2025年四川省南充市中考数学试卷

2025年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝3 B．2a﹣a＝2 C．2a•a＝2a2 D．2a÷a＝2a 2．（4分）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 3．（4分）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风﹣31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风﹣31AG”导弹的平均速度为（　　） A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒 C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒 4．（4分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（　　） A．6 B．9 C．11 D．15 5．（4分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 6．（4分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（　　） A．2﹣2π B．π﹣2 C．5﹣2π D．2﹣π 7．（4分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（　　） A．12 B． C．16 D． 8．（4分）已知2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 10．（4分）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：a（a﹣3）﹣a2＝　 　 ． 12．（4分）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　 　 ． 13．（4分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　 　 ． 14．（4分）如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC＝1，则OE的长是　 　 ． 15．（4分）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　 　 ． 16．（4分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上结论正确的是 　 　 ．（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17．（8分）计算：（π﹣2025）04sin45°|﹣2|． 18．（8分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC． （1）求证：△ABC≌△AED． （2）求证：∠BCD＝∠EDC． 19．（8分）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图： （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图． （2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数． （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率． 20．（10分）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 21．（10分）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（﹣3，1），B（1，n）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD，求a的值． 22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB，求OM的长． 23．（10分）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 24．（10分）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长． 25．（12分）抛物线y＝ax2+2ax（a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，N是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）如图1，抛物线上两点P（m，y1），Q（m+2，y2），若PQ∥BN，求m的值； （3）如图2，点M（﹣1，﹣5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN＝∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2025年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A D B D C A 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）下列计算正确的是（　　） A．2a+a＝3 B．2a﹣a＝2 C．2a•a＝2a2 D．2a÷a＝2a 【解析】解：∵2a+a＝3a≠3，2a﹣a＝a≠2，故选项A、B计算错误； 2a•a＝2a2，故选项C计算正确； 2a÷a＝2≠2a，故选项D计算错误． 故选：C． 2．（4分）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解析】解：∵直角三角板， ∴α＝90+60°＝150°， 故选：D． 3．（4分）2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风﹣31AG”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风﹣31AG”导弹的平均速度为（　　） A．8.5×102米/秒 B．8.5×103米/秒 C．8.5×104米/秒 D．85×103米/秒 【解析】解：用科学记数法表示“东风﹣31AG”导弹的平均速度为25×340＝8500＝8.5×103（米/秒）， 故选：B． 4．（4分）一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是（　　） A．6 B．9 C．11 D．15 【解析】解：由表知，这组数据中11出现次数最多，有8次， 所以这组数据的众数为11， 故选：C． 5．（4分）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【解析】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 故选：A． 6．（4分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是（　　） A．2﹣2π B．π﹣2 C．5﹣2π D．2﹣π 【解析】解：由题意可知：AA′＝π×1＝π， 设滚动前点A对应的数为x， ∴|2﹣x|＝π， 2﹣x＝π， x＝2﹣π， ∴滚动前点A对应的数是2﹣π， 故选：D． 7．（4分）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（　　） A．12 B． C．16 D． 【解析】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴∠BCD＝120°，∠A＝90°，BC＝CD＝2， ∴∠ACB＝60°， ∴，， 同理，DE＝1， ∴，AE＝4， ∴矩形的面积是， 故选：B． 