2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．（3分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元 2．（3分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（3x）2＝9x2 B．5x•2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4 4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（3分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A．B． C． D． 6．（3分）如果关于x的分式方程2无解，那么实数m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1 7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．（3分）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为　 　 ． 12．（3分）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 13．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　 　 度． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　 　 ． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　 　 ． 16．（3分）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED，则△BEC的面积为　 　 ． 17．（3分）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　 　 ． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18．（10分）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 20．（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为　 　 度； （4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径． 22．（10分）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　 　 米，a＝ 　 　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 23．（12分）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是　 　 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是　 　 ； （2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形； （3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝　 　 ； （4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝3，AB，则DE′的最小值为　 　 ． 24．（14分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　 　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　 　 ． 2025年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B． D A C A C D B A B 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．（3分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入10元记作+10元，则支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若收入10元记作+10元，则支出10元记作﹣10元． 故选：B． 2．（3分）社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【解析】解：A、B、C中的标志不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意 D、此标志是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（3x）2＝9x2 B．5x•2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4 【解析】解：A．（3x）2＝9x2，此计算正确，符合题意； B．5x•2x＝10x2，此计算错误，不符合题意； C．x6÷x2＝x4，此计算错误，不符合题意； D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，此计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．（3分）将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解析】解：如图所示， 由题意，∠5＝90°﹣30°＝60°， ∵直尺的对边平行， ∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4， ∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠5＝70°， ∴∠2＝∠4＝70°， 故选：C． 5．（3分）为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．如图中飞机的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：如图中飞机的俯视图为选项A的图形． 故选：A． 6．（3分）如果关于x的分式方程2无解，那么实数m的值是（　　） A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1 【解析】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x）， 整理，得：（m+1）x＝2， 原方程无解， ∴①整式方程无解，则：m+1＝0，解得：m＝﹣1， ②分式方程有增根，则：x﹣1＝0，解得：x＝1， 把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1， 综上：m＝1或m＝﹣1， 故选：C． 7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果有1种， ∴2只雏鸟都是雄鸟的概率是， 故选：D． 8．（3分）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解析】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：45x+60y＝900， 整理得：x＝20y， ∵x、y均为正整数， ∴或或或， ∴租车方案有4种， 故选：B． 9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x（x＞0）．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：当点E在AB上时，如图， ∵∠A＝60°，l⊥AD， ∴∠AEF＝30°， ∴，， ∴， ∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图， ∵∠A＝60°，BH⊥AD， ∴∠ABH＝30°， ∴，， ∴y＝S△ABH+S矩形BEFH， ∴此时图象为直线一部分； 当点E在BC上且l与CD相交时，如图， ∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB+BC﹣x＝8﹣x， ∴， ∴， ∴， ∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选：A． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列结论： ①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的两根，且m＜n，则m＜﹣1，n＞2；⑤关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴当x＝0，则y＝c＜0． 又∵抛物线与x轴交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3， ∴1＜﹣1+x1＜2． ∴1． ∴对称轴是直线x0． ∴b＞0． ∴abc＞0，故①错误． 