A＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵AD＝3， ∴tanA， ∴OD＝AD•tanA＝3×tan30°， ∴S△AODAD•OD，S扇形EOD， ∴阴影部分的面积为：S△AOD﹣S扇形EOD； （3）∵BE是⊙O直径， ∴∠BDE＝90°， 在Rt△BDE中，sin∠DBA， 设DE，BE＝5a， 由勾股定理得：BD， ∴ODBE＝2.5a， ∵∠OBD＝∠CBD，∠BDE＝∠C＝90°， ∴△BDE∽△BCD， ∴， ∴， ∴CD＝2a，BC＝4a， ∵由（1）可知：OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴， ∴， ∴AD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO， ∴cosA． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线l：y＝x﹣1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB、MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）联立得：， 解得：，， ∴D（﹣4，﹣5）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为N（﹣1，4）， 设M（﹣1，n）， ∵MB＝MD， ∴MB2＝MD2， ∴（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝（﹣1+4）2+（n+5）2， 解得：n＝﹣3， ∴n的值为﹣3； （3）由（2）得顶点N（﹣1，4）， 设P（m，0），由旋转得∠NPH＝90°，PN＝PH， 当m＜﹣1时，过点P作y轴的平行线EF，过点H，N分别作EF的垂线，垂足为点F，E，如图， ∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°， ∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°， ∴∠ENP＝∠FPH， ∴△PEN≌△HFP（AAS）， ∴EN＝PF＝﹣1﹣m，PE＝FH＝4， ∴H（4+m，1+m）， 将点 H（4+m，1+m）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（4+m）2﹣2（4+m）+3＝1+m， 整理得：m2+11m+22＝0， 解得：m， ∴P（，0）或P（，0）； 当m＞﹣1时，过点P作y轴的平行线，过点H，N分别作平行线的垂线，垂足为点F，E，如图， ∴∠E＝∠F＝∠NPH＝90°， ∴∠EPN+∠ENP＝∠EPN+∠FPH＝90°， ∴∠ENP＝∠FPH， ∴△PEN≌△HFP（AAS）， ∴EN＝PF＝m+1，PE＝FH＝4， ∴H（m﹣4，﹣m﹣1）， 将点H（m﹣4，﹣m﹣1）代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣（m﹣4）2﹣2（m﹣4）+3＝﹣m﹣1，整理得：m2﹣7m+4＝0， 解得：m， ∴P（，0）或P（，0）； 综上，所有符合条件的点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$