精品解析：广西壮族自治区南宁市邕宁高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025年春学期南宁市邕宁高级中学期末考试试卷 高二数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，且3个新节目互不相邻，那么不同插法的种数为（ ） A. 105 B. 210 C. 420 D. 840 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77 5. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为 A. B. C. D. 6. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 8186 B. 8400 C. 9974 D. 9987 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 在上的极值点个数为4 11. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.） 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 13. 已知数列，且，则的通项公式______． 14. 圆和圆的位置关系是_____ 四、解答题（本题共5 小题，共77分，解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 16. 已知是等差数列{}的前n项和，且. （1）求； （2）若，数列{}的前n项和.求证：. 17. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1． （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|． 18. 幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ （3）现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 在如图所示的几何体中，平面是的中点，． （1）求证:平面； （2）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期南宁市邕宁高级中学期末考试试卷 高二数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解. 【详解】由， 所以的虚部为， 故先：B. 2. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，且3个新节目互不相邻，那么不同插法的种数为（ ） A. 105 B. 210 C. 420 D. 840 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意使用插空法，将3个新节目插入原来6个节目形成的7个空中，列式求解即可. 【详解】原来6个节目形成7个空，3个新节目插入到7个空中，共有种插法. 故选：B. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，代入求值. 【详解】展开式的通项公式为，令， 得. 故选：B 4. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式进行分析求解即可. 【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%， 记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥， 所以， 又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%， 记事件为“选到绑带式口罩”，则 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为. 故选：D. 5. 已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系求出直线斜率为 ，再由点斜式写出直线． 【详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为： 即. 故选A. 【点睛】本题考查两直线垂直，属于基础题． 6. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的运算公式及简单复合函数求导法则逐个判断即可. 【详解】对于A：，错误， 对于B：，错误， 对于C：，正确， 对于D：，错误， 故选：C 7. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 8. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：g），现有该新品种大枣10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ） 附：若，则，，． A. 8186 B. 8400 C. 9974 D. 9987 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的概率计算，结合互斥事件的概率加法公式，可得答案. 【详解】由题得，则，， 则 ， 因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（个）． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错或不选得0分.） 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递增 D. 在上的极值点个数为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可求解. 【详解】对于A：由题知的最小正周期为，故A正确. 对于B：令，，得，，当时，， 故点是图象的一个对称中心，故B正确. 对于C：令，，解得，， 故的单调递增区间为，， 令，得为的一个单调递增区间，故在上不单调，故C错误. （另解：当时，，易知在上不单调，故在上不单调） 对于D：令，，解得，， 当时，，，，，，， 所以在上有，，，这4个极值点，故D正确. （另解：当时，，根据在上的图象， 可知在上有4个极值点） 故选：ABD. 11. 如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面 C. M、O、三点共线 D. 直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.） 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项. 【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为： ，进一步化简得 . 令，即. 将代入通项公式得. 故答案为：. 13. 已知数列，且，则的通项公式______． 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系可得为常数列，从而可求解. 【详解】因为， 所以数列为常数列，所以，即. 故答案为:. 14. 圆和圆的位置关系是_____ 【答案】相离 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心距及两圆的半径之和，比较二者大小可知两圆相离. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为1， 两圆的圆心距为，两圆的半径之和为3， . 故两圆相离. 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的判断，属于基础题. 四、解答题（本题共5 小题，共77分，解答时写出必要的过程和文字说明.） 15. 已知曲线在点处的切线为. （1）求切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在和上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【小问1详解】 易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. 【小问2详解】 令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 16. 已知是等差数列{}的前n项和，且. （1）求； （2）若，数列{}的前n项和.求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本量列方程求解即可； （2）由裂项相消法求和得出,再证明即可. 【小问1详解】 为等差数列，则，， . ∴，故， 故. 【小问2详解】 ， ∴ 17. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1． （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|． 【答案】（1）y2＝4x；（2）14 【解析】 【分析】（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程； （2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长. 【详解】（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x； （2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零， 设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'）， 联立直线l与抛物线的方程得： y2﹣4my﹣4＝0， y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2， 由题意得：4m2+2＝2•6＝12， ∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14， 所以弦长|AB|为14． 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 18. 幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ （3）现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）无关联 （3） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据和已知条件即可求出答案； （2）首先作出零假设，然后计算卡方值，然后与值作比较，进而可得到假设是否成立； （3）首先列出的可能取值，然后计算每个取值的概率值，进而可得到的分布列，最后可计算的数学期望. 【小问1详解】 由题意可得，解得； 【小问2详解】 零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； 【小问3详解】 用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 19. 在如图所示的几何体中，平面是的中点，． （1）求证:平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点G，连接， 因为F是的中点，所以， 因为，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形，所以， 在中，，，有， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，得出，由线面垂直的性质及判定得出平面，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知直线两两垂直，则以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 所以，设是平面的一个法向量， 则， 令，得，， 所以是平面的一个法向量，， 平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $