江苏省常州市溧阳市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省常州市溧阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式，，，中，分式有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列各式中，最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各式中，与是同类二次根式的是(    ) A. B. C. D. 4.从一副扑克牌中任意抽取张，下列事件中发生的可能性最大的是(    ) A. 这张牌是“” B. 这张牌是“红心” C. 这张牌是“大王” D. 这张牌是“红色的” 5.一次函数与反比例函数在同一坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 6.在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为米的标杆影长为米，那么影长为米的旗杆的高为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7.如图，在中，，点是中点，连接，，把线段沿射线方向平移到，点在上则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点若，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.要使二次根式有意义，则的取值范围是          ． 10.计算：的结果是______． 11.若，则______． 12.在比例尺为：的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为______． 13.某型号蓄电池的电压单位：为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压为______． 14.如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 15.如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：；；，其中正确的序号是______填写所有正确结论的序号 16.如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为______． 17.观察下列等式： ； ； ； 则的值为______． 18.如图，点是反比例函数图象上的一点，连接，点是的中点，过点作轴的平行线，与反比例函数的图象和轴分别交于点，点，连接，，若的面积为，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 计算： ； ； ； ． 20.本小题分 解方程： ； ． 21.本小题分 先化简再求值：，其中． 22.本小题分 月日是“世界读书日”，学校开展“让书香溢满校园”读书活动，以提升青少年的阅读兴趣，九年班数学活动小组对本年级名学生每天阅读时间进行了统计，根据所得数据绘制了两幅不完整统计图每组包括最小值不包括最大值九年班每天阅读时间在小时以内的学生占全班人数的根据统计图解答下列问题： 九年班有______名学生； 补全直方图； 除九年班外，九年级其他班级每天阅读时间在小时的学生有人，请你补全扇形统计图； 求该年级每天阅读时间不少于小时的学生有多少人？ 23.本小题分 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野单位：度是车速单位：的反比例函数． 求与之间的函数关系式； 计算当车速为时视野的度数； 若在某山区弯道行车时，考虑交通安全，综合环境的影响，视野的度数至少要求是度，求车速最多是多少？ 24.本小题分 某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过图是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． 当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为______； 经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． 的值为______； 若将菱形沿轴正方向平移个单位． 当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值； 在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 26.本小题分 如图，在矩形中，，点是边上一点． 如图，当，时，求长； 如图，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：分式有：，，，共个， 故选：． 一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：，则不符合题意， 符合最简二次根式的定义，则符合题意， ，则不符合题意， ，则不符合题意， 故选：． 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：，它与是同类二次根式，则符合题意， ，它与不是同类二次根式，则不符合题意， ，它与不是同类二次根式，则不符合题意， ，它与不是同类二次根式，则不符合题意， 故选：． 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行判断即可． 本题考查同类二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：一副扑克牌中“”有张，“红心”有张，“大王”有张，“红色的”有张， ， 这张牌是“红色的”的可能性最大． 故选：． 分别求出抽出各种扑克的数量，即可比较出各种扑克的可能性大小． 本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 5.【答案】  【解析】解：、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，两结论矛盾，故本选项错误； B、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，故本选项正确，符合题意； C、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，故本选项错误，不符合题意； D、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数在轴上的截距可知，故本选项错误． 故选：． 分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知以上知识是解答此题的关键． 6.【答案】  【解析】根据题意解：， 即， 旗杆的高米．故选：． 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 7.【答案】  【解析】解：由平移的性质可知，， 四边形是平行四边形， 在中，，，， ， 在中，，，点是的中点， ， ，点是的中点， ，， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 四边形的周长为， 四边形的面积为． 故选：． 先论证四边形是平行四边形，再分别求出，，，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可． 本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形是平行四边形和是的中位线是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图，过点作轴于点， ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线对称， ， ， 点、、共线， ， ， ，， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 故选：． 利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点、、共线，进而求出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质以及翻折的性质是正确解答的前提． 