椭圆与双曲线的重要几何性质讲义-2026届高三数学一轮复习

椭圆与双曲线的重要几何性质 本节的主要目标是梳理椭圆与双曲线中重要的几何性质: 焦点三角形和渐近线! 这两部分内容多以选填题的形式出现, 当然个别时候也会涉及到解答题, 由于知识点较多, 题目变化也很大, 知道结论就可以快速完成, 不知道的话可能小题大做, 所以, 这里我梳理了一些重要的结论供大家参考, 学习. 一. 重要结论 1. 椭圆焦点三角形主要结论: 椭圆定义可知: 中, (1) . (2)焦点三角形的周长为 . (3) . (4)焦点三角形的面积为: . (5) ,则当 时, . (6)设 ,则 . 当 ,即点 为短轴端点时, 最大. 证明: 因为 ,所以 (当 时取等号 ,由余弦定理知 所以当 时,即点 为椭圆短轴的端点时 最大. 2. 双曲线的焦点三角形 (1) . (2) 为双曲线 的两个焦点, 是双曲线上的动点,则 的面积 3. 圆 ,渐近线 ,准线 及圆 四者交于点 . 关于点 ,有如下的性质: (1)直线 垂直于渐近线 且 ,又 ,故 是双曲线的特征三角形; (2)直线 与圆 切于点 . 4. 圆 与渐近线 相交于点 ,设 与渐近线 相交于点 ,若 恰为 的中点,则有: (1) ; (2)圆 ,渐近线 ,准线 及圆 四者交于点 ; 点 与点 关于 轴对称; (3) , 是等边三角形. 5. 双曲线渐近线的使用方法 (1). 双曲线 的渐近线方程亦为 ,即 ,就是 ( 2 ). 双曲线 的渐近线方程亦为 ,故双曲线 的渐近线方程为 . 既然可以将双曲线的渐近线方程看做二次式, 那么就可以对它使用定比点差法, 特别是当我们遇到直线与双曲线的两只渐近线都相交的时候,比如下面的经典案例: 已知双曲线方程为 的右焦点为 ,过点 且与渐近线 垂直的直线分别交两条渐近线于 两点. 情形 1. 如下图. 若 . 设 ,则 坐标均满足 ①, ②. 又 . 则由 ,可得: . 给②式乘 再相减得: 故 . 由 情形 2. 如下图. 若 . 设 ,则 故得: 由于 二. 典例分析. 例 1. 设 分别是椭圆 的左、右焦点,过点 的直线交椭圆 于 两点, . (1)若 的周长为 16,求 ； (2)若 ,求椭圆 的离心率. 解析: (1) 由 得 . 因为 的周长为 16, 所以由椭圆定义可得 故 (2)设 ,则 且 , ,由椭圆定义可得: 在 中,由余弦定理可得: 即 化简可得 , 而 ,故 于是有 ,因此 ,可得 . 故 为等腰直角三角形. 从而 ,所以椭圆的离心率 . 例 2设双曲线 的左,右焦点分别为 , 离心率为 是 上一点,且 ,若 的面积为 4,则 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 解析: 由双曲线焦点三角形面积公式 易得: ,选 A. 类似于焦半径公式的推导, 在涉及椭圆上两点的距离时, 要注意利用椭圆方程实现消元的目标! 我们来看下一个例子. 例 3. 设 是椭圆 的上顶点,若 上的任意一 点 都满足 ,则 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解析: 设 ,由 ,因为 ,所以 因为 ,当 ,即 时, ,即 ,符合题 意,由 可得 ,即 ；当 ,即 时, ,即 ,化简得, ,显然该不等式不 成立. 故选: C. 例 4. 过双曲线 的右焦点做一条渐近线的垂线,垂足为 ,与双 曲线的另一条渐近线交于点 ,若 ,则此双曲线的离心率为_____ 解析: 满足重要结论 5 情形 1,即 ,故 ,则 例 5. 已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ,经过右焦点 且垂直于 的直线 分别交 于 两点,且 ,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 解析: 满足重要结论 5 情形 2,即 . 三. 习题演练 习题 1设 分别为双曲线 的左、右焦点,双曲线上存在一点 使得 ,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 3 习题 2 设 是双曲线 的两个焦点, 为坐标原点,点 在 上且 ,则 的面积为 A. B. 3 C. D. 2 习题 3. 已知双曲线 为坐标原点, 为 的右焦点, 过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ,若 为直角三角形,则 A. B. 3 C. D. 4 习题 4.设 是双曲线 的左,右焦点, 是坐标原点,过 作 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,若 ,则 的离心率为 A. B. 2 C. D. 习题 5. (2017 全国 3 卷) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 , 且以线段 为直径的圆与直线 相切,则 的离心率为 A. B. C. D. 参考答案 习题 1. 解析: 由双曲线的定义得 ,又 , 所以 ,即 , 因此 ,即 ,则 ,解得 ,则双曲线的离心率 . 习题 2. 解析: 由 ,得 ,选 B. 习题 3. 解析: 渐近线方程为 ,由于 为直角三角形,假设 , ,故 ,则 ,选 B. 习题 4. 解析: ,依题可得: ,在 中, 在 中, . 习题 5. 解析: 以线段 为直径的圆是 ,直线 与圆相切, 所以圆心到直线的距离 ,整理为 , 即 ,即 ,故选 A. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆与双曲线的重要几何性质 二．典例分析. 例1.设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点，. （1）若的周长为，求； （2）若，求椭圆的离心率． 例2.设双曲线C：的左，右焦点分别为， 离心率为，P是C上一点，且，若的面积为，则 A.1 B.2 C.4 D.8 例3.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三．习题演练 习题1设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 习题2.设是双曲线的两个焦点，为坐标 原点，点在上且，则的面积为 A. B.3 C. D.2 习题3.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则= A. B.3 C. D.4 习题4.设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为 A. B.2 C. D. 习题5.已知椭圆：的左、右顶点分别为，， 且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 A． B． C． D． 习题6.已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）如图，P是双曲线C上一点，两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$