2025年河南省商丘市梁园区中考数学三模试卷

2025年河南省商丘市梁园区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的法经中已使用负数如果公元前年记作年，那么公元年应记作 A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图不是其三视图之一的是(    ) A. B. C. D. 3.石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.将等腰直角三角板按如图所示放置，其直角顶点落在直线上，另一个顶点落在直线上，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.下列问题适合全面调查的是(    ) A. 了解黄河的水质情况 B. 了解全省九年级学生的视力情况 C. 调查市场上某品牌电池的使用寿命 D. 神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查 7.定义运算：例如：则方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8.如图，电路图上有编号为共个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关或同时闭合开关都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为(    ) A. B. C. D. 9.如图所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的，两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图所示的液体温度与加热时间之间的对应关系下列说法正确的是(    ) A. ，两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低 B. 当加热时间为 时，的温度比的温度低 C. 当加热时间为 时，，的温度都低于 D. 当加热时间为 时，，的温度相等 10.在平面直角坐标系中，边长为的等边在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，依此类推，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.请写出一个分式，并写出使其有意义的条件______． 12.如图为关于的不等式组的解集在数轴上的表示，则的取值范围是______． 13.某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选棵，每个品种产量的平均数单位：千克及方差单位：千克如表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是______． 甲 乙 丙 丁 14.如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的______． 15.如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，求的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：； 化简：． 17.本小题分 年春晚的机器人秧歌表演将传统秧歌与现代科技完美结合，让古老的民俗文化在新时代焕发出新活力随着机器人技术的不断发展，其应用场景将更加广泛近期，百度推出了“文心一言”聊天机器人以下简称款，抖音推出了“豆包”聊天机器人以下简称款有关人员开展了、两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意下面给出了部分信息： 抽取的对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： ，，，，，； 抽取的对款聊天机器人的评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______，______，______； 根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测验中，有人对款聊天机器人进行评分，人对款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 18.本小题分 如图，已知． 尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法； 连接、，判断四边形的形状，并说明理由； 若，，，求的长． 19.本小题分 老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”如图，某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像含底座的高度，具体过程如下： 方案设计：如图，在老子铜像含底座的两侧地面上选取、两点，先测得，两点之间的距离，再在、两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角点、、在同一水平线上． 数据收集：通过实地测量，地面，之间的距离为，在点处测得铜像头顶的仰角为，在点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像含底座的高度结果精确到，参考数据：，，， 20.本小题分 某综合实践小组准备研究心率每分钟心跳次数与跳绳活动每分钟跳次左右持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比也叫相对心率来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系最大心率年龄该小组在九年级随机抽取了位男生年龄都是岁，测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如表： 跳绳持续时间单位：秒 平均相对心率 该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． 该小组请教体育和保健老师后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢，他们计算表中的值，画出散点图如图所示，发现是是常数的反比例函数，求与之间的函数表达式． 该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的，减脂运动合适的心率范围是最大心率的，有氧耐力运动锻炼心肺功能和无氧耐力运动的合适心率范围分别是最大心率的和，从健康角度考虑，相对心率不应超过根据这些信息，请你给学校设计一套男生跳绳持续时间的训练方案． 21.本小题分 如图，是圆的直径，、为圆上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交圆于点，连接、、． 求证：； 设交于点，若，，是弧的中点，求的值 22.本小题分 “急行跳远”是田径运动项目之一运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． 第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； 第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为，第二次训练落入沙坑点的水平距离为，请比较，的大小． 23.本小题分 在正方形中，是边上一点点不与点，重合，，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点． 如图，若点是的中点，猜想与的数量关系是______． 证明此猜想时，可取的中点，连接根据此图形易证≌． 则判断≌的依据是______． 点在边上运动． 如图，中的猜想是否仍然成立？请说明理由． 如图，连接，，若正方形的边长为，直接写出的周长的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：公元前年记作年， 公元前为“”， 公元后为“”， 公元年就是公元后年， 公元年应记作年． 故选：． 根据相反意义的量进行求解即可． 本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：从上面看，得到的图形是，从左面看，得到的图形是，从正面看，得到的图形是，故 C选项不是其三视图之一． 故选：． 从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是关键． 3.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.【答案】  【解析】解：与不是同类项，不能合并，故选项A错误； B.，故选项B正确； C.，故选项C错误； D.，故选项D错误． 故选：． 根据合并同类项法则判断；根据同底数幂的除法运算法则判断；根据积的乘方运算法则判断；根据平方差公式判断即可． 本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握平方差公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如图， 由题意得，， ，， ， ． 故选：． 利用平行线的性质和角的和差关系即可求解． 本题主要考查平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：、了解黄河的水质情况，适合抽样调查，故A不符合题意； B、了解全省九年级学生的视力情况，适合抽样调查，故B不符合题意； C、调查市场上某品牌电池的使用寿命，适合抽样调查，故C不符合题意； D、神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，故D符合题意； 故选：． 根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由新定义得， 即， ， 方程无实数根． 故选：． 利用新定义得到，然后可根据判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：列表如下：           共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，共种， 小灯泡发光的概率为． 