9.【答案】  【解析】解：二次根式有意义，故， 则的取值范围是：． 故答案为：． 直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 先用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键，也是本题的难点． 12.【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 要求两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算即可． 此题考查比例尺，关键是根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 13.【答案】  【解析】解：电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系， ， 由图象可知，当时，， ． 故答案为：． 根据题意，先列出反比例函数解析式，根据函数图象过代入计算出值即可． 本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 14.【答案】  【解析】解：是的中点，垂直于地面，垂直于地面， 是的中位线， ， 另一端离地面的高度为， 故答案为：． 判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 本题考查了三角形中位线定理，熟记定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ， 故结论正确； ，， ， 由可知：≌， ， 在中，， 故结论正确； 过点作于点，设，如图所示： 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确结论的序号是． 故答案为：． 依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可对结论进行判断； 先求出，由和全等得，由此得，进而可以结论进行判断； 过点作于点，设，则，，则，证明是等腰直角三角形，由勾股定理，则，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：如下图，过点作于点， 等边的边长为，， ，， ，， ． 分两种情况：如下图，连接，若， ，， ∽， ， 即， 解得， 如下图，连接，若， ，， ∽， ，即， 解得， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 根据题意，分两种情况讨论，即或，进而根据∽与∽即可求出的长． 本题主要考查了相似三角形的性质及判定，熟练掌握三角形相似的证明及性质的使用是解决本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 先求出，，，，再根据其规律求出即可． 本题考查数字变化类规律计算，二次根式化简，能够探究出规律是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：作轴，交轴于， 轴， ， 点是的中点， 是的中点， 设，则， ，， 的面积为， ， ． 故答案为：． 作轴，交轴于，根据点是的中点，得出是的中点，故设，则，根据三角形面积公式得到，即可求得． 本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出、两点的坐标是解题的关键． 19.【答案】；   ；  ；   ．  【解析】 ； ； ； ． 先通分，再把分子相加减即可； 先算括号里面的，再算除法即可； 利用平方差公式进行计算即可； 先算乘除，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 20.【答案】；   无解．  【解析】原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故原方程无解． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 21.【答案】，．  【解析】解：原式 ， 当时，原式． 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 22.【答案】 由得：小时的为：人， 如图所示： ； 除九年班外，九年级其他班级每天阅读时间在小时的学生有人， 小时在扇形统计图中所占比例为：， 故小时在扇形统计图中所占比例为：， 如图所示： ； 该年级每天阅读时间不少于小时的学生有：人．  【解析】解：由题意可得：人； 故答案为：； 见答案 见答案 见答案 【分析】 利用条形统计图与扇形统计图中小时的人数以及所占比例进而得出该班的人数； 利用班级人数进而得出小时的人数，进而得出答案； 利用九年级其他班级每天阅读时间在小时的学生有人，求出小时在扇形统计图中所占比例，进而得出小时在扇形统计图中所占比例； 利用扇形统计图得出该年级每天阅读时间不少于小时的人数，进而得出答案． 此题主要考查了频数分部直方图以及扇形统计图和条形统计图的应用，利用图形获取正确信息是解题关键． 23.【答案】；   度；   ．  【解析】设与之间的函数关系式为为常数，且， 将，代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 当时，， 当车速为时视野的度数度． 根据题意，得， 解得， 车速最多是． 利用待定系数法解答即可； 当时，求出对应的值即可； 当时，列关于的不等式并求其解集即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和不等式的解法是解题的关键． 24.【答案】；   一个智能闸机平均每分钟检票通过人．  【解析】如图，连接，向两侧延长分别交，于，点， 在中，，，， ， 智能通道闸机的双翼成轴对称， ， ， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为， 故答案为：； 设一个人工检票口每分钟检票通过个个人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过个人， ， 解得， 经检验是方程的根， ， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过人． 根据题意，结合图形，在中利用三角函数，求出，根据对称性，得到，从而得到结果； 根据题意，列方程，解方程得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 25.【答案】；   ；   ．  【解析】作，轴于点， 点的坐标为， ，， ， 四边形是菱形， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：； 由知， ， 将菱形向右平移个单位长度，得到点的坐标为 代入，得到， 解得； 将菱形向右平移个单位长度，得到点的坐标为 代入，得到， 解得． ． 根据点的坐标为，即可得出的长以及的长，即可得出点坐标，进而求出的值； 将菱形向右平移个单位长度，得到点的坐标为，由在反比例函数图象上，将点代入反比例函数解析式，求出的值，问题可解； 和可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可． 本题考查了反比例函数综合题，需要掌握菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 26.【答案】；  ；．  【解析】四边形是矩形， ，，， ， ，，， ， 设，性， 则， ， 解得， ； 四边形是矩形， ，， 点是的中点， ， ≌， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 设，则， ，， ， ， 负值舍去， ． 根据矩形的性质得到，，，设，，则，根据勾股定理即可得到结论； 根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式得到；设，则，根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题的四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$