精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题

学科网命组卷网 哈尔滨市2025年初中升学考试 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.2的倒数是() 1 A.2 B.-2 c.2 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握“若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”是解题的 1 关键.根据倒数的定义，求与2相乘得1的数. 1 【详解】解： 1÷21x2=2 ∴.2的倒数是2 故选：D 2.传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案 中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 第1页/共40页 命学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握相关的定义.根据轴对称图形 的定义：将图形沿某直线对折，直线两边的部分能够重合，则该图形称为轴对称图形；中心对称图形：把 一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形与原来的图形重合，这个图形称为中心对称图形：据此 求解即可， 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意： B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意： D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意： 故选：B 3.黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为( ) A.3.2x10 B.3.2x106 c3.2x107 D.3.2x108 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×I0的形式，其中1≤4<10， n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了 多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数 32000000=3.2×107 【详解】解： 故选：C 4.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是() 第2页/共40页 命学科网命组卷网 正面 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体的堆砌图形的俯视图，对几何体的三种视图的空间想象能力是解答本题 的关键.根据俯视图的定义即可解答 【详解】解：俯视图从左到右三列，每一列的正方形个数分别是1,1,2. 故选：A 5_3 5.方程x+2x的解为() A.七=2 B.x=3 C.x=-3 D.x=1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零. 5_3 【详解】，x+2x, 去分母得， 5x=3(x+2) 5x=3x+6, 解得x=3, 检验：当x=3时，x(x+2)≠0 满足条件。 故方程的解为x=3. 故选：B, 第3页/共40页 6学科网6组卷网 6抛物线=(x-3+4 顶点坐标是() A.(3,4) B.（-3,4) c（-3,-4) D.(3,-4) 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式y=(r-h)+k 的顶点坐标 为 (伍，) 是解题关键。 根据二次函数的顶点式y=(r-h)?+k 的顶点坐标为 (h,k) 直接读取函数中的h和k 值. 【详解】，·抛物线为 2-3+4.与顶点式y=x-+k对比。 得h=3,k=4. 顶点坐标为 (3,4) 故选：A. 7.如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9 个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要()个小正方形 第1个正方形第2个正方形 第3个正方形 A30 40 B. C 19 D.S6 【答案】C 【解析】 第4页/共40页 学科网命组卷网 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键.先观察 图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解. 【详解】解：拼第一个正方形需要4=(1+个小正方形： 拼第二个正方形需要9=(2+个小正方形： 拼第三个正方形需要16=(3+个小正方形： 按照这样的方法拼成的第n个正方形需要(+个小正方形， :第六个正方形需要(6+=49个小正方形. 故选：C. AD 8.如图，AB∥CD∥EF,若BC=5,CE=8,则DF() 3 5 A.2 B.3 C 2 D.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键 AD BC 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段DFCE，注意线段的对应性. 