故选：． 列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：观察图可得：，两种液体的温度均随着加热时间的增加而增大，故A错误，不符合题意； 当加热时间为 时，的温度比的温度高，故B错误，不符合题意； 当加热时间为 时，的温度比的温度低，故C正确，符合题意； 当加热时间为时，的温度比的温度高，故D错误，不符合题意； 故选：． 观察液体温度与加热时间的关系图逐项判断即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． 10.【答案】  【解析】解：边长为的等边三角形在第二象限， ， 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ， 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ， 再将绕点顺时针旋转，得到， 此时点在轴的负半轴上， ， 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点在轴的正半轴上， ， 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于的整数的坐标以，，为规律循环， ， 与的坐标相同， 则点的坐标是， 应选：． 利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，找出规律是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握分式有意义的条件：对于任意一个分式，分母都不能为，否则分式无意义．任意写出一个分式，保证分母不为即此分式有意义． 【解答】 解：如，保证分母不为即可． 12.【答案】  【解析】解：由得：， 由得：， 由数轴知，该不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集求解可得答案． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13.【答案】乙  【解析】解：因为乙品种的火龙果树、丙品种的火龙果树的产量的平均数大， 乙品种的火龙果树和丙品种的火龙果树产量较好， 而乙品种的火龙果树产量的方差比丙品种的火龙果树产量的方差小， 所以乙品种的火龙果树的产量比较稳定， 所以乙品种的火龙果树的产量既高又稳正． 故答案为：乙． 先比较平均数得到乙品种的火龙果树和丙品种的火龙果树产量较好，然后比较方差得到乙品种的火龙果树的状态稳定，从而求解． 本题考查了平均数和方差的理解和运用，通过给出的数据，要求选出一个既高又稳定的品种，就需要比较各品种的产量平均数和方差，以确定最佳选择． 14.【答案】  【解析】解：过点作于点，连接，如图， 半圆与相切于点， ， ， ，， ， 和都为等腰直角三角形， ，， 阴影部分的面积． 故答案为：． 过点作于点，连接，如图，先根据切线的性质得到，再判断和都为等腰直角三角形，所以，，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积计算即可． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰直角三角形的性质． 15.【答案】  【解析】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接， 连接交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于，首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小，求出、的长即可得到答案． 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 16.【答案】； ．  【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答； 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 本题考查了分式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】      【解析】由题意得：款“满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ； “满意”的数据：，，，，，； 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是、， ， 在款的评分数据中，出现的次数最多， ； 故答案为：，，； 款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱理由不唯一； 人 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有人． 用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； 通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； 由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 18.【答案】如图，射线、直线即为所求． 四边形是菱形． 理由：直线是线段的垂直平分线， ，， ，， 平分， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形是菱形， ，， ， 即， 解得．  【解析】根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． 由线段垂直平分线的性质可得，，则，，由角平分线的定义可得，则，，可得，，则四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是菱形． 由菱形的性质可得，，则可得，即，进而可得答案． 本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】解：连接交于点，则， 由题意得：四边形为矩形， ，，，， 在中，， 在中，， ， ， 即， ， 解得，， ． 答：老子铜像含底座的高度约为．  【解析】连接交于点，则，根据题意可得：四边形为矩形，从而可得，，，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20.【答案】解：由表可知，自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数． 设， 分别把，代入，得， ， 解得：， ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动；连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动．从健康角度考虑，连续跳绳时间不超过分钟，即连续跳绳分钟后需要停下休息．  【解析】根据表格数据对三类函数逐项分析判断即可； 根据题意先设函数关系式为设，再利用待定系数法求出函数解析式即可； 先确定全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，再提出建议即可． 本题考查了反比例函数的应用，读懂题意熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 21.【答案】见解析；   ．  【解析】证明：如图，连接， 因为是的直径， 所以，即， 又， 所以垂直平分， 所以； 解：如图，连接， 由条件可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 是弧的中点，是的直径， ， ， 是弧的中点， ， ∽， ， ． 连接，利用垂直平分，可得； 连接，利用三角函数求出，再结合∽，可计算出． 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键在于做辅助线，利用角相等证明相似三角形，结合相似比例计算． 22.【答案】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为：． 该运动员竖直高度的最大值为米． 设函数关系式为：． 经过点， ， 解得：． 函数解析式为：． 取． 第一次训练时，． 解得：不合题意，舍去，． ． 第二次训练时，． 解得：不合题意，舍去，． ． ， ．  【解析】易得抛物线的顶点坐标为，那么该运动员竖直高度的最大值为，把顶点坐标连同代入所给的函数解析式，求得的值后即可求得相应的函数解析式； 落入沙坑，则竖直高度为，分别代入中得到的函数解析式和中所给的函数解析式，求得后取正值即为和的长度，比较，的大小即可． 本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点，，则抛物线的对称轴为：直线． 23.【答案】，； 成立，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接， 则， 由得：， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； ．  【解析】解：如图，取的中点，连接． 则， 点是的中点， ， 四边形是正方形， ，， ，，，， 是等腰直角三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：，； 成立，理由如下： 如图，在上取一点，使，连接， 则， 由得：， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 如图，过作交于点，连接、， ， ， 是等腰直角三角形， 点与关于对称， ， ， 当、、三点共线时，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， 此时； 当与相等时，即、、三点共线， 此时， 则； 的周长的取值范围是． 取的中点，连接先证，再证，，然后由证≌，即可得出结论； 在上取一点，使，连接，证≌，即可得出结论； 过作交于点，连接、，证是等腰直角三角形，则点与关于对称，得，，当、、三点共线时，即最短，此时，，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即、、三点共线，此时，则；即可得出结论． 本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$