由图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0， 又∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c． ∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0． ∴2a+c＜0，故②正确． ∵1，且对称轴是直线x0， ∴1． ∵a＞0， ∴a＜﹣b＜2a． ∴2a+b＞0． ∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0． ∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③错误． 由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0）， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）． ∵当x＝0时，y＝c， ∴y＝﹣c与y＝c关于x轴对称． 如图所示， ∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c时，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，结合图象可得m＜﹣1，n＞2，故④正确． 由题意，∵yx+c过（0，c），（x1，0）， ∴可以作图如下． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围． ∴关于x的不等式ax2+bx+cx+c（a≠0）的解集是0＜x＜x1，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤共3个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11．（3分）中国年水资源总量约为27500亿m3，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将27500用科学记数法表示为　2.75×104　 ． 【解析】解：27500＝2.75×104． 故答案为：2.75×104． 12．（3分）若代数式（x﹣2025）0有意义，则实数x的取值范围是　x＞3且x≠2025　 ． 【解析】解：∵代数式（x﹣2025）0有意义， ∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0， ∴x＞3且x≠2025． 故答案为：x＞3且x≠2025． 13．（3分）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为　160　 度． 【解析】解：根据弧长的公式l得到： 80π， 解得n＝160度． 侧面展开图的圆心角为160度． 14．（3分）如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　．　 ． 【解析】解：设MN交AC于点O， 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴点O为AC的中点，∠CON＝90°． ∵点N为BC的中点， ∴ON为△ABC的中位线， ∴ON∥AB， ∴∠CAB＝∠CON＝90°． ∵BC＝2AB＝8， ∴AB＝4， ∴AC． 故答案为：． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　﹣6　 ． 【解析】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1， ∴点B的坐标为 （﹣1，0）， ∵点C坐标为（0，3）， ∴， 设点A坐标为（m，﹣m﹣1）， ∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16， ∵AC＝BC， ∴AC2＝BC2， ∴2m2+8m+16＝10， 解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m＝﹣3， ∴点A坐标为（﹣3，2）， ∴， 解得 k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 16．（3分）等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交AB于点D，交直线AC于点E，连接BE，若AE＝5，tan∠AED，则△BEC的面积为　或　 ． 【解析】解：如图， ∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合， ∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5， ∴∠ADE＝90°， ∵tan∠AED， 设AD＝3x，DE＝4x， ∴AE＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD＝BD＝3，DE＝4， ∴AB＝AC＝6， ∴CE＝1， ∴， ∴S△CBE； 如图， ∵将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合， ∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5， ∴∠ADE＝90°， ∵tan∠AED， 设AD＝3x，DE＝4x， ∴AE＝5x＝5， ∴x＝1， ∴AD＝BD＝3，DE＝4， ∴AB＝AC＝6， ∴CE＝11， ∴， ∴S△CBE； 综上所述△BEC的面积为或， 故答案为：或． 17．（3分）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以OA1为边作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，过点A，A1，A2作弧，记作第1条弧；以OA2为边作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以OA3为边作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，过点A2，A3，A4作弧，记作第2条弧⋯⋯按此规律，第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为　　 ． 【解析】解：根据题意可知：OA＝2， ， ， ， …， ， ∵点A，A1，A2作弧为第1条弧， 点A2，A3，A4作弧为第2条弧， …， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点为A4048， ∴， ∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…， ∴12次操作循环一周， ∵4048÷12＝337…4， ∴∠AOA4048＝120°， 过点A4048作A4048M⊥x轴于点M，如图所示： ∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°， ∴，， ∴， ∴第2025条弧上与原点O的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18．（10分）（1）计算：|1|+2sin45°； （2）分解因式：2x3﹣8x． 【解析】解：（1） ＝﹣5； （2）2x3﹣8x ＝2x（x2﹣4） ＝2x（x+2）（x﹣2）． 19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 【解析】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 20．（8分）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　24　 ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为　86.4　 度； （4）若该校有3000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【解析】解：（1）样本容量为：18÷36%＝50， 故m24， 故答案为：24； （2）篮球人数为：50﹣12﹣18﹣4＝16， 补全条形统计图如下： （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：360°×24%＝86.4°， 故答案为：86.4； （4）3000（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有960人． 21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径． 【解析】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠A+∠ABC＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵点B是AD的中点， ∴BD＝AB＝2OC． ∵OB＝OC， ∴OD＝OB+BD＝3OC， ∴， ∵BE⊥AD， ∴∠DBE＝90°， 又∵∠OCD＝90°， ∴． ∴DE＝3BE＝9， 在Rt△DBE中， ， ∴， 即⊙O半径为． 22．（10分）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）A，C两区相距 　240　 米，a＝ 　7.5　 ； （2）求线段EF所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【解析】解：（1）由图象可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距150+90＝240（米）， 机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5（分）， ∴a＝7.5． 故答案为：240，7.5． （2）机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9（分）， ∴E（9，0）， 机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷（15﹣9）＝15（米/分）， 则y＝15（x﹣9）＝15x﹣135， ∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝15x﹣135（9≤x≤15）． （3）当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得20x+10x+30＝240， 解得x＝7， 当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135＝30， 解得x＝11， 当12＜x≤15时，机器人甲的速度为90÷（15﹣12）＝30（米/分），则y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，当机器人甲、乙相距30米时，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30， 解得x＝13， ∴机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 23．（12分）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是　相等　 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是　相等　 ； （2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形； （3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，延长CE′至点G，使，连接GB，延长GB交DE的延长线于点F，连接AF，若AF＝2，则BF＝　　 ； （4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接DE′，若AD＝3，AB，则DE′的最小值为　　 ． 【解析】（1）解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD'， ∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAD'＝∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC， 又∵AB＝AC， ∴△DAB≌△D'AC（SAS）， ∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB； 故答案为：相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝90°，BC＝DC． ∵CE绕点C逆时针旋转90°得到CE′， ∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′． ∵∠DCB＝∠ECE′＝90°， ∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE 即∠DCE＝∠BCE′． ∴△BCE′≌△DCE（SAS）． ∴∠BE′C＝∠DEC＝90°． ∵∠CED+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝90°， ∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°． ∴四边形CEFE′是矩形． 又∵CE＝CE′， ∴四边形CEFE′是正方形； （3）解：∵CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE'， ∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴CD＝AB＝3， ∴， ∴， ∵∠DCB＝∠ECE'＝90°， ∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE'﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCE'， ∴△BCG∽△DCE， ∴∠BGC＝∠DEC＝90°， ∵∠CED+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝90°， ∴∠BGC＝∠ECG＝∠CEF＝90°， ∴四边形CEFG是矩形， 如图，连接AC，BD交于点O，连接OF， ∵O是AC，BD的中点， 在Rt△OBF中，， ∴， ∴A，F，B，C，D共圆， ∴∠AFC＝90°， ∵AD＝BC， ∴， ∴∠GFC＝∠ACD， 在Rt△ABC中，， ∴， ∵AF＝2， 在Rt△AFC中，， ∴， ∵， ∴∠BFC＝∠BAC， 又∵∠AFC＝∠G＝90°， ∴∠ACB＝∠FCG， ∴∠ACB﹣∠FBC＝∠FCG﹣∠FBC，即∠ACF＝∠BCG， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：如图，连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AO＝OB， ∵，， ∴AC＝BD， ∴AO＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形，则∠OAB＝60°， ∵线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE'， ∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°， ∴∠OAB＝∠EAE'＝60°， ∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB， 又∵OA＝BA，E'A＝EA， ∴△E'AO≌△EAB（SAS）， ∴∠AOE'＝∠ABE＝90°， ∴E'在OE'上运动，且E'O⊥AC， ∴当DE′⊥OE'时，DE'取得最小值， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOD＝120°， 又∵∠AOE'＝90°， ∴∠EOD＝30， ∴当DE'⊥OE'时，DE'BD， 故答案为：． 24．（14分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（6，0），与y轴交于点B，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S△PBC＝24时，求点P的坐标； （3）点G是第四象限内抛物线上的一点，连接BG，若∠CBG＝45°，则点G的坐标为　（11，﹣30）　 ； （4）如图2，作点B关于x轴的对称点D，过点D作x轴的平行线l，过点C作CE⊥l，垂足为点E，动点M，N分别从点O，E同时出发，动点M以每秒1个单位长度的速度沿射线OC方向匀速运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿射线ED方向匀速运动（当点N到达点D时，点M，N都停止运动），连接MN，过点D作MN的垂线，垂足为点F，连接CF，则CF的取值范围是　　 ． 【解析】解：（1）解：将A（﹣1，0），B（6，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+3， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点P作PQ∥BC交y轴于点Q，连接CQ，如图a所示， 则S△QBC＝S△PBC＝24， ∴， ∵点C（6，0），则CO＝6， ∴BQ＝8， 又∵B（0，3）， ∴点Q（0，﹣5）， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴直线BC的解析式为yx+3， ∵PQ∥BC， ∴直线PQ的表达式为yx﹣5， 联立yx﹣5与，可解得x＝﹣2或8， 故P1（﹣2，﹣4），P2（8，﹣9）． （3）将RT△CBO绕点C逆时针旋转90°得到RT△CRS，则△BCR为等腰直角三角形． 从而∠CBR＝45°，如图b所示： 又∵点G是第四象限内抛物线上的一点，∠CBG＝45°， ∴点G为BR延长线与抛物线的交点． 由旋转可知∠BOC＝∠RSC＝90°，BO＝RS＝3，OC＝SC＝6， 故点R坐标为（3，﹣6）， 由待定系数法可知直线BR的表达式为y＝﹣3x+3， 联立y＝﹣3x+3与，整理可得x2﹣11x＝0， 解得x＝11或0（舍去）， 故点G坐标为（11，﹣30）， 故答案为：（11，﹣30）． （4）由题意知四边形OCED为矩形，OD＝BO＝3，DE＝OC＝6． 连接OE，交MN于点G，如图c所示， 故OE， ∵OM∥EN， ∴△OMG∽△ENG， ∴，． 作GH⊥DE于点H，如图c所示， ∵GH∥OD， ∴△GHE∽△ODE， ∴， ∴GHOD＝2，HEDE＝4，DH＝6﹣4＝2， 故DG． 取DG中点J，连接FJ、CJ， ∵∠DFG＝90°， ∴根据斜边中线定理可得FJDG， 故CF≥CJ﹣FJ，当且仅当J、F、C共线时取等号． 易知点J坐标为（1，﹣2），C（6，0）， 故CJ，则CF≥CJ﹣FJ． 当点N与点D重合时，点F与点D重合，此时CF最大，即CF＝OE， 综上所述，CF的取值范围为，故答案为：． 声 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$