【详解】解：，AB∥CD∥EF, 第5页/共40页 6学科网命组卷网 AD BC .DF CE BC=5,CE=8. BC5 .CE8, AD 5 .DF 8. 故选：D. 9.如图，△ABC中，AB=AC=10,点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 4B,1C于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于MN的长的一半为辛径画弧，两弧交于点D, MN 画射线AD交BC于点E,连接EF,则EF的长是() A.5 B.5V2 C.8 D.5V5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键.由作图可得AD平分∠BAC,由 EF=1AB AB=AC得AE⊥BC,再由点F为AB的中点得 2 ,进而即可得解. 第6页/共40页 学科网 命组卷网 【详解】解：由作图知，AD平分∠BAC, ,AB=AC=10」 AE⊥BC, ,点F为AB的中点， EF=1AB=5 2 故选：A. 10.如图，在口ABCD中，∠A=30°，AB=6,AD=3.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速 度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一 △BPQ 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设 的面积为，运动时间为秒，则下列图象中 大致反映y与x之间函数关系的是() 1 B 第7页/共40页 6学科网组卷网 V 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一 次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键， 分点P在4D上和点P在DC △BPQ,. 上两个阶段，分别求出之的面积与运动时间'的函数关系式，再根据 函数关系式判断图象。 【详解】解：当点P在AD上时(0≤x≤1)： 过点P作PE⊥AB于点E, D A OE B .AP=3x∠A=30° PE=1AP=3x 2 2 又”40=2x4B=6 ∴.QB=AB-AQ=6-2x y=PE=6-2= 9 x2+ 2 第8页/共40页 6学科网6组卷网 3 这是一个二次函数，开口向下，顶点在2处，但此阶段x≤1，函数在0≤x≤1上图象不断上升，当 3.9 x=1时，少s +2=3 22. 当点P在DC上时(1<x≤3)， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.DC=AB=6上PADm3÷3=1 ,点从到用时 秒， :.此时P在DC上的运动距离为3(x-),DC方向上的高与AB上的高相同，即 E=3 2(当x=1时 PE=3 ,后续P在DC上时，到AB的距离不变)· OB=6-2x 1 33.9 ∴.y=-·QB-=-（6-2x)。=22./ 一=一 -x+ 22 这是一个一次函数，'随的增大而减小，当=3时，y=0 综上，当0≤x≤1时，y是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当1<x≤3时，y是一次函数， 图象不断下降. 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 2 1.在函数)x一7中，自变量x的取值范国是 第9页/共40页 6学科网 命组卷网 【答案】x≠7 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得x一7+0， 即可求解. 【详解】解：根据题意，得x-7≠0， 解得x≠7， 故答案为：x≠7。 12.把多项式 3m2-12 分解因式的结果是 【答案】 3(m+2)(m-2) 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式. 【详解】解： 3m2-12 =3(m2-4） =3(m+2)(m-2) 故答案为： 3(m+2)(m-2) 13.桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克 牌的花色是红桃的概率是 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所 有可能的结果数。 第10页/共40页 命学科网 组卷网 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取1张，共有7种等可能结果， 其中抽到红桃的有5种结果， 5 ∴.抽取红桃的概率为7. 5 故答案为：7. [2x+1>5 14.不等式组x-4<3的解集是 【答案】2<x<7 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个 解集的公共部分即可. 【详解】解：解不等式2x+1>5,得x>2: 解不等式x-4<3,得x<7. 所以不等式组的解集是2<x<7, 故答案为：2<x<7」 7 πcm 15.一个扇形的弧长是6，半径是3cm,则此扇形的圆心角是一 【答案】70°拼70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键， 利用弧长公式列方程求解即可. 第11页/共40页 命学科网 命组卷网 【详解】解：设扇形的圆心角为n°。 n π= 、πX3 由题意得：6 18 解得：n=70 故答案为：70° 16.某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与所受阻力F(单位：N) 是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P=W, ◆v/m/s) 2 10 FN 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数 的解析式即可. V= 【详解】解：设功率为P,由题可知P=Fv,即F, 将F=10N,v=2m/s代入解得P=20, 故答案为：20 17.定义新运算：ab=2ah-仔，则3m)8(2m）的运算结果是 【答案】 8n2 【解析】 第12页/供40页 6学科网 命组卷网 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算：将a=3n和 b=2m代入公式a图b=2ab-h 进行计算. 【详解】解：由题意得，(3m)®(2m）=2×(3m）×(2m）-(2m=2×3m×2n-4n2=12n2-4n2=8n2: 故答案为 8n2 18在△MBC中，∠A=80°，点D在射线AB上，AD=AC,连接CD,∠BCD=10,则∠ABC= 度、 【答案】40或60 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键。 根据题意分两种情况，当点D在射线AB上时，当点D在线段AB上时，作出图形，然后根据等腰三角形 的性质得出∠ACD=∠ADC=50°，再由三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：当点D在射线AB上时，如图所示： B :AD=AC,∠A=80° ∴.∠ACD=∠ADC=50° ,点D在射线AB上，且在点B之外， .∠ACD=∠ACB+∠BCD,即50°=∠ACB+1O°， .∠ACB=40°， 第13页/共40页 6学科网列组卷网 .∠ABC=180°-80°-40°=60°： 当点D在线段AB上时，如图所示： AD=AC,∠A=80°， .∠ACD=∠ADC=50°， ,点D在线段AB上，且在点B之内， .∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°， :∠MBC=180°-80°-60°=400 B 故答案为：40或60. 19抛物线y=r-2x+C与y轴交于点C(0,-3列，与x轴交于点A,B,则线段AB长是， 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点，根据抛物线与'轴的一个交点是点C(0,-3), 求出C的值，再求出抛物线与x轴的交点坐标，从而计算线段AB的长度， 【详解】解：~抛物线y=x-2x+c与y轴交于点C(0,-3), 把点C(0,-3)的坐标代入y=r-2x+e, y=C=-3 可得： 六抛物线解析式为y=-2x-3 第14页/共40页 6学科网命组卷网 令y=0 x2-2x-3=0 可得方程： 因式分解得：(x-3(x+1)=0 解得： X=3x2=-1 ·抛物线与X轴交于点 A(-1,0)和B(3,0) 点A和点B均在x轴上， ·线段AB的长度为3-(-)=4 故答案为：4 20.如图，口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作BD的垂线，分别交BC,AD于点M, ,延长DC交直线NT方E,延KBM交直线N丁方P,分别楼接DF,BE MN F ,有如下结论：① OA=OC,OB=OD,@四边形BBDF是菱形，③若FA=FN=L,AB=3.则OD=V39,④若 FA=L,B=3.∠ABE=60,点P为EF上的一个动点，则P4+PB的最小值是V2I.上述结论中， 所有正确结论的序号是 ①②④ 【答案】 【解析】 【分析】①由平行四边形的性质可判断结论： 第15页/供40页 6学科网命组卷网 ②从对角线的角度来判断四边形的形状： ③假定条件成立，求出OD的值与所给不符： ④由点B与D关于EF成轴对称，从而得到PA+PB的最小值是AD=V2I 【详解】①：四边形ABCD是平行四边形， :..OA=OC,OB=OD; 即结论①正确： ②，口ABCD中AFI∥ICE,AB=CD .∠FAO=∠ECO」 .∠AOF=∠COE,AO=C0, :△AOF≌aCOE .AF=CE 4F+AB=CE+CD .BF=DE. .BFIIDE. ∴四边形BFDE是平行四边形， :EF⊥BD .BEDF是菱形： 即结论②正确： ③.FA=FN=1,AB=3, .BF=4,∠FAN=∠FNA. 第16页/共40页 6学科网组卷网 ABl/CD .∠FAD=∠ADE, .∠FNA=∠DNE, .∠ADE=∠DNE, 即NE=DE=CD+CE=3+1=4. FN=1, .FE=FN+EN=1+4=5, 22, .DF=BF=4,EF⊥BD OD=DF2-OF2= & V39 2’ 即结论③错误. ④因为B点关于EF的对称点是点D,连接AD交EF于点N,当点P与N重合时，PA+PB的值最小 即为AD的长. ,菱形BEDF中∠ABE=60°」 .∠ABD=30°， EF⊥BD, .∠BOF=90°. 0F=B+4)=6+=-2 第17页/共40页 6学科网命组卷网 在△BOF和△OAF中， AF FO 1 FO AB 2 ∠BFO=∠OFA' △BOF∽△OAF, .∠OAF=∠BOF=90°， AB//CD. .∠ACD=180°-∠OAF=90° ..04=VOF2-AF2=22-12=3 :AC=20A=2V3 ,ABCD中CD=AB=3. :.4D=VAC2+CD=23}+32=2 即结论④正确. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、判定、勾股定理及轴对称的性质，关键是知识的灵 活应用。 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 1 3 a 21.先化简，再求代数式(a-3a2-6a+9'a-3的值，其中a=2sin60°+3tan45°. 1 【答案】a-3,3 【解析】 第18页/共40页 命学科网命组卷网 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的 三角函数值是解题的关键， 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出a的值，最后代入化简后的式子求值. 1 3 a 【详解】解： a-3a2-6a+9 a-3 a a-3 (a-3)2 a 1 a-3. 当a=2m6043o45-2x5+3=3+5 V3 原式=3. 22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个 顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图. CD 1 (1)在方格纸中，画出△ACD(点D在格点上)，满足AC2,且△ACD的面积是5： (2)在△ABC的边BA上画出点E,使线段BE的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程）， 连接ED,并直接写出tan∠EDA的值. 第19页/共40页 6学科网命组卷网 【答案】(1) 解：△ACD如图所示： M E (2) B ! D 解：点E如图所示： B D 6 tan∠EDA= 【解析】 【分析】(1)作AD=5,AD边上的高为2，CD=VP+2=V5,AC=V4+2=25,则 CD 1 AC 2; (2)取格点M和W,使AM=2,BN=3,连接MN交边BA于点E,利用相似三角形的判定和性质 3 BE=二AB=3 6 EF= 求得 5 :作EF⊥AD,证明△AEF△ABN,求得 5, 第20页/共40页 命学科网组卷网 17 FD=FN+ND= 5,再利用正切函数的定义求解即可. 【详解】 【小问1】略 【小问2】解：如图所示： M B D 作EF⊥AD,则EF∥BN, :.△AEF∽△ABN, EF AF AE EF AF 5-3 .BN AN AB,即345， :AF=8 5, :N=4-A=12 , :FD=FN+ND-17 , 6 tan∠EDA= EF 5 6 FD-17-17· 5 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理.解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题. 23.跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生 第21页/共40页 6学科网组卷网 60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统 计图. A组学生跳绳次数（单位：次）如下：6570 73808595969698 组别 次数x(单位：次) 频数 A组 60≤x<100 9 B组 100≤x<140 m C组 140≤x<180 12 D组 180≤x<220 3 D组 C组 A组 20% B组 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是一，m的值是一： (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x<140范围的学生有多少名. 【答案】(1)60(2)85,36 (3)900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是 解题的关键： (1)由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为20%，然后问题可求解： (2)根据中位数的定义可进行求解； (3)由(1)(2)及题意可进行求解. 【小问1详解】 第22页/供40页 6学科网 命组卷网 解：由题意得：12÷20%=60（名）， 答：一共抽取60名学生. 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数 是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， m=60-9-12-3=36 故答案为85,36. 【小问3详解】 36 1500× =900 解：由题意得： 60 (名). 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在100≤x<140范围的学生有900名. 24.已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF,连接AF,BF, D B 5 图① 图② (1)如图①，求证：△ADF2aBCF: (2)如图②，过点C作CE⊥CF,交AF的延长线于点E,CM平分∠BCE,交AE于点M,连接 于点，连接BD交CFG BM AE BC N 交 于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四 条与线段BF相等的线段（线段AF,BF除外）， 【答案】(1) 证明：四边形 ABCD是正方形， 第23页/共40页 6学科网命组卷网 .AD=BC,∠ADC=∠BCD=90° :△CDF是等边三角形， .DF=CF,∠FDC=∠FCD=60° .∠ADF=∠BCF=30°， :△MDF≌aBCF(SMS). (2)BM,EM,BG.FN 【解析】 【分析】(I)由四边形ABCD是正方形，得AD=BC,由△CDF是等边三角形，得DF=CF ∠FDC=∠FCD=60°∠ADF=∠BCF=30° ,得 ，进而即可得证： (2)先由等边三角形的性质，三角形的内角和及等角对等边证得BF=FV,BG=BF,再由 CE⊥CFCM_∠BCE.△BCM≌AECM 平分 证得 ,得出BM=EM,∠CMB=∠CME ∠BMF=∠BFM,证得BF=BM,进而即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与线段BF相等的线段有BM,EM,BG,FN,理由如下， .△CDF为等边三角形， .∠FCD=60°=∠DFC=∠FDC,CF=CD=CB=DF=DA. .∠ADF=∠BCF=90°-60°=30°. 第24页/共40页 6学科网6组卷网 ∠DAF=∠DFA=∠CFB=∠CBF=180°-30°」 =75° .∠CFE=180°-∠AFD-DFC=180°-75°-60°=45°，∠FAB=∠FBA=90°-75°=15°. .∠ANB=90°-15°=75°=∠CNM=∠CBF,∠MFB=15°+15°=30°， .BF FN, :四边形ABCD是正方形，BD为对角线， .∠CDB=45°， :.∠CGD=∠FGB=180°-45°-60°=75°=∠GFB. .BG=BF, CE⊥CF, .∠FCE=90°， .∠BCE=∠FCE-∠BCF=90°-30°=60°， ∠E=180°-∠FCE-∠CFE=180°-90°-45°=45°=∠CFE .CF=CE. .CM平分∠BCE, .∠BCM=∠ECM=30°， .∠CMW=180°-75°-30°=75°， ..CM=CM, 第25页/供40页 6学科网命组卷网 △BCM≌△ECM(SAS) ∴.BM=EM,∠CMB=∠CME=180°-45°-30°=105°， .∠BMF=105°-75°=30°=∠BFM, .BF=BM. .BF=BM=BG=FN=EM 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，内角和，等边三角 形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键。 25.为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64 元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元： (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元： (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买 多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系， 正确列出二元一次方程组：②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式. (1)设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙 型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组， 解方程组即可： (2)设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯(50-m）盏，根据购买资金不超过360元。 列出一元一次不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、'元， 由题意，得 第26页/共40页 6学科网命组卷网 4x+5y=64 6x+2y=52, [x=6 解得y=8, 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元. 【小问2详解】 解：设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯50-m）盖， 由题意，得 6m+8(50-m)≤360 解得，m≥20. 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯. △ABC，,⊙O 、O△ABC CD,⊙O 26.已知： 内接于，圆心在 的内部， 为的直径，连接BD ∠BCD+2∠ABD=90° D D D B G 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：AB=AC: (2)如图2，过点4作O 的切线，交B BD的延长线于点P,求证： BC=2PA (3)如图③，在(2)的条件下，PD=3BD,连接DA并延长至点E,连接OE交AC于点M, 第27页/共40页 命学科网组卷网 OE=AB,G为BC上一点，DG=AD,连接CG,点N在CG上，连接ON,∠EON=2∠EDC, CN=7,点F为AC的中点，连接EF,AF,求△AEF的面积。 