1.2 一定是直角三角形吗 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 知识关联 回答问题: 1.在直角三角形中,三边的长度之间有什么关系? 2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形吗? 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 让我们一起进入本节课的探索吧！ 【探究】直角三角形的判定 【思考•交流】 下面的每组数分别是一个三角形的三边长a,b,c,而且都满足a2+b2=c2: 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25; 9,40,41. 分别以每组数为三边长画出三角形,它们都是直角三角形吗?你是怎么 想的?与同伴进行交流. 探究与应用 这4组数画出的三角形,都是直角三角形. 【探究】直角三角形的判定 【概括新知】 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数. 探究与应用 【探究】直角三角形的判定 【应用】 例　一个零件的形状如图1-14所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示,这个零件符合要求吗? 探究与应用 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2, 所以△ABD是直角三角形,∠A是直角. 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求. 变式 如图,哪些三角形是直角三角形,哪些三角形不是直角三角形?说说你的理由. 探究与应用 图④和图⑤是直角三角形；这两个三角形的三边长满足两条直角边的平方和等于斜边的平方. 【拓展提升】 1.在△ABC中,BC=6,AC=5,BC边上的中线长为4,则S△ABC=　　　.  2.如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形. 探究与应用 12 解：∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ∴a2+b2+c2+338-10a-24b-26c=0 可化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13． ∵52+122=132， ∴△ABC是直角三角形． 知识技能巩固练 1.下列各组数中,不能作为直角三角形三边长的是 (　　) A.9,12,15 B.8,15,17 C.6,8,11 D.7,24,25 C 8 2.下列各组数是勾股数的是 (　　) A.13,14,15 B.4,5,6 C.0.3,0.4,0.5 D.9,40,41 D 9 3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且三边满足(c-a) (c+a)-b2=0,则下列结论正确的是 (　　) A.△ABC是直角三角形,且∠C为直角 B.△ABC是直角三角形,且∠B为直角 C.△ABC是直角三角形,且∠A为直角 D.△ABC不是直角三角形 A 10 4.李老师要做一个直角三角形教具,做好后量得三边长分别是 60 cm,80 cm和100 cm,则这个教具　　　(填“合格”或“不合格”).  合格 11 5.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,试判断分别满足下列条件时,△ABC是不是直角三角形,并说明理由. (1)a=8,b=13,c=11; 解:(1)不是直角三角形.理由: 因为a=8,b=13,c=11, 82+112≠132, 所以△ABC不是直角三角形. 12 (2)a=6.5,b=2.5,c=6; (2)是直角三角形.理由: 因为a=6.5,b=2.5,c=6, 2.52+62=6.52, 所以△ABC是直角三角形. (3)a∶b∶c=1∶2.5∶3. (3)不是直角三角形.理由: 因为a∶b∶c=1∶2.5∶3, 所以可设a=x,b=2.5x,c=3x(x>0). 因为a<b<c,a2+b2≠c2, 所以△ABC不是直角三角形. 6.如图1-2-1,在△ABC中,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求DC的长. 图1-2-1 解:因为AB=10,BD=6,AD=8, 所以AD2+BD2=82+62=100=AB2, 所以△ADB是直角三角形,且∠ADB=90°, 所以∠ADC=90°. 在Rt△ADC中, DC2=AC2-AD2=172-82=152, 所以DC=15. 15 7.如图1-2-2,有一块等腰三角形菜地ABC,其中AC=BC=13 m, AB=10 m,E为AB的中点.现需要开辟一块三角形空地AFE用于堆肥,已知AF=4 m,EF=3 m. (1)你能确定△AEF的形状吗?请说明理由; 图1-2-2 解:(1)△AEF是直角三角形.理由如下: 因为AB=10,E为AB的中点, 所以AE=BE=5. 16 因为AF=4,EF=3, 所以AF2+EF2=42+32=52=AE2, 所以△AEF是直角三角形. 图1-2-2 (2)计算阴影部分的面积. 图1-2-2 (2)连接CE. 因为AC=BC=13,AB=10,E为AB的中点, 所以CE⊥AB,AE=BE=5, 所以CE2=BC2-BE2=132-52=122, 所以CE=12, 所以S阴影=S△ABC-S△AEF=AB·CE-AF·EF=×10×12-×4×3= 60-6=54(m2). 8.若正整数a,b,c是一组勾股数,则下列各组数一定是勾股数的为 (　　) A.3a,4b,5c B.a2,b2,c2 C.3a,3b,3c D.a+3,b+3,c+3 C 能力提升综合练 19 9.如图1-2-3,边长均为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的度数为　　　　.  45° 图1-2-3 20 10.　　 　热点信息为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的决策部署,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,某校给八(1)班、八(2)班各分了一块三角形的劳动实践基地. (1)当班主任测量出八(1)班劳动实践基地的三边长分别为5 m, 12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块劳动实践基地的面积,他求出的面积为　　　　m2; 30 21 解:(1)因为52+122=132,所以三边长分别为5 m,12 m,13 m的三角形是直角三角形,其中两直角边的长分别是5 m,12 m, 所以此三角形的面积为×5×12=30(m2). 故答案为30. (2)八(2)班的劳动实践基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m, AC=13 m(如图1-2-4),请你帮助他们求出△ABC的面积. 图1-2-4 (2)如图,过点A作AH⊥BC于点H,设BH=x m,则CH=(14-x)m. 在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2, 在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2= 132-(14-x)2, 所以152-x2=132-(14-x)2, 解得x=9, 所以AH2=152-92=122,所以AH=12, 所以△ABC的面积=BC·AH=×14×12=84(m2). 11.　　　 勾股定理是一个基本的几何定理,早在《周髀》一书中就有“勾三、股四、弦五”的记载.如果一个直角三角形的三边长都是正整数,那么这样的直角三角形叫作“整数直角三角形”,这三个正整数叫作“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表: 素养发展创新练 25 m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22+12 32+12 32+22 42+32 … b 4 6 12 24 … c 22-12 32-12 32-22 42-32 … 其中m,n为正整数,且m>n. (1)观察表格,当m=2,n=1时,以此时对应的a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?说明你的理由; 解:(1)是.理由:当m=2,n=1时,a=5,b=4,c=3. 因为32+42=52,所以以此时对应的a,b,c为边长的三角形是直角三角形. (2)探究a,b,c与m,n之间的关系(用含m,n的代数式表示):a=　　　, b=　　　　,c=　　　　;  m2+n2 2mn m2-n2 m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22+12 32+12 32+22 42+32 … b 4 6 12 24 … c 22-12 32-12 32-22 42-32 … (3)以a,b,c为边长的三角形一定是直角三角形吗?请说明理由. (3)以a,b,c为边长的三角形一定是直角三角形. 理由如下:因为a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4, b2+c2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4, 所以a2=b2+c2, 所以以a,b,c为边长的三角形一定是直角三角形. $$