圆的双切线模型及应用讲义-2026届高三数学一轮复习

1.1 圆的切线模型及相关算法 一. 常用结论 直线与圆相切的判定: 圆心到直接距离等于半径 . 二. 典例分析 下面我们将通过几个例子详细展示圆的切线模型在高考以及模考中的应用, 进一步体会相关结论的用途. 例 1.已知椭圆 的方程为 ,右焦点为 ,且离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设点 是椭圆 上的两点,直线 与曲线 相切. 证明: 三点共线的充要条件是 . 解析: (1) ,过程略. (2)由(1)可得,直线 与曲线 相切. 易知,若直线 斜率不存在,不合题意,当直线 斜率存在时,设 . 必要性证明: 若 三点共线,可设直线 为 ,即 . 由直线 与曲线 相切可得 ,解得 , 联立 可得 ,所以 , 所以 ,所以必要性成立. 充分性证明: 可设直线 为 ,即 . 由直线 与曲线 相切可得 ,所以 , 联立 可得 , 所以 , 所以 ,化简得 ,所以 , 所以 或 ,所以直线 或 ,所以直线 过 点 , , , 三点共线,充分性成立. 综上所述, 三点共线的充要条件是 . 下面我们看一道处理圆的双切线及相关同构算法. 例 2. 抛物线 ,圆 ,设 为圆 外一点,过 作圆 的两条切线,分别与曲线 相交于点 和 ,求证: 当 在定直线 上运动时,四点 的纵坐标乘积为定值的充要条件为 . 证明: 设 ,由 知过 所作圆 的切线的斜率 存在且非零,每条切线都与 有两个交点,设切线方程为 ,即 ,故 ,整理得 ① 那么,过 所作的两条切线 的斜率 是方程①的两个实根,故有 , ② 联立 得 ③ 设点 的纵坐标为 ,由③得 . 同理 ,于是得 若设 (其中 为常数),把②式代入整理得 欲使上式与 的取值无关,当且仅当常数 且 ,此时四点 的纵坐标乘积为定值 . 三. 习题演练 习题 ) 在直角坐标系 中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆 的一个焦点为圆 的圆心. (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 上一点,过 作两条斜率之积为 的直线 . 当直线 都与圆 相切时,求 的坐标. 参考答案 习题. 解析:(1)故椭圆 的方程为: . (2)设点 的坐标为 的斜分率分别为 . 则 的方程分别为: ,且 . 由 与圆 相 切,得 ,即 . 同理可得 . 从而 是方程: 的两个实根,于是 ① 且 . 由 得 . 解得 ,或 . 由 得 ; 由 得 ,它们满足①式,故点 的坐标为: (-2,3)或(-2, - 3)或 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的双切线模型及应用 例1. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 例2.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为 A． B． C． D． 例3.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 三．习题演练 习题1. 如图，设是抛物线：上的动点. 过点做圆 的两条切线，交直线：于两点. （1）求的圆心到抛物线 准线的距离. （2）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 习题2.在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆：的圆心. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线.当直线都与圆相切时，求的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$