预习专题01 平面及其基本性质（9知识点+10题型+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题01 平面及其基本性质 知识点01 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 知识点02 平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． （22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 知识点03 平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． （23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 知识点04 点、直线、平面之间位置关系 如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 知识点05 公理１ 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 知识点06 公理２　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 知识点07 三个推论 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 知识点08 公理３ 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 知识点09 空间图形的平面直观图的画法 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　 ①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形． ③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形． A．① B．①② C．③④ D．①②③④ 题型一、平面的概念及其表示 例1（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 1-1（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 1-2（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 1-3（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 题型二 、 空间位置关系的画法 例2（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 2-1（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 2-2（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    题型三、平面分空间的区域数量 例3（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 3-1（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 3-2（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 题型四、平面的基本性质及辨析 例4（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 4-1（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 4-2（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定 条直线. 4-3（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有 条. 题型五、点（线）确定的平面数量问题 例5（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中不共线的4个点最多能确定 个平面. 5-1（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定 个平面． 5-2（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 5-3（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是 ． 题型六、空间中的点（线）共面问题 例6（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6-1（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 6-2（23-24高二·上海·课堂例题）如何用绳子检查桌椅的四个脚是否立于同一平面上？给出方案并说明理由． 题型七、空间中的点共线问题 例7（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    7-1（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 7-2（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 题型八、空间中的线共点问题 例8（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    8-1（2020高一·全国·专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 8-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 题型九、由平面的基本性质作截面图形 例9（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 9-1（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 9-2（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 题型十、斜二测 例10（24-25高一下·上海·阶段练习）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 10-1（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 10-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    10-3（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 10-4（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 10-5（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 1.（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三条直线两两平行可以确定 个平面． 3．（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    1．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 .    4．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题01 平面及其基本性质 知识点01 平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象． 几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分． 下列说法正确的是(　　) A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 答案　D 解析　A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 知识点02 平面的画法 在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面． （1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍； 当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线． （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面． （22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 知识点03 平面的表示 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． （23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【详解】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 知识点04 点、直线、平面之间位置关系 如图所示，用符号语言可表达为　　 A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】 【解析】解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：． 知识点05 公理１ 如果一条直线上有两点在一个平面上 ， 那么这条直线上所有的点都在这个平面上 ． 符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示： 作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　 A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】 【解析】解：在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：． 知识点06 公理２　 不在同一直线上的三点确定一个平面 符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示： 作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 下列命题正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】 【解析】解：对于选项：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误． 对于选项：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确． 对于选项：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误． 故选：． 知识点07 三个推论 （1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示： （2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： （3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示： 下列命题错误的是　　 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】 【解析】解：由公理二知直线及直线外一点，确定一个平面，故正确； 由公理三知两条平行直线，确定一个平面，故正确；由公理三知两条相交直线，确定一个平面，故正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故错误．故选：． 知识点08 公理３ 如果两个不同的平面有一个公共点 ， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ． 符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示： 作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点． 对三个公理的理解 （1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内． （2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件． （3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一． 如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点． 【解析】证明：连结、、，由题可知， 、分别是、的中点，，且，，且， 为梯形．则可令．由面，面， 面面，、、共点于． 知识点09 空间图形的平面直观图的画法 我们知道 ， 立体几何的研究对象是空间图形 ． 要将空间图形在一个平面上体现出来 ， 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图 ． 为了把空间图形画得既富有立体感 ， 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 ， 我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图 ． 下面 ， 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ． 下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　 ①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形． ③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形． A．① B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】 【解析】解：由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确； 根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确； 根据两轴的夹角为或知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误； 根据平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误． 故选：． 题型一、平面的概念及其表示 例1（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 1-1（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 【答案】 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】平面与相交于直线，即. 故答案为： 1-2（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线和直线相交于点”： ． 【答案】且 【分析】根据点与直线的位置关系的符号表示可得结论. 【详解】由点与直线的位置关系可得“直线和直线相交于点”可表述为且； 故答案为：且 1-3（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是 命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】根据平面的基本性质即得. 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 题型二 、 空间位置关系的画法 例2（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 2-1（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况． 【答案】详见解析 【分析】直接画图即可. 【详解】有如下三种情况：    2-2（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，画出与A、、C所确定的平面的交点，并说明理由．    【答案】答案见解析. 【分析】运用线面相交位置关系，得到交点只有一个画出即可 【详解】如图所示.连接，再连接A、、C，确定平面．最后连接，其与交点为O，O即为与A、、C所确定的平面的交点. 证明：由于与平面相交，则交点只能一个. ,,平面， 则平面.则O即为与A、、C所确定的平面的交点.    题型三、平面分空间的区域数量 例3（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【答案】4 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 3-1（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    3-2（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 【答案】或 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 题型四、平面的基本性质及辨析 例4（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 4-1（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 4-2（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定 条直线. 【答案】3 【分析】根据三点的位置情况分类确定即可得解. 【详解】当空间三点共线时，三点可以确定1条直线；当三点不共线时，三点可以确定3条直线， 所以空间三点最多可确定3条直线. 故答案为：3 4-3（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有 条. 【答案】一或三 【分析】首先，对平面内的三个平面的放置情形进行分类，然后，确定它们的交线的条数. 【详解】如下图所示： 三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有一或三条， 故答案为：一或三 题型五、点（线）确定的平面数量问题 例5（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中不共线的4个点最多能确定 个平面. 【答案】4 【分析】空间中四点不共面时，确定的平面最多 【详解】当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面． 故答案为：4 5-1（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定 个平面． 【答案】 【分析】要使平面最多，则任意三点不能共线，再根据任意三个不共线的点确定一个平面即可得解. 【详解】要使平面最多，则任意三点不能共线，设这五个点分别为， 任取三个点有共种， 又任意三个不共线的点确定一个平面， 所以空间任意五点最多可确定个平面. 故答案为：. 5-2（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 【答案】5 【分析】由基本事实1及平面性质即可确定平面的个数. 【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面， 故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面，平面，平面，平面， 平面，共5个平面. 故答案为：5 5-3（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定个平面，则所有可能的取值是 ． 【答案】1，3，4，6 【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解. 【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共面，共三种情况， 当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面； 当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面； 当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面； 当4条射线共面时，可以确定1个平面， 所以所有可能的取值是1，3，4，6. 故答案为：1，3，4，6 题型六、空间中的点（线）共面问题 例6（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 6-1（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 6-2（23-24高二·上海·课堂例题）如何用绳子检查桌椅的四个脚是否立于同一平面上？给出方案并说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】利用两条相交直线共面的依据判断即可． 【详解】①首先准备两根长度超过长方形对角线的两根细绳，足够长； ②分别将两根细绳绷紧，按在四个桌子的顶端作为对角线； ③如果两条细绳不相交，说明四条桌腿儿不共面，则桌子不平稳， 如果两条细绳是相交的，再将一根细绳放松，然后从另一条绷紧细绳的下方穿过， 再将放松的细绳绷紧，如果两条两条细绳仍然相交，说明四条桌腿儿是共面的，桌子是平稳的． 题型七、空间中的点共线问题 例7（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      7-1（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据平面的基本事实进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 7-2（19-20高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 题型八、空间中的线共点问题 例8（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【分析】通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    8-1（2020高一·全国·专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点． 【答案】证明见解析 【分析】设交于点，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可得证. 【详解】如图，梯形中，因为， 所以与必交于一点， 设交于点，则， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以共点． 8-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 题型九、由平面的基本性质作截面图形 例9（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 9-1（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是 （填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 9-2（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 题型十、斜二测 例10（24-25高一下·上海·阶段练习）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由题意，借助于等腰直角三角形，求得，再根据在轴上即可求得其长. 【详解】在斜坐标系中，因，，且， 则， 因在轴上，故在轴上，且. 故选：D. 10-1（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，A为直角，，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，同时求出、的长，由此可得的面积． 【详解】 根据题意，中，，，， 在直观图中， ， 故的面积． 故答案为：． 10-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是 .    【答案】 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到面积. 【详解】    如图1，设与交点为， 因为，，所以，. 的平面图如图2所示：    则， . 故答案为：. 10-3（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【详解】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 10-4（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 10-5（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 1.（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线能够确定一个平面，则点A与直线的位置关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确， 故选：D. 2．（24-25高二·上海·课堂例题）三条直线两两平行可以确定 个平面． 【答案】1或3 【分析】需要注意三条平行线的位置关系，若这三条直线在同一个平面上，则可以确定一个平面，若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面，得到结果． 【详解】解：三条直线两两平行， 若这三条直线在同一个平面上，则可以确定1个平面， 若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面， 综上所述可以确定一个或三个平面， 故答案为：1或3． 3．（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 1．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】做截面的常用两种方法：作平行线和作延长线.对于本题，过点A作PQ的平行线即可得到截面. 【详解】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 3．（21-22高一下·上海闵行·期末）将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 .    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为20的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示：   ，， 在三角形中，， 由余弦定理得，． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海·期中）正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$