8．（4分）已知2，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】解：∵， ∴a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab， ∴a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc， ∴6， 故选：D． 9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 【解析】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF， ∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝30°， ∴OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴， ∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6． 故选：C． 10．（4分）已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A．b＜0 B．b C．b≤0 D．b或b＞0 【解析】解：∵函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x， ∴当﹣2≤x＜0时，y＝x2+2x；当x＜﹣2时，y＝﹣2x﹣4． 画出函数图象： 当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，这是一个开口向上，顶点为（1，﹣1），与x轴交点为（0，0），（2，0）的抛物线一部分． 当x＞2时，y＝2x﹣4，是一条k为2，过（2，0）的射线． 根据对称性画出x＜0时的函数图象． 联立（﹣2≤x＜0时），得x2+x﹣b＝0， 当Δ＝1+4b＝0，即时，直线与y＝x2+2x（﹣2≤x＜0）相切． 当直线过（0，0）时，b＝0． 结合图象可知，当时，直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：a（a﹣3）﹣a2＝　﹣3a　 ． 【解析】解：原式＝a2﹣3a﹣a2＝﹣3a， 故答案为：﹣3a． 12．（4分）不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机从袋子中摸出一个球，恰好为白球的概率是　　 ． 【解析】解：根据题意知，随机从袋子中摸出一个球共有6种等可能结果，其中恰好为白球的有2种结果， 所以恰好为白球的概率是， 故答案为：． 13．（4分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　m≤3　 ． 【解析】解：由x﹣3＞﹣1得：x＞2， 由﹣x＜﹣m+1得：x＞m﹣1， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m﹣1≤2， 解得m≤3， 故答案为：m≤3． 14．（4分）如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC＝1，则OE的长是　　 ． 【解析】解：连OD，由作图可得OD＝OD＝CD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴， 故答案为：． 15．（4分）已知直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上，则的值是　　 ． 【解析】解：当x＝0时，y＝m（x+1）＝m，y＝n（x﹣2）＝﹣2n， ∵直线y＝m（x+1）（m≠0）与直线y＝n（x﹣2）（n≠0）的交点在y轴上， ∴m＝﹣2n， ∴， 16．（4分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF＝AF；③∠CMD＝45°；④1．以上结论正确的是 　①③④　 ．（填写序号） 【解析】解：∵把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF， ∴△CBE≌△ABF， ∴CE＝AF，∠BCE＝∠FAB，BE＝BF， ∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， 又∵∠AEM＝∠BEC， ∴∠BEC+∠BCE＝∠FAB+∠AEM＝90°， ∴∠AMC＝90°， 即CM⊥AF， 故①结论正确，符合题意； ∵AB+BF＞AF，CF＝BC+BF＝AB+BF， ∴CF＞AF， 故②结论错误，不符合题意； ∵正方形ABCD， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠ACB＝45°， ∴∠AMC＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，如图， ∵， ∴∠CAD＝∠CMD＝45°， 故结论③正确，符合题意； 如图，过N点作NG⊥AC，交AD于G， ∵CE平分∠ACB，∠ACB＝45°， ∴∠ACM＝22.5°， ∵， ∴∠ACM＝∠ADM＝22.5°， ∵∠CAD＝45°， ∴∠AGN＝90°﹣∠CAD＝45°，∠DNG＝180°﹣∠CAD﹣∠ANG﹣∠ADN＝22.5°， ∴∠CAD＝∠AGN＝45°，∠GDN＝∠DNG＝22.5°， ∴AN＝NG＝GD， 设AD＝CD＝BC＝a， 在Rt△ANG中，AN2+NG2＝AG2， ∴2AN2＝（a﹣AN）2， ∴（负根已舍去）， ∵， ∴， ∴， 故结论④正确，符合题意； 综上，①③④结论正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17．（8分）计算：（π﹣2025）04sin45°|﹣2|． 【解析】解：原式 ＝1． 18．（8分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC． （1）求证：△ABC≌△AED． （2）求证：∠BCD＝∠EDC． 【解析】（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠EAC﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠EAD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）； （2）解：∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， 由（1）可知：△ABC≌△AED， ∴∠ACB＝∠ADE， ∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC， ∴∠BCD＝∠EDC． 19．（8分）为了弘扬优秀传统文化，某校拟增设四类兴趣班：A川剧班、B皮影班、C剪纸班、D木偶班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图： （1）求问卷调查的总人数，并补全条形图． （2）若该校共有800名学生，估计最希望增设“木偶班”的学生人数． （3）本次调研小组共有5人，其中男生3人，女生2人，现从5人中随机抽取2人向学校汇报调查结果，求恰好抽中一男一女的概率． 【解析】解：（1）问卷调查的总人数为26÷26%＝100（人）， D类别人数为100﹣（26+24+20）＝30（人）， 补全图形如下： （2）800240（人）， 答：估计最希望增设“木偶班”的学生人数约为240人； （3）列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） 由表知，共有20种等可能结果，其中恰好抽中一男一女的有12种结果， 所以恰好抽中一男一女的概率为． 20．（10分）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根． （1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值． （2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 【解析】解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2， 得m2＝6， ∴． ∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0． ∴（x﹣4）（x+1）＝0． ∴x1＝﹣1，x2＝4． ∴． （2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0． ∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2． ∴（x1﹣1）（x2﹣1） ＝x1•x2﹣（x1+x2）+1 ＝2﹣m2﹣3+1 ＝﹣m2． ∵m2≥0， ∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0． 21．（10分）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（﹣3，1），B（1，n）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD，求a的值． 【解析】解：（1）设反比例函数解析式为， ∵经过点A（﹣3，1）， ∴k1＝﹣3， ∴反比例函数为， ∵B（1，n）在图象上，n＝﹣3， ∴B（1，﹣3）， 设一次函数解析式为y＝k2x+b（k2≠0）， ∴.， 解得， ∴一次函数为y＝﹣x﹣2； （2）∵CD⊥x轴， ∴，D（a，﹣a﹣2）， ∵， ∴，即2a2+11a﹣6＝0， ∴a1＝﹣6，， ∵点C在第二象限， ∴a＝﹣6． 22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB，求OM的长． 【解析】（1）证明：连接OE，DF，如图所示： ∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴OD＝OE＝OC， 在△OME和△OMD中， ， ∴△OME≌△OMD（SSS）， ∴∠OEM＝∠ODM， ∵CD⊥AB， ∴∠ODM＝90°， ∴∠OEM＝90°， 即OE⊥ME， 又∵OE是⊙O的半径， ∴ME是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵sinB， ∴sin∠DCF＝4/5， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DCF， 设DF＝4x，CD＝5x， 由勾股定理得：CF3x， ∵CF＝3， ∴3x＝3， 解得：x＝1， ∴CD＝5x＝5， ∴ODCD＝2.5， 由（1）可知：△OME≌△OMD， ∴∠EOM＝∠DOM， ∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠DOE是△OCE的外角， ∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴2∠DOM＝2∠OCE， ∴∠DOM＝∠OCE， ∴OM∥BC， ∴∠OMD＝∠B， ∴sin∠OMD＝sin∠B， 在Rt△ODM中，sin∠OMD， ∴， ∴OM． 23．（10分）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【解析】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 24．（10分）矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长． 【解析】（1）证明：如图，连接EF， 由折叠可得∠APE＝∠B＝90°，PE＝BE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠C＝90°， ∵E为BC的中点， ∴BE＝EC， ∴PE＝EC， 在Rt△EPF与Rt△ECF中， ∵EP＝EC，EF＝EF， ∴Rt△EPF≌Rt△ECF（HL）， ∴FP＝FC； （2）解：∵AP＝AB＝10，点E在移动过程中，AP＝10不变． ∴点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上， 连接AM，如图， 当点P在线段AM上时，PM有最小值， ∵AD＝17，AB＝CD＝10，CM＝4， ∴DM＝6， ∴， ∴PM的最小值为； （3）解：过点P作PH⊥AD于H，延长HP交BC于点G，连接PD、NP，如图， ∵∠NPD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， ∵∠PHN＝∠DHP， ∴△PHN∽△DHP， ∴， ∴HP2＝HN•HD， ∵AN＝4，AD＝17， ∴DN＝13， 设HN＝x，HD＝13﹣x， ∴AH＝x+4，HP2＝x（13﹣x）， ∵AB＝10， ∴AP＝AB＝10， ∵HP2＝AP2﹣AH2， ∴HP2＝102﹣（x+4）2， ∴x（13﹣x）＝102﹣（x+4）2， 解得x＝4， ∴HP＝6，AH＝8，HG＝AB＝10，PG＝4，BG＝AH＝8， 设BE＝m，则PE＝m，GE＝8﹣m， 在Rt△PGE中，PE2＝EG2+PG2， ∴m2＝（8﹣m）2+42， 解得m＝5， 即BE的长为5． 25．（12分）抛物线y＝ax2+2ax（a≠0）与x轴交于A（3，0），B两点，N是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）如图1，抛物线上两点P（m，y1），Q（m+2，y2），若PQ∥BN，求m的值； （3）如图2，点M（﹣1，﹣5），如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN＝∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【解析】解：（1）把A（3，0）代入， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令y＝0，则， 解得x1＝﹣5，x2＝3， ∴B（﹣5，0）； （2）∵，N是抛物线顶点， ∴N（﹣1，﹣4）， 设直线BN的解析式为y＝k1x+b1， ∵B（﹣5，0），N（﹣1，﹣4）， ∴， 解得：， ∴直线BN的解析式为y＝﹣x﹣5， ∵PQ∥BN， 可设直线PQ为y＝﹣x+n， 设点，， ∴且， 解得：m＝﹣4； （3）存在定点T满足条件． 设直线l解析式y＝kx+b，直线l与抛物线相交于点G（x3，y3），H（x4，y4）， ∴， ∴x2+（2﹣4k）x﹣15﹣4b＝0， ∴Δ＞0，x3+x4＝4k﹣2，x3x4＝﹣15﹣4b， 作GC⊥MN，HD⊥MN，GC＝﹣1﹣x3，MC＝y3+5，HD＝x4+1，MD＝y4+5， ∵∠GMN＝∠HMN， ∴tan∠GMN＝tan∠HMN．即， ∴， ∴（x3+1）（y4+5）+（x4+1）（y3+5）＝0， ∴（x3+1）（kx4+b+5）+（x4+1）（kx3+b+5）＝0． ∴2kx3x4+（k+b+5）（x3+x4）+2b+10＝0． ∴2k（﹣15﹣4b）+（k+b+5）（4k﹣2）+2b+10＝0． ∴﹣4k（b﹣k+3）＝0， ∵直线l不垂直于y轴， ∴k≠0， ∴b﹣k+3＝0， ∴b＝k﹣3， ∴直线l解析式y＝k（x+1）﹣3， ∵无论k为何值，x＝﹣1，y＝﹣3， ∴l过定点T（﹣1，﹣3）， 故存在定点T（﹣1，﹣3）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$