2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷

2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑 1．（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（　　） A．≠ B．≌ C．≥ D．± 2．（3分）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（　　） A．56.01×104 B．5.601×105 C．5.601×106 D．0.5601×107 3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（　　） A．16° B．30° C．38° D．76° 5．（3分）下列计算中，结果正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣2m3）2＝4m6 C．3 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3 6．（3分）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 7．（3分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 8．（3分）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　） A．25 B．25 C．25 D．50 9．（3分）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 10．（3分）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（3分）如图，反比例函数y经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0；②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；③b＜﹣2；④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 13．（3分）计算：（﹣1）2025+（）0＝　 　 ． 14．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是　 　 ． 15．（3分）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　 　 ． 16．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　 　 ． 17．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为　 　 ． 18．（3分）计算：1　 　 ． 19．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　 　 ． 20．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是　 　 ． 21．（3分）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2；图（2）有3个三角形，记作a2＝3；图（3）有6个三角形，记作a3＝6；图（4）有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ 　 　 （结果用含n的代数式表示）． 22．（3分）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　 ． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23．（7分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 24．（7分）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 5 B 160≤x＜165 4 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 12 E 175≤x＜180 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有　 　 人，扇形统计图中A的圆心角度数是　 　 ，请补全条形统计图． （2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 25．（12分）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是 　 　 km/h． ②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 　 　 ． 26．（7分）如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F． （1）求证：PB是⊙O的切线． （2）当PC＝6，PMCD时，求线段MF的长． 27．（10分）综合与实践 如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答） 【用数学的眼光观察】 （1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由． 【用数学的思维思考】 （2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 　 　 ． 【用数学的语言表达】 （3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 28．（11分）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C． A C B B D B A C D A 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑 1．（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（　　） A．≠ B．≌ C．≥ D．± 【解析】解：A，B，C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．（3分）据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客560.1万人次，把560.1万用科学记数法表示为（　　） A．56.01×104 B．5.601×105 C．5.601×106 D．0.5601×107 【解析】解：560.1万＝5601000＝5.601×106． 故选：C． 3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．四棱柱 【解析】解：根据主视图和左视图是矩形可知该几何体是柱体，根据俯视图是圆可知该几何体是圆柱． 故选：A． 4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝38°，则∠C的度数是（　　） A．16° B．30° C．38° D．76° 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C， ∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝38°， ∴∠C＝38°， 故选：C． 5．（3分）下列计算中，结果正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（﹣2m3）2＝4m6 C．3 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣3 【解析】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； B、（﹣2m3）2＝4m6，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．（3分）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 【解析】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为（48﹣x）cm， ∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm， ∴x：（48﹣x）＝6：10， 解得x＝18， 即较小三角形的周长为18cm． 故选：B． 7．（3分）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：7.0、7.0，8.8，9.0，9.3，9.4，10．工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：D． 8．（3分）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°．则这个矩形的面积是（　　） A．25 B．25 C．25 D．50 【解析】解：矩形对角线相等且互相平分， ∴每段长度为10÷2＝5． ∵对角线交角为60°，形成的三角形为两边长均为5，夹角为60°的三角形，符合等边三角形特征， 等边三角形的第三边长度为5， 因此矩形的邻边分别为5和5． 根据矩形性质，a2+b2＝102＝100，结合等边三角形边长关系，解得a＝5，． 矩形面积为：． 故选：B． 9．（3分）在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，那么⊙O的半径是（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【解析】解：设⊙O的半径是r cm， ∴2.5π， ∴r＝6， ∴⊙O的半径是6cm． 故选：A． 10．（3分）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】解：设B货车每小时运输化工原料x吨，则A货车每小时运输化工原料（15+x）吨， 由题意得：， 故选：C． 11．（3分）如图，反比例函数y经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3 【解析】解：延长DC，BA交于点E， 设CD＝a（a＞0）， ∵CD：OB＝1：3， ∴OB＝3a， ∵AB⊥y轴，CD⊥x轴， ∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a， ∴，， ∴，，，， ∵反比例函数经过A、C两点， ∴． ∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°， ∴四边形OBED是矩形，，DE＝OB＝3a， ∴，CE＝DE﹣CD＝2a， ∴， ∴， ∵S△ACO＝4， ∴S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO， 即， ∴k＝﹣3， 故选：D． 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论： ①a﹣c＞0； ②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根； ③b＜﹣2； ④0． 其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上， ∴对称轴直线为， ∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点， ∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3， ∴当x＝0，y＝c＝m， ∴﹣4＜c＜﹣3， ∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，， ∴ 解得，故③正确； 当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a， ∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内 13．（3分）计算：（﹣1）2025+（）0＝　0　 ． 【解析】解：． 故答案为：0． 14．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是　x＞﹣1　 ． 【解析】解：若式子有意义， 则x+1≥0且， 解得x＞﹣1， 故答案为：x＞﹣1． 15．（3分）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　2m（x﹣y）2　 ． 【解析】解：2mx2﹣4mxy+2my2 ＝2m（x2﹣2xy+y2） ＝2m（x﹣y）2， 故答案为：2m（x﹣y）2． 16．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝　2027　 ． 【解析】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根， ∴m+n＝2025，mn＝1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027， 故答案为：2027． 17．（3分）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A′B′C′．若点A和它的对应点A′的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21），则△ABC与△A′B′C′的相似比为　　 ． 【解析】解：∵把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'， ∵点A和它对应点A'的坐标分别为（3，7），（﹣9，﹣21）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为， 故答案为：． 18．（3分）计算：1　　 ． 【解析】解：原式＝1 ． 故答案为：． 19．（3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m　 ． 【解析】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝15m， ∴AC＝15m， 由勾股定理得：AB15（m）， 故答案为：15m． 20．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是　2　 ． 【解析】解：作点P′和P关于BD对称．则连接CP′， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，P为CD中点， ∴点P′是AD的中点， ∴DP′2， ∵BD＝4，AB＝AD＝4， ∴∠BAD＝120°，∠ADC＝60°， ∴CP′⊥AD， ∴CP′＝2． PC+PE的最小值即为CP′的长：2． 故答案为：． 21．（3分）观察如图，图（1）有2个三角形，记作a1＝2；图（2）有3个三角形，记作a2＝3；图（3）有6个三角形，记作a3＝6；图（4）有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝ 　n2﹣2n+3　 （结果用含n的代数式表示）． 【解析】解：图（1）有2个三角形，记作a1＝02+2＝2； 图（2）有3个三角形，记作a2＝12+2＝3； 图（3）有6个三角形，记作a3＝22+2＝6； 图（4）有11个三角形，记作a4＝32+2＝11； 按此方法继续下去，则an＝（n﹣1）2+2＝n2﹣2n+3． 故答案为：n2﹣2n+3． 22．（3分）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　6或8或9　 ． 【解析】解：过点D作DE∥BC交BC于点E，①当∠DBN＝90°时，如图（1）， ∵△BAC，△DMN是等边三角形，∠DBN＝90°， ∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN， 即△DBE是等边三角形， ∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°， ∴∠EDN＝∠BDM， ∴△DEN≌△DBM（SAS）， ∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE， ∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°， ∴∠BNE＝90°， ∴， 即BM＝1， ∴MC＝BC+BM＝7+1＝8． ②当∠BDN＝90°时，如图（2） 同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠NED＝∠MBD＝60°， 即∠DMB＝∠DNE＝90°， ∴， ∴CM＝BC﹣BM＝6． ③当∠BND＝90°时，如图（3） 同理可证△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°， ∴∠DME＝∠DNB＝90°， ∴． ∴CM＝BC﹣BM＝6． ④当∠BDN＝90°时，如图（4） 同理可证△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°， ∴∠MDE＝∠NDB＝90°，BE＝BC﹣BE＝5， ∴， ∴CM＝ME+BE＝9． 综上所述，CM的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23．（7分）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 【解析】解：（1）如图，射线OP即为所求； （2）如图2中，弧CD即为所求． 24．（7分）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 A 155≤x＜160 5 B 160≤x＜165 4 C 165≤x＜170 m D 170≤x＜175 12 E 175≤x＜180 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有　40　 人，扇形统计图中A的圆心角度数是　45°　 ，请补全条形统计图． （2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【解析】解：（1）这次抽查的志愿者共有12÷30%＝40（人）． 扇形统计图中A的圆心角度数是360°45°． 故答案为：40；45°． C组的人数为40×25%＝10（人）， 补全条形统计图如图所示． （2）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种， ∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为． 25．（12分）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元． （1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲（km）、y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是 　80　 km/h． ②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值 　1.5或4.5或6.5　 ． 【解析】解：（1）设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元． 根据题意，得， 解得． 答：购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元． （2）设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片（8000﹣a）颗． 根据题意，得a≥3（8000﹣a）， 解得a≥6000， 设所需资金W元，则W＝350a+200（8000﹣a）＝150a+1600000， ∵150＞0， ∴W随a的增大而增大， ∵a≥6000， ∴当a＝6000时W值最小，W最小＝150×6000+1600000＝2500000（元）． 答：当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元． （3）①乙车的速度为（480﹣60）÷7＝60（km/h）， 当x＝3时，y乙＝60+60×3＝240， 则甲车的速度为240÷3＝80（km/h）． 故答案为：80． ②y甲＝80x， 当80x＝480时，解得x＝6， ∴y甲与x之间的函数关系式为y甲＝80x（0≤x≤6）， y乙与x之间的函数关系式为y乙＝60x+60（0≤x≤7）， 当0≤x≤6时，当甲、乙两车相距30km时，得|y乙﹣y甲|＝30，即|60x+60﹣80x|＝30， 解得x＝1.5或4.5， 当6＜x≤7时，当甲、乙两车相距30km时，得480﹣y乙＝30，即480﹣（60x+60）＝30， 解得x＝6.5， ∴当甲、乙两车相距30km时，x的值为1.5或4.5或6.5． 故答案为：1.5或4.5或6.5． 26．（7分）如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O相切于点M，连接OM，OP与⊙O相交于点C，过点C作CD⊥OM，垂足为E，交⊙O于点D，连接PD交OM于点F． （1）求证：PB是⊙O的切线． （2）当PC＝6，PMCD时，求线段MF的长． 【解析】（1）方法一：证明：过点O作ON⊥PB于点N， ∵ON⊥PB， ∴∠PNO＝90°， ∵PA与⊙O相切于点M， ∴OM⊥PA， ∴∠PMO＝∠PNO＝90°， ∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO， ∴△PMO≌△PNO（AAS）， ∴ON＝OM， ∵OM为⊙O的半径， ∴ON为⊙O的半径， ∵ON⊥PB， ∴PB是⊙O的切线； 方法二：证明：过点O作ON⊥PB于点N， ∵PA与⊙O相切于点M， ∴OM⊥PA， ∵∠APO＝∠BPO， ∴PO是∠APB的平分线， ∴ON＝OM， ∵OM为⊙O的半径， ∴ON为⊙O的半径， ∵ON⊥PB， ∴PB是⊙O的切线； （2）∵CD⊥OM，OM为半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠OMP＝90°，∠OEC＝90°， ∴CD∥PM， ∴△OMP∽△OEC， ∴， ∵PC＝6， ∴， ∴OC＝4， ∴OC＝OM＝4， 在Rt△MOP中，PM2， ∴CE＝DE，OE， ∵∠FMP＝∠FED，∠MFP＝∠EFD， ∴△MFP∽△EFD， ∴， 设MF＝x，则， ∴， 解得， ∴． 27．（10分）综合与实践 如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答） 【用数学的眼光观察】 （1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由． 【用数学的思维思考】 （2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 　　 ． 【用数学的语言表达】 （3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围） 【解析】解：（1）BD⊥DG，理由如下； 在正方形ABCD和正方形AEFG中， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°﹣∠DAE， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°， ∴BD⊥DG； （2）连接AC交BD于点O，则∠COD＝90°， ∵正方形边长为8， ∴AC＝BD， ∴OC＝OD＝4， ∴OM＝OD﹣DM＝4DM， ∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD， ∴△CMO∽△GMD， ∴，即， 解得DM， ∵∠BDG＝90°， ∴tan∠CMB＝tan∠DMGa， 故答案为：； （3）当点E在线段BD上时，如图，过E作EK⊥AD于点K， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝45°， ∴△DEK为等腰直角三角形， ∴DK＝EK＝DE•sin45°x， ∴AK＝AD﹣DK＝8x， 在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2 ＝（）2+（8x）2 ＝x2﹣8x+64， ∴S＝AE2＝x2﹣8x+64； 当点E在BD延长线上时，如图，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L， 同理可得EL＝DLx， ∴AL＝AD+DL＝8x， 在Rt△ALE中，AE2＝EL2+AL2 ＝（x）2+（8x）2 ＝x2+8x+64， ∴S＝AE2＝x2+8x+64； 综上，S与x的函数解析式为S＝x2﹣8x+64或S＝x2+8x+64． 28．（11分）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得， ∴y＝x2+4x﹣5； （2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5， ∵B（﹣5，0）， ∴﹣5k﹣5＝0， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5）， 则E（x，﹣x﹣5）， 当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5， ∵PE＝3ED， ∴x2+5x＝3（﹣x﹣5）， 解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去）， ∴点P不存在； 当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5， ∴﹣x2﹣5x＝3（x+5）， 解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝﹣8． ∴P1（﹣3，﹣8）； 当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在； 当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5）， 解得x＝3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝16， ∴P2（3，16）， 故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H， 则∠AGF＝∠AHP＝90°， ∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形． ∴AF＝AP，∠PAF＝90°90°， ∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°， ∴∠FAG＝∠APH， ∴△AFG≌△PAH（AAS）， ∴AH＝FG，PH＝AG， 设P（m，m2+4m﹣5）， 当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5， ∴FG＝1﹣m， ∴﹣x﹣5＝1﹣m， ∴x＝m﹣6， ∴F（m﹣6，1﹣m）， ∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m， ∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m， 解得m＝﹣1，m＝﹣2， ∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）； 当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5， ∴FG＝m﹣1， ∴﹣x﹣5＝m﹣1， ∴x＝﹣m﹣4， ∴F（﹣m﹣4，m﹣1）， ∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5， ∴m2+4m﹣5＝m+5， 解得m＝2，m＝﹣5（舍去）， ∴P坐标为 （2，7）； 故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$