专题01 三角形的综合题型（专项训练）数学鲁教五四制2024七年级上册

专题01三角形的三类综合题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的边 1 题型二、三角形的角 2 题型三、全等三角形 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的边 1.以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2.有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀 C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答． 【详解】由题图知在中，，， ∴小棒a的长度为． ∵小棒b的长度， ∴小棒a无论怎样剪，都不能和小棒b围成三角形，故选项A、C，不符合题意； 当小棒b剪成两根长度分别为1和5的小棒，小棒a的长度为3时． ∵， ∴不能围成三角形， 故选项B不符合题意； 当对小棒b正中间剪一刀时，两根长度分别为3和3的小棒，由三角形三边关系可知，此时3根小棒一定能围成三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 3.如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 4.如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，是的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 6.如图，在中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．由，则，由此得到，再由是边上的中线，得到． 【详解】解：，，， ， ， 是边上的中线， ， 故答案为：． 7.已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依据三角形中线的定义，即可得到，再根据的周长比的周长大6，即可得出与的差为6． 【详解】解：是的边上的中线， ， 的周长比的周长大6， ， 即， 故答案为：6． 8.定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 9.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】6或4 【详解】解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故答案为：6或4． 10.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 11.如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12.如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【答案】三角形的面积是45 ． 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 13.如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 14.如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)中线 (4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 题型二、三角形的角 1.在△ABC中，∠A是∠B的一半，∠C比∠B大30°，求△ABC三个内角的度数。 【详解】设∠A=x°，因为∠A是∠B的一半， 所以∠B=2x°， 又因为∠C比∠B大30°， 则∠C=(2x+30)°。 根据三角形内角和为180°，可得方程： x+2x+(2x+30)=180 5x+30=180 5x=150 x=30 所以∠A=30°，∠B=2×30=60°，∠C=60+30=90°。 2.在△ABC中，∠A是∠B的一半，∠C比∠B大30°，若BC=5，求AB的长（提示：结合直角三角形性质）。 【详解】由前面计算可知该三角形是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°， 在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半， BC是∠A所对的直角边，AB是斜边， 所以AB=2BC=10。 3.已知一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，判断这个三角形的形状。 解析：设三个内角分别为x°，x°，2x°。 根据三角形内角和180°，可得： x+x+2x=180 4x=180 x=45 则三个角分别为45°，45°，90°， 所以这个三角形是等腰直角三角形。 4.已知一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，若这个三角形的斜边为8，求它的面积。 【详解】由前面可知这是等腰直角三角形， 设直角边为a，根据勾股定理a²+a²=8²， 即2a²=64，a²=32， 三角形面积S=1/2×a×a=1/2×a²=16。 5.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠A，求∠A、∠B、∠C的度数。 【详解】因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°， 已知∠A+∠B=80°，所以∠C=180-80=100°。 又因为∠C=2∠A， 所以∠A=100÷2=50°。 则∠B=80-∠A=80-50=30°。 6.在△ABC中，∠A+∠B=135°，∠C=45°，若AB边上的高为3，求△ABC的面积。 【详解】因为CD是AB边上的高，所以∠CDA=∠CDB=90°。 已知∠C=45°，在△ACD里，∠ACD= 45°， 那么∠A=180°-∠CDA-∠ACD=45°， 所以△ACD是等腰直角三角形， AD=CD=3。 在△BCD中，∠BCD = ∠C -∠ACD = 45°， 则∠B = 180°-∠CDB-∠BCD=45°， 所以△BCD也是等腰直角三角形，BD=CD=3， 则AB=AD+BD=3+3=6， △ABC面积为×AB×CD==×6×3=9。 题型三、全等三角形 1.如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据所添加的条件进行逐一判断即可求解；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 又， 添加，则（），故选项A不符合题意； 添加，无法证明，故选项B符合题意； 添加，则（），故选项C不符合题意； 添加，则（），故选项D不符合题意； 故选：B． 2.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记并灵活应用全等三角形的判定定理三角形的解答本题的关键． 【详解】解：甲三角形的，边和所对的角分别与C中的边、角对应相等，无法构成两三角形全等所需的条件，故甲与不全等； 乙三角形的、边以及其夹角分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：乙与全等； 丙三角形的两角，边分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：丙与全等； 故选A． 3.如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 4.如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 6.在中，，，，，垂足分别为点，，交于点． (1)求证：≌； (2)若，，则的长________(用含a,b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质， 直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明: ∵, ∴，, ∴, 在和中, ， ∴； （2）∵, ∴, 又∵, ∴． 故答案为: ． 一、选择题 1、现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 2、已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由题意得到，即可得到答案 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得： ， ， 第三边长取到10， ， ， 能使得第三边长取到10的最小正整数是． 故选：C． 二、解答题 1、如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵的边上的高为，中线为，，， ∴， 的面积； （2）解：∵的面积， ∵， ∴． 2、在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 4、“经过已知角一边上的一点作“一个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可． 【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确； 结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确； 作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断． 5、【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）结论成立，证明见解析； （3）20． 【分析】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的盘点过以及性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）和都是等边三角形，，再证明为等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立． 证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得， ∴，． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． ∵的周长为60， ∴D． 由（2）可知，． 6、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ． (2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题； (3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形，等腰三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，即可． （1）根据题意，猜想，即可； （2）方法一：根据题意，则平分，则；根据，全等三角形的判定，则，则，；根据，，等量代换，则，根据等角对等边，则，即可；方法二，根据，则，根据题意，则，，等量代换；根据，全等三角形的判定，则，则；根据，即可； （3），在上截取，使得，连接，根据，则，根据三角形内角和，则，根据，根据等量代换，则，再根据三角形外角，，求得；根据全等三角形的判定，则，则，；根据，则，根据等角对等边，则，再根据，即可． 【详解】（1）； （2）证明，方法一： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：证明，如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），证明，如下： 在在截取，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7、在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． 【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______． 【探究应用】 （2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________； （3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由 （4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3），理由见解析；（4）以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出，和的长即可； （2）先证，由即可得出，进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ． （3）．理由如下： 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ． （4）由（2）可得，当时，四边形的面积； 由（3）可得，当时四边形的面积． 当时，如下图所示，四边形的面积 ； 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键． 8、图中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角顶点 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜边 AB 的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于点 G，GM⊥AB 于 M． （1）如图①，当 DF 经过点 C 时，作 CN⊥AB 于 N，求证：AM＝DN； （2）如图②，当 DF∥AC 时，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】根据题干可推知,本题主要考查了特殊三角形的判定及性质. (1)根据指教三角形斜边的中线的性质,先证出△BCD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°, 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD,所以可证出AM=DN; (2)根据全等三角形的判定定理及性质定理,先证△ADG≌△DBH,在此基础上再证△AGM≌△DHN,从而得出AM=DN. 【详解】(1)证明:∵∠ACB= 90°，D是AB的中点， ∴CD= AD= BD 又∵∠B=90°-∠A=60°, ∴△BCD是等边三角形, 又∵CN⊥DB， ∴DN=BD, ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形， ∴∠ADG= 30°,而∠A = 30°, ∴GA = GD, ∵GM⊥AB， ∴AM=AD; 又∵AD=DB， ∴AM = DN. 故AM = DN得证. (2) (1)的结论仍然成立，理由如下 ∵DF//AC, ∴∠1=∠A =30°,∠AGD=∠GDH =90°, ∴∠ADG = 60°. ∵∠B=60° ,AD= DB, ∴△ADG≌△DBH, ∴ AG= DH. 又∵∠1= ∠A, GM⊥AB , HN⊥AB, ∴△AMG≌△DNH， ∴ AM= DN. 故(1)的结论仍然成立. 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质,等边三角形的判定,等腰三角形底边三线合一的性质,全等三角形的判定和性质等知识.熟练掌握特殊三角形及全等三角形的性质与判定,是正确作答本题的关键. 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形的三类综合题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的边 1 题型二、三角形的角 2 题型三、全等三角形 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的边 1.以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀 C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀 3.如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 5.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.如图，在中，是边上的中线，点为边上一点，且，、交于点，且，，则的面积是 ． 7.已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 8.定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 9.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为 ． 10.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 11.如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 12.如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 13.如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 14.如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 题型二、三角形的角 1.在△ABC中，∠A是∠B的一半，∠C比∠B大30°，求△ABC三个内角的度数。 2.在△ABC中，∠A是∠B的一半，∠C比∠B大30°，若BC=5，求AB的长（提示：结合直角三角形性质）。 3.已知一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，判断这个三角形的形状。 4.已知一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，若这个三角形的斜边为8，求它的面积。 5.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠A，求∠A、∠B、∠C的度数。 6.在△ABC中，∠A+∠B=135°，∠C=45°，若AB边上的高为3，求△ABC的面积。 题型三、全等三角形 1.如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 2.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 3.如图，在中，，，于，于，，，则的长是 ． 4.如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 6.在中，，，，，垂足分别为点，，交于点． (1)求证：≌； (2)若，，则的长________(用含a,b的代数式表示）． 一、选择题 1、现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、解答题 1、如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 2、在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 3、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 4、“经过已知角一边上的一点作“一个角等于已知角”的尺规作图过程如下： 已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C． 求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA． 作法：如图（2）， （1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E； （2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C； （3）作射线CC． 所以∠CCA就是所求作的角 此作图的依据中不含有（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线 5、【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 6、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ． (2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题； (3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 7、在中，，，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． 【特例体验】（1）如图1，若直线，，则线段的长为______． 【探究应用】 （2）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时，线段、和的数量关系是________； （3）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转时与线段相交，探究线段、和的数量关系并说明理由 （4）若，（a，b均为正数），请你直接写出以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 8、图中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角顶点 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜边 AB 的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于点 G，GM⊥AB 于 M． （1）如图①，当 DF 经过点 C 时，作 CN⊥AB 于 N，求证：AM＝DN； （2）如图②，当 DF∥AC 时，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$