精品解析：福建省福州文博中学2024-2025学年下学期八年级期中考数学试卷

福州文博中学2024-2025学年第二学期 八年级期中考数学科考试（题目卷） （完卷时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知一次函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，则的度数（ ） A. B. C. D. 3. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：，，，，，，，，则该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 29，31 B. 29，29 C. 31，30 D. 31，31 4. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 的解集是 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数，自变量的取值范围是______． 12. 直线与轴的交点坐标为______． 13. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 15. 如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线分别交AB，BD于点E，F，连接CF，则 ______°． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针转至，，且，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为_____． 三、解答题（共86分） 17. 已知：y与x成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 19. 近年来，我县在创建省级文明城市，为积极推进创建工作，我县呼吁全民积极参与垃圾分类，东关某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶，根据市场调查，若购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元． （1）求两种型号垃圾分装桶的单价； （2）某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，若需购买A，B型号的垃圾分装桶共100个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，试问：该企业最多需要花费多少元？ 20. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 21. 某校开展自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，8.6，9.9，9.5，9.7，10，8.9，8.2 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是9.4，9，9.4 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 9.08 9 0.4276 八年级 9.08 10 0.4105 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 22. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，垂直平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 中、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度随时间x（秒）变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为______，加热到________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_______： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚好达到时，则此时乙壶中的水温为______： （4）当甲乙两壶水温相差时，时间为______秒． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示，求的度数； （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． （1）如图1，求k和b的值； （2）如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； （3）如图3，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和，当四边形为矩形，且矩形相邻两边比为时，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州文博中学2024-2025学年第二学期 八年级期中考数学科考试（题目卷） （完卷时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知一次函数，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各个点依次代入验证即可得出答案． 【详解】A、当时，，即点在函数图象上， A选项符合题意； B、当时，，即点不在函数图象上， B选项不符合题意； C、当时，，即点不在函数图象上， C选项不符合题意； D、当时，，即点在函数图象上， D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，解题的关键是将每个点代入后看是否满足函数关系式． 2. 在平行四边形中，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等求出的度数，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 3. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：，，，，，，，，则该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 29，31 B. 29，29 C. 31，30 D. 31，31 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，属于基础题，解题的关键在于理解众数和中位数的定义，并将数据按大小顺序排列．由数据可知，31出现4次，次数最多，所以众数为31；将数据按从小到大的顺序排列，可求出中位数． 【详解】解：由数据可知，31出现4次，次数最多，所以众数为31； 将数据从小到大排列为：27，29，29，29，31，31，31，31， 所以中位数为：； 故答案为：C． 4. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据得到y随x的增大而减小，据此比较判断即可解答． 【详解】解：∵点，都在直线上， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 6. 一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将原函数图像向下平移3个单位得到关系式，再将点A的坐标代入，即可得出答案． 【详解】一次函数的图像向下平移3个单位长度得到的关系式为． ∵平移后的图像经过点， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，理解图像上点的坐标与关系式的关系是解题的关键． 7. 如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程的应用，依据题意，根据所给函数图象的分布及两直线的交点的横坐标为-5进而逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵直线的图象经过第二、三、四象限， ∴，故A正确，不合题意． ∵直线与直线的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故B正确，不合题意． ∵直线的图象与y轴交于正半轴， ∴，故C正确，不合题意． 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， ∴不等式的解集为，即不等式的解集是，故D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，先根据作图可知四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 若一个三角形一条边上的中线等于与这条边平行的中位线，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意，画出图形，证明三角形为直角三角形即可得． 【详解】解：如图，为的中位线，为的中线，且， ∴ ∴，， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故选D． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．根据被开方数大于等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 解得； 故答案为：． 12. 直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点情况，解一元一次方程，根据直线与x轴的交点坐标纵坐标建立等式求解，即可解题． 【详解】解∶当时，， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为， 故答案为∶． 13. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 【答案】12 【解析】 【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2， 所以这组数据的和为6×2＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 15. 如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线分别交AB，BD于点E，F，连接CF，则 ______°． 【答案】70 【解析】 【分析】利用菱形的性质可求得∠ABD=∠CBD=35°，由EF垂直平分线段AB，可推导得出∠FBA=∠FAB=35°，即可求出∠AFD的度数，再由菱形是轴对称图形，可得∠AFD=∠CFD． 【详解】解：如图，连接AF． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD=∠BAD=110°，AB=AD， ∴∠ABD=∠BDA=35°， ∵EF垂直平分线段AB， ∴FB=FA， ∴∠FBA=∠FAB=35°， ∴∠AFD=∠FBA+∠FAB=70°， ∵A、C关于直线BD对称， ∴∠AFD=∠CFD=70°， 故选答案为：70． 【点睛】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解菱形是轴对称图形． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针转至，，且，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 组成方程组 解得： 点， 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 已知：y与x成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 18. 如图，在□ABCD中，E，F分别在AD，BC上，且AE=CF，连结BE、DF．求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，求出DE=BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形DEBF是平行四边形是解决问题的关键． 19. 近年来，我县在创建省级文明城市，为积极推进创建工作，我县呼吁全民积极参与垃圾分类，东关某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶，根据市场调查，若购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元． （1）求两种型号垃圾分装桶的单价； （2）某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，若需购买A，B型号的垃圾分装桶共100个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，试问：该企业最多需要花费多少元？ 【答案】（1）A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元 （2）10640元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式得实际应用，二元一次方程组的实际应用： （1）设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元列出方程组求解即可； （2）设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个，先根据A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半列出不等式求出m的取值范围，再根据（1）所求列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元； 【小问2详解】 解：设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个， ∵A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半， ∴， ∴； 由题意得：， ∵， ∴W随着m增大而减小， 又∵m为整数， ∴当时，W最大，最大为， 答：该企业最多需要花费10640元． 20. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴且， ∴且， 则四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定， （1）可证明是等边三角形，根据中点得出，进一步求得四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）利用等边三角形求得菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形，， ∴． 21. 某校开展自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（十分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：9，8，9，8.6，9.9，9.5，9.7，10，8.9，8.2 八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是9.4，9，9.4 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 9.08 9 0.4276 八年级 9.08 10 0.4105 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握自我防护知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）该校七、八年级共640人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，9 （2） 八年级学生掌握自我防护知较好，理由： ∵七年级的方差为，八年级的方差是，而， ∴八年级学生的成绩较为稳定， ∴八年级学生掌握自我防护知较好（答案不唯一，有道理即可）； （3）416人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识，解题的关键是∶ （1）首先确定八年级10名学生的竞赛成绩在C组和D组的人数，进而求得a的值；将八年级10名学生的成绩从小到大排列，结合中位数的定义即可确定b的值；根据众数的定义，即可确定c的值； （2）根据方差确定答案即可； （3）利用该校七、八年级参加此次网上答题竞赛活动的总人数乘以七、八年级随机抽取的20人中优秀人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意，八年级10名学生的竞赛成绩在C组的学生有3人， ∴八年级10名学生的竞赛成绩在D组的有人， ∴八年级10名学生的竞赛成绩在D组的学生占比， 即； ∵八年级10名学生的竞赛成绩中，A组有人，B组有人，C组有3人，D组有4人， ∴将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是9.4，9.4， 因此中位数是，即； 七年级10名学生成绩出现次数最多的是9，因此众数是9， 即． 故答案为：，，9； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶（人）， 答：参加竞赛活动成绩优异的学生人数是416人． 22. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，垂直平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证；四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 垂直平分， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，则可证四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 23. 中、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度随时间x（秒）变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为______，加热到________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到之前每秒上升的温度为_______： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）当甲壶中水温刚好达到时，则此时乙壶中的水温为______： （4）当甲乙两壶水温相差时，时间为______秒． 【答案】（1）20；80；1 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． （4）甲，乙上升阶段相差时，可得，当甲温度为恒温时，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 【小问2详解】 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 【小问4详解】 解：甲，乙上升阶段相差时， ∴， 解得：， 当甲温度为恒温时， ∴， 解得：， 综上：当甲乙两壶水温相差时，时间为秒或秒. 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示，求的度数； （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 【答案】（1） 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，在由条件四边形是平行四边形，可得四边形是菱形，即可解决． （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出． （3）首先由（1）可知四边形是正方形，再证明可得，，再根据，可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的平分线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形， ∵M为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，灵活选择方法． 25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，两直线交于点E，，． （1）如图1，求k和b的值； （2）如图2，点P在x轴上，过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围； （3）如图3，点H在直线上，点F在x轴上，点G在直线上，连接和，当四边形为矩形，且矩形相邻两边比为时，求点G的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）首先表示出A、B的坐标，再根据，求出C、D的坐标，最后利用待定系数法即可求出k和b的值； （2）设点P的横坐标为t，则，，利用线段MN的长为d，即可表示出d与t之间的函数关系式，联立两直线的解析式，求出交点E的坐标，根据过点P作x轴的垂线交射线于点M，交射线于点N即可求出t的取值范围； （3）分三种情况讨论：F在线段上；F在A的左侧；F在C的右侧，根据等腰直角三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，，当时，， ，， 即，， 又，， ，， ，， 将，代入直线，得 ， ； 【小问2详解】 解∶ 如图， 设点P的横坐标为t，则，， 线段的长为d， ， 即， 联立方程组 即， ； 【小问3详解】 解∶由（1）知，， 又， ，， ， 当F在线段上时，如图，过G作于M， 四边形为矩形， ， ， 、都是等腰直角三角形， ， ，， 当时，， 又， ， ，，， ， ， G的坐标为； 当时，， 同理可求，，， G的坐标为； 当F在A的左侧时，如图，过G作于M， 当时，， 又， ， ，，， ，此时M和A重合， G的坐标为； 当时，，此时，不符合题意舍去； 当F在C的右侧时，如图，过G作于M， 当时，， 又， ， ，，， ， ， G的坐标为； 当时，，此时，不符合题意舍去； 综上，G的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查求函数解析式、已知两点坐标表示线段长度、一次函数与几何图形相结合，熟练掌握函数性质、正确画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 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