【答案】(1) .CD,⊙O 证明： 的直径， ∴.∠CBD=90° 设∠ABD=a. ∴.∠ABC=90°-a ∠ACD=∠ABD=C :∠BCD+2∠ABD=90° ∴.∠BCD=90°-2C ∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD =90°-a ∴.∠ABC=∠ACB ∴.AB=AC (2) 证明：连接OA,OB,并延长AO交BC于点R. AB=AC OB=OC .AO BC 垂直平分 ∴.∠ARB=90°BR=CR 第28页/共40页 6学科网 命组卷网 AP⊙O 是 的切线， ∴.∠PAR=90° .CD⊙O 是 的直径， ∴.∠CBD=90° 四边形PARB是矩形， .PA=BR=CR ∴.BC=2PA (3)495 【解析】 【分析】(1)通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等： (2)利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系： (3)先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接OF,OA,并延长AO交BC于点R, :F为AC的中点， .OF⊥AC, CD是o0 的直径， ∴.∠DAC=90° 第29页/共40页 学科网丽组卷网 .OFI‖AD ∴.∠COF=∠EDC .∠AOC=2∠EDC :∠EON=2∠EDC ∴.∠AOC=∠EON .∠AOM=∠CON. 0A=OC, ∴.∠ACO=∠OAC DG=DA ∴.∠ACO=∠DCN ∴.∠ACO=∠OCN=∠OAC :△AOM≌ACON ∴.AM=CN=7 PD=3BD 设BD=x,则PD=3x. 四边形PARB是矩形， .AR=PB=4x OC =OD 第30页/共40页 6学科网命组卷网 .OR= 2, 01=0c- 2, :.CD=7x:BC=CD-BD2=(7x)-x=43x, AP-BC-2x 2 .AD=√AP2+DP2=V21x,AB=VAP2+BP2=2√7x, OE=AB. .0E=2W7x 过点O作OH⊥AD于点H, :.DH-AH=1AD-2 x 2 2 :.OH=VOD2-DH=√7x. ∴.sin∠DEO= OH 1 0E-2, ∴.∠DE0=30° ∴.EH=V3OHAE=7N3 :2x+7N5=2ix 2 .OF∥AD 第31页/供40页 命学科网命组卷网 SAAEF =SAOAE 4B-0H 2 1 =2×7N5x14 =49√3 B G 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三 角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题. 27.已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与y轴交于点A,与x轴交于点B,点A的坐 标为0,7)，点的坐标为4,0 D D G C B O5℃ R 图① 图② (1)求直线AB的解析式： (2)如图①，C为x轴正半轴上一点，CD⊥AB于点D,点D在线段AB上（点D不与点A重合），连 接AC,设点C的横坐标为m,CD的长为d,求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范 第32页/共40页 命学科网命组卷网 围)； (3)如图②，在(2)的条件下，点D横坐标为-3m,在第一象限内作直角三角形AEC,∠AEC=90°， ∠0CE=135”,点F在精上，设点F的横坐标为a2<n<利，点5在OC上.Q5=名0 2 n2+2n 63", 在第四象限内作SR⊥OC, SR=n 2,连接OR,RG⊥OR,交x轴于点G,连接EF并延长交GR于 点P, PG+OR-5PR 3,求点P的坐标. 4 y= x+7 【答案】(1)直线AB的解析式为3 d=4m121 m+ (2)d与m的函数解析式为” 5 5 (3)点P的坐标为 4 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据勾股定理，可得AB,根据三角形的面积公式，即可得d与m的函数解析式： 3)作DT上销于点了，由勾股定理可得m=,可得OC=1,作1y箱于点'，作阴1轴于 点H,四边形OHE是矩形，△4E和△CHE为等腰直角三角形，可得E(4,3), am∠ROS=tan∠BFH,可得∠ROS=∠BFH,作RNEP,交轴T点N,可得RN=RO, 由线 第33页/共40页 6学科网6组卷网 段之间的关系，结合锐角三角函数可得GP一1+n PR-7-n NF-n FG-u(m-1) 3 6(4-n),由 SR=3 OS=1 PR_7-3=1 RP:PG=NF:FG,可得n=3,可得2， 2,OG=5,GP1+3,可得点R和点 的坐标，从而可得点的坐标 【小问1详解】 解：设直线AB的解析式为 =kx+b b=7 将7（0入-斗+=0： 4 k= 3 解得 b=7 4 ∴直线AB的解析式为=3 x+7 【小问2详解】 解：：A(0,7）, 1 ∴0A=7, OB=2 .1B=V0P+0B2=35 4, 点C的横坐标为m, 第34页/共40页 6学科网列组卷网 21 BC=m+ 4, CD⊥AB, m-(-×n CD-4m+21 5 5, d=4m21 ·d与m的函数解析式为d=3m+ 5 【小问3详解】 解：作DT⊥x轴于点T, :点D的横坐标为-3m,点C的横坐标为m,点D在线段AB上， :CT=m-(-3m)=4m.DT=-3m x4+7=7-4m 4m+(7-4m=1m+2 解得m=1, 点D的横坐标为-3，CT=4,DT=7-4=3, OT=3, .0C=4-3=1, 作E1y轴于点'，作BH1转于点H,则∠B0=∠BA=90,∠BH0=90°， 第35页/供40页 6学科网组卷网 又.∠10H=90°. ∴四边形IOHE是矩形， .IE=OH,EH=1IO.∠IEH=90° .∠0CE=135°， .∠ECH=180°-135°=45° .∠CEH=90°-45°=45°. :.∠HCE=∠HEC,∠IEC=90°-45°=45°， .HE =HC. .∠AEC=90°，∠IEC=45°， .∠AEI=45°， .∠EA1=90°-45°=45°. .∠EAI=∠AEI, .IE =IA. i设E(,%）,则HE=HC=%,E=A=, OA=7,OC=1. x0+y=7 .y%+1=x’ x,=4 解得=3， 第36页/共40页 6学科网6组卷网 :E(4,3) :点F在x轴上，点F的横坐标为n(2<n<4), .FH=4-n, :tan∠EH=3 4-n, :0w=。+号0,1oc.m=号 2 2, 2 .tan∠ROS= 2 3 1 2 n2+ n4-n 63 ∴.tan∠ROS=tan∠EFH, ∴.∠ROS=∠EFH, A D hl. B OS℃ G RN EP 交辅于点W,则∠ONR=∠0FP 又：∠OFP=∠EFH,∠ROS=∠EFH, .∠RON=∠RNO. .RN RO. 第37页/共40页 6学科网6组卷网 ,C为x轴正半轴上一点，SR⊥OC, .SW-SO--Im+2n 2 6 3",∠OSR=90°， ·RNHEP ..RP:PG=NF:FG. :RG⊥OR, .∠ORG=90°， .∠ROS=∠GRS. :tan∠GRs=tan∠Ros=,3 -n, .PG+OR->PR 3 :RG+OR-RP+PG+OR-RP+5PR-8PR 5 3 RG+OR 8 PR .RG 3 RG, OR3RG 8PR ..RG 1 8PR +1= ∴.tan∠ROG 3 RG, 4-n+1=8R .33RG, 第38页/共40页 6学科网6组卷网 RG PR .87-n, PR 7-n ..GP 1+n, SN=SO, r=0F-20=-2x名+号到 .2n2-n 3 :RS=tan∠GR=,3 SG 4-n, 5c=43s3”3初 4-n 4-n28-2n, FG=SG+0s-0F=g3”-n+21-n=a-少 8-2n63 6(4-n）: ：F:FG=n:a-_-n,4-m）24- 36(4-m3n(n-12-n-1, 2(4-n）_7-n ∴.n-11+n, 解得%=3.乃=-5 .2<n<4. .n=3, 第39页/供40页 6学科网命组卷网 .08 32+2x3=,0G=0F+FG=3 2 3x3-=5,PR=7-31, 6 3 2 6×(4-3)，GP=1+3 3别 G(5,0),点P是RG的中点， :造P的E得-别 SNE G 【点睛】本题考查一次函数综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性 质，比例的基本性质，平行线的性质，锐角三角函数，能够正确作出辅助线是解题关键. 第40页/共40页 哈尔滨市2025年初中升学考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形． A. B. C. D. 8. 如图，，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 10. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是_____． 13. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 14. 不等式组的解集是_____． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 16. 某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 17. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 18. 在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 19. 抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 20. 如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 23. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 24. 已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 25. 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． （1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； （2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 26. 已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； （3）如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $