2025年内蒙古中考数学试卷

2025年内蒙古中考数学试卷 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作（　　） A．+200元 B．﹣200元 C．+100元 D．﹣100元 2．（3分）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 5．（3分）如图，ABCD是一个矩形草坪．对角线AC、BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20m，AD＝30m，则该草坪的面积为（　　） A．2400m2 B．1800m2 C．1200m2 D．600m2 6．（3分）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M．交EF于点N．再分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF＝80°，则∠EGF的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 7．（3分）在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　　） A．12A B．8A C．6A D．4A 8．（3分）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9．（3分）在单词class（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率是　 　 ． 10．（3分）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　 　 ． 11．（3分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　 　 ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13．（10分）计算： （1）|﹣5|（﹣6）； （2）． 14．（7分）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 1.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内？ （2）该校八年级共有500名学生． ①根据如表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 15．（10分）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求a的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 16．（12分）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F． （1）求的长； （2）求∠DAB的度数； （3）求cos∠OFP的值． 17．（12分）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 18．（13分）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 2025年内蒙古中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B． B C B C D A D 一、选择题（共8小题．每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作（　　） A．+200元 B．﹣200元 C．+100元 D．﹣100元 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若盈利100元记作+100元，则亏损200元应记作﹣200元． 故选：B． 2．（3分）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：是中心对称图形的为选项B中的图案． 故选：B． 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：由x﹣1≥0得：x≥1， 又x＜3， 所以不等式组的解集为1≤x＜3， 故选：C． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，若△OA′B′与△OAB的相似比为2：1．则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4） 【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第三象限画△OA′B′与△OAB位似，△OA′B′与△OAB的相似比为2：1， ∴点A（2，1）的对应点A′的坐标为（﹣2×2，﹣2×1），即（﹣4，﹣2）． 故选：B． 5．（3分）如图，ABCD是一个矩形草坪．对角线AC、BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20m，AD＝30m，则该草坪的面积为（　　） A．2400m2 B．1800m2 C．1200m2 D．600m2 【解析】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CO＝OA， ∵H是BC边的中点， ∴OH是△ABC的中位线， ∴AB＝2OH＝2×20＝40（m）， ∴该草坪的面积为：40×30＝1200（m2）， 故选：C． 6．（3分）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧．交射线EA于点M．交EF于点N．再分别以点M，N为圆心．大于MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF＝80°，则∠EGF的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 【解析】解：由作图得：EG平分∠AEF，∠AEF＝80°， ∴∠AEG∠AEF＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠AEG＝40°， 故选：D． 7．（3分）在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　　） A．12A B．8A C．6A D．4A 【解析】解：设I＝kU， ∵当U＝5V时，I＝4A， ∴4＝5k， ∴k， ∴IU， 当U＝15V时，I15＝12（A）． 故选：A． 8．（3分）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【解析】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9．（3分）在单词class（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率是　　 ． 【解析】解：在单词class（班级）中随机选择一个字母共有5种等可能结果，其中选中字母“s”的有2种结果， 所以选中字母“s”的概率是， 故答案为：． 10．（3分）冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　（5m+3n）个　 ． 【解析】解：需要的山楂总个数为：（5m+3n）个， 故答案为：（5m+3n）个． 11．（3分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　120　 m（结果保留根号）． 【解析】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　　 ． 【解析】解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4， ∴AO4， ∵E是AD的中点， ∴AD＝2DE， ∵EG⊥BD， ∴EG∥AC， ∴△EGD∽△AOD， ∴， ∴EGAO＝2，DGDO＝4， ∵BF＝3， ∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9， ∴EF， 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13．（10分）计算： （1）|﹣5|（﹣6）； （2）． 【解析】解：（1）原式＝5+2﹣2＝5； （2）原式• ． 14．（7分）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 1.0≤x＜4.2 4.2≤x＜4.5 4.5≤x＜4.8 4.8≤x＜5.1 5.1≤x≤5.3 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内？ （2）该校八年级共有500名学生． ①根据如表数据，请估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 【解析】解：（1）这40名学生视力的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在C组， 所以这40名学生视力的中位数落在C组； （2）①500200（名）， 答：估计这500名八年级学生的视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数约为200名； ②去年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数为263人，今年视力在4.8≤x≤5.3范围内的人数约为200人，今年视力在该范围内的人数明显减少， 建议：保护性用眼，保持工作、生活环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射．尽量减少熬夜和过度用眼，减少过度使用电子产品．增加户外活动，定期远眺． 15．（10分）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． （1）求a的值； （2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 【解析】解：（1）根据题意得：25a＝800﹣600， 解得：a＝8． 答：a的值为8； （2）设需要x个这样的机器人， 根据题意得：4x≥10000， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为6． 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个． 16．（12分）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB．垂足为O，OC＝2，P是BA延长线上一点，连接CP，交⊙O于点D，连接AD，∠OCP＝60°．过点P作⊙O的切线，切点为E．交CO的延长线于点F． （1）求的长； （2）求∠DAB的度数； （3）求cos∠OFP的值． 【解析】解：（1）连接OD， ∵OC＝OD，∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵OC＝2， ∴的长π； （2）∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°， ∵OD＝OA， ∴∠DAB＝∠ADO（180°﹣30°）＝75°； （3）连接OE， ∵PE切圆与E， ∴半径OE⊥PE， ∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE， ∴∠POE＝∠OFP， ∵tanC＝tan60°， ∴PO＝2， ∵OE＝OC＝2， ∴cos∠POE． ∴cos∠OFP＝cos∠POE． 17．（12分）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 【解析】解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP＝AD＝6， ∵抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）， 分别设抛物线L1和L2的表达式为，， 将D（0，6）代入， 解得， 则抛物线L1的表达式为； 将A（0，0）代入， 解得； 则抛物线L2的表达式为； （3）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∴，， ∴， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． 18．（13分）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 【解析】解：（1）①PM＝CM；理由如下： 由翻折得AD＝DP，∠DAB＝∠DPB，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠BCD， ∴DP＝BC，∠DPB＝∠BCD， 又∵∠DMP＝∠BMC， ∴△DPM≌△BCM（AAS）， ∴PM＝CM； ②∵△DPM≌△BCM， ∴DM＝BM， 如图，过点M作MN⊥BD于点N，过点B作BH⊥CD于点H， ∴， ∵BD＝BC＝5，CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于点T，过点B作BH⊥CD于点H， 由翻折的性质得AG⊥BD， 同（2）可得， ∴， ∴，即6×4＝5•CP， 得， ∴， 平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥CB， ∴∠ADT＝∠CBP， 又∵∠ATD＝∠CPB＝90°， ∴△ADT≌△CBP（AAS）， ∴， ∴DP＝BD﹣BP＝5﹣3＝18， ∵AG⊥BD，CP⊥BD， ∴GT∥CP， ∴△DGT∽△DCP， ∴， 即， 解得：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$