2025年四川省眉山市中考数学试卷

2025年四川省眉山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。 1．（4分）2025的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 3．（4分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（　　） A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×108 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a12÷a3＝a9 5．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5） 6．（4分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（　　） A．216° B．180° C．144° D．120° 7．（4分）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 9．（4分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量（m，n），已知（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2+y1•y2＝0，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（　　） A．（2，3），（sin30°，π0） B．（3，﹣9），（1，） C．（，），（2，） D．（2，1），（2﹣1，﹣1） 11．（4分）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 12．（4分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。 13．（4分）﹣27的立方根是 　 　 ． 14．（4分）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是　 　 ． 15．（4分）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　 　 ． 16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　 　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为　 　 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上。 19．（8分）（1）计算：|﹣3|； （2）解方程：2（x﹣1）＝2+x． 20．（8分）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0． 21．（10分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 　 　 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 　 　 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC． （1）求证：； （2）若∠BAE＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长． 23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 24．（10分）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：Kcal） 蛋白质（单位：g） 脂肪（单位：g） 碳水化合物（单位：g） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 26．（12分）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，折痕交AB于点E，再沿着过点B′的直线折叠，使点D落在B′C边上的点D′处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点B′、D′及折痕CE、B′F，连接B′E、B′C、D′F． 【初步猜想】（1）确定CE和B′F的位置关系及线段BE和CF的数量关系． 创新小组经过探究，发现CE∥B′F，证明过程如下： 由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB∠BCB'．由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB′C＝∠BCB′，∴①　 　 ，∴CE∥B′F． 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②　 　 ． 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得结论． 方法二：过点B′作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB′G，然后证B′G＝B′E可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作B′G∥AB交CE于点G，连接D′G，当△B′D′G为直角三角形时，求出BE的长． 2025年四川省眉山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C． D C C B A C D B B 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。 1．（4分）2025的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【解析】解：2025的相反数是﹣2025． 故选：B． 2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 3．（4分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（　　） A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×108 【解析】解：244亿＝24400000000＝2.44×1010． 故选：C． 4．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a12÷a3＝a9 【解析】解：A．∵a2，a3不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵a12÷a3＝a9，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5） 【解析】解：由题知， 将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B的坐标为（1，3）． 故选：C． 6．（4分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（　　） A．216° B．180° C．144° D．120° 【解析】解：∵∠A＝∠E180°×（5﹣2）＝108°， ∴∠AMN+∠ENM＝360°﹣∠B﹣∠C＝144°， ∵∠1＝∠AMN，∠2＝∠ENM， ∴∠1+∠2＝∠AMN+∠ENM＝144°． 故选：C． 7．（4分）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 【解析】解：∵小正方形的边长均为1， ∴OB，OD2， ∴OB：OD＝1：2， ∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB∽△OCD，相似比为1：2， ∴△OAB与△OCD的周长之比1：2， 故选：B． 8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【解析】解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线， ∴∠BAG＝∠DAG． ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB＝6， ∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4． 故选：A． 9．（4分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由题意得：， 故选：C． 10．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量（m，n），已知（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2+y1•y2＝0，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（　　） A．（2，3），（sin30°，π0） B．（3，﹣9），（1，） C．（，），（2，） D．（2，1），（2﹣1，﹣1） 【解析】解：∵2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0， ∴与不相互垂直， 故A选项不符合题意； ∵3×13+3＝6≠0， ∴与不相互垂直， 故B选项不符合题意； ∵0， ∴与不相互垂直， 故C选项不符合题意； ∵2×2﹣1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0， ∴与相互垂直， 故D选项符合题意． 故选：D． 11．（4分）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 【解析】解：． 解①得：x≤5． 解②得：． ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解． ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数， 当时，解集包含x＝4，5， 此时a≤9， 分式方程化简为：， 解得， 要求解为正整数且x≠1，则为大于等于2的整数， 即a为大于等于6的偶数， ∵a≤9， ∴a＝6或8， 当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件， 当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件， 则所有满足条件的整数a之和为6+8＝14， 故选：B． 12．（4分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】解：在Rt△PCD中CD，PC＝t， 则S＝PD2＝t2+2， 当S＝6时，即t2+2＝6， 解得：t＝2（负值已舍去）， 即BC＝2， 当t＝1时，S＝t2+2＝3，故①正确； 由图象可知抛物线顶点为（4，2），且过点（2，6）， 则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2， 将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②错误； 当S＝18时，则t2﹣8t+18＝18， 解得：t＝0（舍去）或8， 则AB＝8﹣2＝6， ∴AC4， ∴AD＝43，故③错误； 画出S＝t2+2（0≤t≤2），如图： 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等， 从图象看，t1、t2关于t＝2对称， 则（t1+t2）＝2， 即t1+t2＝4，故④正确． 故选：B． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。 13．（4分）﹣27的立方根是 　﹣3　 ． 【解析】解：∵（﹣3）3＝﹣27， ∴3 故答案为：﹣3． 14．（4分）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是　8　 ． 【解析】解：按从小到大排列：5，6，7，8，8，9，10，排在中间的数是8， 所以这组数据的中位数是8． 故答案为：8． 15．（4分）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为　﹣2　 ． 【解析】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2． 16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是　1.8　 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【解析】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴AD＝AC•sin65°＝2×0.91≈1.8（m）， ∴人字梯顶端离地面的高度1.8m． 故答案为：1.8． 17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为　（，0）　 ． 【解析】解：∵图中的12个直角三角形是相似三角形， ∴∠AOB30°， 在Rt△AOB中，cos30°， ∴OAOB， 同理可得：OBOC，OCOD， ∴OA＝（）2OC，OA＝（）3OD， … ∴OA＝（）6OGOG， ∵OA＝1， ∴OG， ∴点G的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）． 18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　①③④　 ． 【解析】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示： ∵AE：DF＝1：， ∴设AE＝a，DF， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴AH＝AE＝a， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴∠AEH＝∠AHE＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°， 由勾股定理得：HE， ∴HE＝DF， ∵∠CDP＝45°， ∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°， ∴∠BHE＝∠EDF＝135°， ∵AB＝AD，AH＝AE， ∴AB﹣AH＝AD﹣AE， 即BH＝ED， 在△BHE和△EDF中， ， △BHE≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED， ∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°， ∴∠FED+∠BEH＝45°， ∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°， 即∠FED+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠FBE＝45°， ∴sin∠BFE＝sin45°， 故结论①正确； ②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示： ∴∠MBF＝∠ABC＝90°， ∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC， ∴∠MBA＝∠GBC， ∵∠BAD＝∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠C＝90°， 在△BAM和△BCG中， ， ∴△BAM≌△BCG（SAS）， ∴AM＝CG，BM＝BG， ∴AE+CG＝AE+AM＝ME， ∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠ABE+∠GBC＝45°， ∴∠ABE+∠MBA＝45°， 即∠MBE＝45°， ∴∠MBE＝FBE＝45°， 在△MBE和△GBE中， ， ∴△MBE≌△GBE（SAS）， ∴ME＝EG， ∴AE+CG＝EG， 故结论②不正确； ③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示： 由（1）可知：设AE＝a，DF， ∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a， ∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°， ∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°， ∴△NDF是等腰直角三角形， ∴DN＝FN， 由勾股定理得：DF√2DN， ∴DN＝FNDFa， ∴△DEF的面积SDE•FN， 整理得：， ∴当a＝2时，S为最大，最大值为2， 故结论③正确； ④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x， ∵AEAD， ∴DE＝AD﹣AE， 由②可知：AE+CG＝EG， ∴EG， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2， ∴， 解得：x＝2， ∴CG＝2， ∴DG＝4﹣x＝2， ∴CG＝DG＝2， ∴点G是线段CD的中点， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上。 19．（8分）（1）计算：|﹣3|； （2）解方程：2（x﹣1）＝2+x． 【解析】解：（1）原式＝2﹣3 ＝﹣1； （2）2（x﹣1）＝2+x， 2x﹣2＝2+x， 2x﹣x＝2+2， x＝4． 20．（8分）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0． 【解析】解：原式＝[]• • ， ∵（x+2）2+|y﹣1|＝0， ∴x+2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴原式1． 21．（10分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 　200　 人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为 　144　 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【解析】解：（1）这次抽取的学生总人数为：40÷20%＝200（人）， ∴扇形统计图中A类软件所占圆心角为360°144°， 故答案为：200，144； （2）B软件的人数为：200﹣80﹣20﹣40＝60（人）， 补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种， ∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为． 22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC． （1）求证：； （2）若∠BAE＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长． 【解析】（1）证明：如图，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵BE∥DC， ∴OC⊥BE， ∴； （2）解：如图，过点O作OH⊥AC于H， 则AH＝HC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∵BE∥DC， ∴∠D＝∠ABE＝30°， ∴∠AOC＝∠OCD+∠D＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC（180°﹣120°）＝30°， ∴AH＝OA•cos∠OAC＝2， ∴AC＝2AH＝2． 23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 【解析】解：（1）把A（1，4）代入y得4， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（4，m）代入y得m1， ∴B（4，1）， ∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）设P（m，0）， ∵点D与点A关于点O对称，A（1，4）， ∴OA＝OD， ∵直线AB与x轴交于C（5，0） ∴OC＝5， ∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD， ∴或， ∴或， ∴OP＝5，OP， ∴P（﹣5，0）或（，0）． 24．（10分）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：Kcal） 蛋白质（单位：g） 脂肪（单位：g） 碳水化合物（单位：g） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【解析】解：（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品（m）份，即（6﹣m）份， 根据题意得：12m+13（6﹣m）≥76， 解得：m≤2， 设每份午餐的能量为w Kcal， 则w＝240m+280（6﹣m）＝﹣40m+1680， ∵﹣40＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝2时，w取得最小值， 此时，6﹣m＝4． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+5； （2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t）， 过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，如图： 在y＝x2+6x+5中，令y＝0得0＝x2+6x+5， 解得x＝﹣1或x＝﹣5， ∴B（﹣5，0）， ∴KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2， ∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP， ∴∠BPD＝90°，BP＝DP， ∴∠BPK＝90°﹣∠DPT＝∠PDT， ∵∠K＝∠T＝90°， ∴△BPK≌△PDT（AAS）， ∴BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2， ∴D（﹣3+t，t﹣2）， 把D（﹣3+t，t﹣2）代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5， 解得t＝﹣1或t＝2， ∴P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）； （3）在线段OC上存在点Q，使2AQCQ存在最小值，理由如下： 过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，如图： ∵∠OCM＝45°，∠QHC＝90°， ∴△QCH是等腰直角三角形， ∴QHCQ，∠CQH＝45°， ∴2AQCQ＝2（AQCQ）＝2（AQ+QH）＝2AH， 由垂线段最短可知，此时2AQCQ最小，最小值为2AH， ∵∠AQO＝∠CQH＝45°，∠AOQ＝90°， ∴△AQO是等腰直角三角形， ∴OQ＝OA＝1，AQOA， ∴Q（0，1）， 在y＝x2+6x+5中，令x＝0得y＝5， ∴C（0，5）， ∴CQ＝OC﹣OQ＝5﹣1＝4， ∴QHCQ＝2， ∴AH＝AQ+QH＝3， ∴2AQCQ的最小值为6． 26．（12分）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，折痕交AB于点E，再沿着过点B′的直线折叠，使点D落在B′C边上的点D′处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点B′、D′及折痕CE、B′F，连接B′E、B′C、D′F． 【初步猜想】（1）确定CE和B′F的位置关系及线段BE和CF的数量关系． 创新小组经过探究，发现CE∥B′F，证明过程如下： 由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB∠BCB'．由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB′C＝∠BCB′，∴①　∠ECB'＝∠FB'C　 ，∴CE∥B′F． 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②　BE＝CF　 ． 经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得结论． 方法二：过点B′作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB′G，然后证B′G＝B′E可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作B′G∥AB交CE于点G，连接D′G，当△B′D′G为直角三角形时，求出BE的长． 【解析】解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知AD∥BC， ∴∠DB'C＝∠BCB'． ∴①∠ECB'＝∠FB'C． ∴CE∥B'F． 智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②BE＝CF， 故答案为：①∠ECB'＝∠FB'C；②BE＝CF； （2）法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD， ∵折叠， ∴∠EB'C＝∠B＝90°，B'D＝B'D'，BC＝B'C＝AD，∠D＝∠B'D'F＝90°，BE＝B'E， ∴AD﹣B'D＝B'C﹣CD'，即：AB'＝CD'，∠CD'F＝90°＝∠A， 由（1）知：∠CB'D＝∠BCB'， 又∵∠AB'E+∠CB'D＝180°﹣∠EB'C＝90°，∠BCB'+∠B'CF＝∠BCD＝90°， ∴∠AB'E＝∠FCD'， 又∵∠A＝∠CD'F，AB'＝CD'， ∴△AB'E≌△D'CF， ∴B'E＝CF， ∵BE＝B'E， ∴BE＝CF； 法二：作B'G∥AB交CE于点G，则：B'G∥AB∥CD， ∵CE∥B'F， ∴四边形CFB'G为平行四边形， ∴B'G＝CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴AB∥B'G， ∴∠B'GE＝∠BEC， ∵折叠， ∴∠BEC＝∠B'EC，BE＝B'E， ∴∠B'GE＝∠B'EC， ∴B'E＝B'G， ∴BE＝B'E＝B'G＝CF； （3）∵B'G∥AB， ∴∠A＝∠GB'D＝90°， 由（2）可知：B'G＝B'E＝BE＝CF，CD'＝AB'，△AB'E≌△D'CF， ∴D'F＝AE， 设BE＝x，则：B'G＝B'E＝CF＝x，D'F＝AE＝AB﹣BE＝6﹣x， ∴， 如图，当△B'D′G为直角三角形时，则：∠B'GD'＝90°， ∴∠GB'D+∠B'GD'＝180°， ∴GD'∥AD∥BC， ∴∠D'GC＝∠ECB， 又∵∠GCD'＝∠ECB， ∴∠CGD'＝∠GCD'， ∴， ∵B'G∥AB∥CD， ∴∠GB'D'＝∠FCD'， ∴在Rt△B'GD'和Rt△CD′F中，tan∠GB'D′＝tan∠FCD'， ∴，即：， ∴x（6﹣x）＝12x﹣36， 解得：或（舍去）； ∴； 当∠GD'B'＝90°时， ∵∠B'D'F＝∠D＝90°， ∴∠GD'B'+∠B'D'F＝180°， ∴G、D'、F三点共线， ∴B'C⊥GF， ∵四边形B'GCF是平行四边形， ∴四边形B'GCF是菱形， ∴∠GCD'＝∠FCD'， ∵∠GCD'＝∠GCB， ∴∠GCD'＝∠GCB＝∠FCD'＝30°， 设CF＝a，则DF＝D'F＝6﹣a， ∴， 即， 解得：a＝4， ∴BE＝CF＝4； 综上所述：或4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$