第二十一章 一元二次方程 单元训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·湖南郴州·中考真题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（23-24九年级上·福建厦门·期末）流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．1轮后有人患了流感 B．依题意可得方程 C．2轮后有个人患了流感 D．经过三轮一共会有1000人感染 4．（2023·河南·中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 6．（2012九年级·全国·专题练习）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023九年级上·全国·课后作业）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为(　　) A．25 B．36 C．25或36 D．－25或36 8．（2022八年级上·安徽合肥·期末）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y （ 其中）表示小矩形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023九年级·全国·课后作业）若用因式分解法解一元二次方程，首先将左端的式子用 公式分解为，然后转化为两个一元一次方程 ，从而求得方程的根为 ． 10．（2024九年级上·山西·期中）已知方程 3x2 18xm0的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m= . 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程在范围内有 个根； 12．（21-22九年级上·青海西宁·月考）菱形的两条对角线长分别是方程x2+48=14x的两个实数根，则菱形的面积为 ． 13．（2023·吉林·中考真题）若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m= ． 14．（22-23九年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 三、解答题 15．（22-23八年级上·全国·课后作业）解下列方程 （1）x2﹣2(+1)x+3+2=0； （2）(x+2)2﹣10(x+2)+25=0； （3）(2x﹣5)2﹣(x+4)2=0； （4）x2+2ax+a2=1． 16．（25-26九年级上·全国·期末）某直播间销售一款金甲战士玩具，进价为20元/个．大数据表明，当金甲战士玩具的售价定为30元/个时，每周可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，每周的销售量减少40个；反之，每降价1元，每周的销售量增加100个． (1)儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，该直播间决定在售价为30元/个的基础上降价销售，预计一周获利5600元，问每个玩具应降价多少元？ (2)大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为30元/个的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得5600元的周利润？若能，求每个玩具应涨价多少元；若不能，请说明理由． 17．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，已知墙的长度足够长，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 18．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 19．（25-26九年级上·广西南宁·月考）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；通过计算每个方程根的判别式，判断是否有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式： 选项A： ，无实数根． 选项B： ，无实数根． 选项C： ，有两个相等实数根． 选项D： ，有两个不相等实数根． 故选：D． 2．A 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 3．C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；设每轮传染中平均每人传染了人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为 100 ，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人， 第 2 轮又增加个人患流感， 2 轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得（舍去）． ∴每轮传染中平均每人传染了 9 人． ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件． 【详解】解：将代入方程，得， 解得，即， ∵二次项系数，即， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 7．C 【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为. 由题意，得，解得.∴ 这个两位数为或.故选C. 8．C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可知：，，进而可得出，，四个矩形的面积为，再根据完全平方公式即可得出． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴，，四个矩形的面积为， ∴ 故选项A，B，D正确， ∵， ∴， 故C错误， 故选：C 9． 平方差 或 ， 【分析】利用平方差公式对方程左边进行因式分解,再转化为一元一次方程求解即可. 【详解】解: 或     ， 故答案为: (1). 平方差    (2). 或    (3). ， 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解,掌握因式分解的平方差公式是解题的关键. 10． 5 15 【分析】根据根与系数的关系可求得两根的和及两根的积，又知一根为1，则根据根与系数的关系，可解得另一个根及m的值． 【详解】由一元二次方程3x2−18x+m=0的根与系数的关系， 得 又知 则 ∴ 故答案为(1). 5    (2). 15 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 11．1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先求得一元二次方程的两个根，再判断根是否在给定区间内，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即或， ∵， ∴在范围内的根为， ∴满足条件的根只有1个． 故答案为： 1． 12．24 【分析】先求出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果． 【详解】解：， 解得：，， 根据菱形面积为对角线乘积的一半，可得： 菱形的面积为：， 故答案为：24． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，菱形的面积的求法，理解题意，熟练掌握一元二次方程的求法及菱形的面积求法是解题关键． 13．3 【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2+6x+32=7+32， ∴（x+3）2=16 ∴m=3． 故答案为：3 14． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：因式分解得，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15．（1）x1=x2=+1；（2）x1=x2=3；（3）x1=，x2=9；（4）x1=1﹣a，x2=﹣1﹣a 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用直接开平方法解一元二次方即可． 【详解】（1）a=1，b=﹣2（+1），c=3+2， △=b2﹣4ac=0， ∴方程有两个相等的实数根， ∴=+1， ∴x1=x2=+1； （2）（x+2﹣5）2=0 （x﹣3）2=0， x﹣3=0， x1=x2=3； （3）（2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）=0 （3x﹣1）（x﹣9）=0 3x﹣1=0或x﹣9=0， x1=，x2=9； （4）（x+a）2=1 x+a=±1， x=±1﹣a， x1=1﹣a，x2=﹣1﹣a． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．(1)3元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设降价后每个玩具的售价为x元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程即可求解； （2）设每个玩具涨价m元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程，结合根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：设降价后每个玩具的售价为x元， 则每个利润为元，销售量为个． 由题意，得， 整理，得， 解得，， 为吸引客流，尽可能多地提高销量， ， 应降价元， 每个玩具应降价3元． （2）解：不能获得5600元的周利润，理由如下： 设每个玩具涨价m元． 根据题意，得， 整理，得， ， 方程无实数根． 涨价后不能获得5600元的周利润． 17．15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：已知这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为． 根据题意，得，解得， 故x的值为15 18．(1)从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为 (2)预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额 增长率 4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． 【详解】（1）解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； （2）， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 19．(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意求出提价后入住的房间数量，进而根据每个房间支出20元/天的维护费用求出总维护费用即可； （2）根据纯收入总收入－总维护费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $