1.1 探索勾股定理 第1课时 课件 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 知识关联 1.什么叫直角三角形? 2.直角三角形三个内角之间有什么关系? 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。 三个内角的和等于 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧！ 课堂引入 如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 【探究】勾股定理 【思考 交流】 1.在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流. 探究与应用 • 结论：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 【探究】勾股定理 【思考 交流】 2.如图1,直角三角形三边长的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?与同伴进行交流.图2中的直角三角形是否也具有这样的关系?你又是如何计算的呢? 图1 图2 探究与应用 • 归纳：四个直角三角形中,不论是等腰直角三角形,还是一般的直角三角形,都存在SA+SB=SC,即两直角边的平方和等于斜边的平方. 【探究】勾股定理 【思考 交流】 3.如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由. 探究与应用 • 同样成立,因为任意的直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 【探究】勾股定理 【概括新知】 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 探究与应用 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦. 因此,人们把上面的结论称为勾股定理. 【探究】勾股定理 【尝试•思考】回顾课堂引入中的问题： 如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 探究与应用 由勾股定理得, 需要钢索的长度==10 m. 【探究】勾股定理 【应用】 例　在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)若a=3,b=4,求c的值; (2)若a=5,c=13,求b的值; (3)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值. （1）∵a=3，b=4，∠C=90°，∴c===5； （2）∵a=5，c=13，∠C=90°，∴b===12； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=10， 设a=3x,则b=4x, ∵a2+b2=c2，即9x2+16x2=102， 解得x=2， ∴a=3x=6，b=4x=8． 探究与应用 【探究】勾股定理 变式 1.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都 是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B, C,D的面积的和是　　　 cm2.  2.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=8,c=b+4, 求b,c的值. 49 解：∵a=8，c=b+4，∠C=90°， ∴由勾股定理得，a2+b2=c2, 即82+b2=（b+4)2, 解得，b=6, ∴c=6+4=10. 探究与应用 【拓展提升】 如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形拼成的图形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1.设直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则a+b的值是　　　　 .  5 探究与应用 解：根据勾股定理可得a2+b2=13， 四个直角三角形的面积是：ab×4=13-1=12， 即：2ab=12 则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25． 所以a+b=5（负值舍去）． 知识技能巩固练 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9,AC=12,则AB的长为 (　　) A.13 B.15 C.17 D.18 B 12 2.下列说法中,正确的是 (　　) A.若a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2 B.若a,b,c是直角三角形的三边长,则a2+b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,且∠C=90°,则a2+b2=c2 C 13 3.　　　 　 如图1-1-1所示,在边长均为1的小正方形组成的网格中,A,B都是格点,则线段AB的长是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.9 A 图1-1-1 14 4.(教材随堂练习T1变式)如图1-1-2,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为 (　　) A.14 B.22 C.20 D.24 D 图1-1-2 15 5.在△ABC中,∠C=90°,AB=3,则AB2+BC2+AC2的值为　　　　.  18 16 6.如果直角三角形的周长是24 cm,相邻两直角边长之比为3∶4,那么斜边长为　　　　cm.  10 17 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. (1)若c=1.5,b=1.2,求a的值; 解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得a2+b2=c2, 则a2=c2-b2=1.52-1.22=0.81, 所以a=0.9. 18 (2)若a=5,b=12,求c的值. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得a2+b2=c2, 则c2=a2+b2=52+122=132, 所以c=13. 19 8.如图1-1-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=6, AB=10,求AC和CD的长. 图1-1-3 解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10, 由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=102-62=64=82, 所以AC=8. 因为CD⊥AB, 所以S△ABC=AC·BC=AB·CD, 即8×6=10CD, 所以CD=4.8. 20 9.如图1-1-4,两个正方形的面积分别是64和49,则AC的长为 (　　) A.15 B.17 C.19 D.21 B 能力提升综合练 图1-1-4 21 10.如图1-1-5,在边长均为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点上,P为CD上任意一点,则PB2-PA2的值为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.12 D 图1-1-5 22 11.(教材习题1.1T6变式)已知等腰三角形的底边长为18 cm,腰长为15 cm,则底边上的高为　　　　cm.  12 23 12.　　 　 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.如图1-1-6所示的“垂美”四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,CD=4,则AD2+BC2的值为　　　　.  41 图1-1-6 24 13.(教材习题1.1T4变式)如图1-1-7是勾股树衍生图案,它由若干个正方形和直角三角形构成,S1,S2,S3,S4分别表示其所在正方形的面积,若已知正方形A,B的面积分别是64,9,则S1-S2+S3-S4的值为 　　　　.  55 图1-1-7 25 14.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则△ABC的周长为　　 　　.  32或42 26 15.如图1-1-8,某小区的中心广场附近有一块四边形空地ABCD,计划改建成一个小花圃,经测量,∠C=∠ADB=90°,BC=12 m,CD=9 m, AB=17 m.求: (1)BD和AD的长; 图1-1-8 解:(1)因为∠C=90°,BC=12 m,CD=9 m, 所以在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=122+92=225, 所以BD=15 m. 27 因为∠ADB=90°,BD=15 m,AB=17 m, 所以在Rt△ADB中,AD2=AB2-BD2=172-152=64, 所以AD=8 m. 图1-1-8 (2)四边形花圃ABCD的面积. 图1-1-8 (2)S四边形ABCD=AD·BD+BC·CD=×8×15+×12×9=114(m2). 故四边形花圃ABCD的面积是114 m2. 16.　　　 如图1-1-9是小明爸爸设置的锁屏手势密码,已知左右、上下两个相邻圆点圆心间的距离均为1,手指沿圆心A-B-C-D-E-A的顺序解锁.AE,BC交于点F.请利用你 所学的数学知识解决下列问题. 素养发展创新练 图1-1-9 30 (1)判断AE与BC的位置关系,并说明理由; 图1-1-9 解:(1)AE⊥BC.理由如下: 如图,连接AC. 由勾股定理,得BC2=AB2+AC2=22+12=5, AE2=AD2+DE2=22+12=5, 所以BC=AE. 在△ACB与△DEA中, 因为BC=AE,AC=DE,AB=DA, 所以△ACB≌△DEA(SSS), 所以∠ACB=∠DEA. 因为∠EAD+∠DEA=90°, 所以∠EAD+∠ACB=90°, 所以∠AFC=90°, 所以AE⊥BC. (2)求AF2的值. 图1-1-9 (2)由(1)得AE⊥BC, 所以AC·AB=BC·AF, 所以AF=, 所以AF2=()2=. $$