精品解析：山东省临沂市临沭县第三初级中学2024—2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年山东省临沭县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解，正确化简是解题的关键． 【详解】解：、，与不能合并，该选项不合题意； 、，与能合并，该选项符合题意； 、，与不能合并，该选项不合题意； 、，与不能合并，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、设，则， ∵， ∴不能判断为直角三角形，故符合要求； B、，则为直角三角形，故不符合要求； C、由，，可得，则为直角三角形，故不符合要求； D、，则为直角三角形，故不符合要求； 故选：A． 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的性质是解本题的关键．先证明，，再结合三角形的外角的性质是解本题的关键． 【详解】解：矩形中，对角线与相交于点， ，， 是的一个外角， ， ． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、、，不是同类二次根式，不可以合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，     ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 6. 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A. 下滑时增大 B. 上升时减小 C. 无论怎样滑动不变 D. 只要滑动就变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据此知识点即可得到答案； 【详解】解：由题意可知无论竹竿怎么滑动，都是直角三角形，而P是中点，即也为的中点，所以，所以无论怎样滑动不变； 故答案选：C 7. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案. 【详解】解：将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示： 则阴影面积= = = 故选D 【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 9. 如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD． 【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图， ∵四边形ABCD是菱形，且边长为2， ∴AD=DC=AB=BC=2， ∵E点、G点分别为AD、AB的中点， ∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称， ∴PE=PG， ∴PE+PF=PG+PF， 即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG， 如下图，G、P、F三点共线，连接FG， ∵F点是DC中点，G点为AB中点， ∴， ∵在菱形ABCD中，， ∴， ∴四边形AGFD是平行四边形， ∴FG=AD=2， 故PE+PF的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键． （教材P64数学活动改编） 10. 如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点B落在折痕上的点F处，交于点G．若的长为3，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得到垂直平分，再根据折叠的性质得到线段相等，根据等边三角形的判定可得到是等边三角形，再根据两个角是的三角形是等边三角形判断出等边三角形，根据特殊三角函数值即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题可知：垂直平分， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴等边三角形， ∴． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定，特殊三角函数值等知识点，解决此题的关键是根据题意作出合理的辅助线． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用平方根解方程，掌握知识点是解题的关键．根据大正方形的面积为65得到，由题意得，，设小正方形的边长，则，则在中，由勾股定理得：，代入建立方程，求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为65， ∴， 由题意得，， 设小正方形的边长，则， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴小正方形的面积为9， 故答案为：9． 13. 如图，平行四边形两对角线相交于点O，且，若的周长为11，则___． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，则可得到，再根据三角形周长计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形两对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为11， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 已知，则的值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，根据题意可得，据此去绝对值和化简二次根式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 15. 如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分于点E，若，则矩形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，由矩形的性质得到，，由线段垂直平分线的性质得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线交于点O， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，M，N分别是的中点，交于点O，连接的延长线交的延长线于点P．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④，其中正确的有___（只写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．根据正方形的性质证明，即可证明①；根据和，运用等量代换即可证明②；根据M是的中点，运用直角三角形的性质即可证明③；根据条件证明即可证明④． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵M、N分别是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， 由①知 ∴，故②正确； ∵M是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴不可能为等边三角形，故③错误； ∵N是的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为；①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算小括号内的二次根式减法，接着计算二次根式乘法和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案； （2）利用乘法公式去括号，再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解； 18. 已知：如图，点O是对角线的交点，过点O作直线分别交的延长线于点E、F．求证：． 【答案】 证明：∵点O是对角线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可证明结论． 【详解】略 19. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何 （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长． 【答案】（1）点表示的数为； （2）秋千绳的长为5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用： （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可． （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵以点A为圆心，为半径作弧， ∴ 又 ∴， ∴点表示的数为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得，， 即秋千绳的长为5米 20. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 【答案】 证明：①选择小星的说法，证明如下： 如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； ②选择小红的说法，证明如下： 如图，连接，， 由①可知四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【解析】 【分析】选择小星的说法，先证四边形是平行四边形，推出，再证明四边形是矩形，即可得出；选择小红的说法，根据四边形是矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，即可证明， 本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是：掌握平行四边形和矩形的判定方法． 【详解】略 21. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质证，而，所以，则，即可证明结论； （2）先证明是平行四边形，则，由菱形的性质得，则，推导出，，所以，求得，最后根据三角形的面积公式计算即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为36． 22. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 原式 ． 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为5 （3）在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求：（答案不唯一） （2）如图所示，即为所求：（答案不唯一） （3）如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； 【小问2详解】 由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， 【小问3详解】 如图所示， 作，过点作，交于格点， 由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 24. 阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … （1）请补全材料中的解题过程； （2）如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理得到，则；再由三角形中位线定理即可得到； （2）延长到N，使得，连接，由三角形中位线定理可得；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，再证明，得到，则． 【小问1详解】 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长到N，使得，连接， ∵M为的中点，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省临沭县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，P是中点，表示竹竿端沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿滑动过程中长度（　　） A. 下滑时增大 B. 上升时减小 C. 无论怎样滑动不变 D. 只要滑动就变化 7. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　） A. 2 B. C. 1.5 D. （教材P64数学活动改编） 10. 如图，将矩形先进行对折，折痕为，展开后沿再次折叠，使点B落在折痕上的点F处，交于点G．若的长为3，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图①，第24届国际数学家大会的会徽是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图②所示的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为65，直角三角形较短直角边的长为4，则中间小正方形的面积为______． 13. 如图，平行四边形两对角线相交于点O，且，若的周长为11，则___． 14. 已知，则的值为___． 15. 如图，在矩形中，对角线交于点O，垂直平分于点E，若，则矩形的周长为___． 16. 如图，在正方形中，M，N分别是的中点，交于点O，连接的延长线交的延长线于点P．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④，其中正确的有___（只写序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，点O是对角线的交点，过点O作直线分别交的延长线于点E、F．求证：． 19. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何 （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点D表示的数是多少． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长． 20. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 21. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的面积． 22. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求的值． 23. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为5 （3）在图③中，是面积为的钝角三角形． 24. 阅读下列材料，解决问题． 倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图①，在四边形中，，，E是的中点，若，，．求的长度． 解：如图②，延长至点F，使得，连接， ∴， ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， … （1）请补全材料中的解题过程； （2）如图③，与均为等腰直角三角形，其中．连接，M为的中点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $