数列的概念与逻辑易错辨析专项练习-2026届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2025-2026学年度高三一轮复习--数列的概念与逻辑易错辨析专项练习 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏无锡·期中）若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知数列均为等比数列且对成等差数列，则“有相同的首项”是“有相同的公比”的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3．（24-25高三上·山东日照·开学考试）已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高三下·北京石景山模拟预测）已知数列是等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高三下·北京海淀模拟）已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高三·北京西城二模）设等比数列的前n项和为，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．（2024·江苏盐城·一模）已知为数列的前n项和，则“”是“数列为单增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（24-25高三上·上海·开学考试）设为数列的前n项和，k为常数且，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件， ②若是等比数列，则是的充要条件，那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①、②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①、②都是假命题 12．（24-25高三上·全国·课前预习）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（23-24高三下·北京模拟预测）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 15．（23-24高二下·北京·期中）设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2024·北京丰台·二模）已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 17．（23-24高三下·江苏·阶段练习）记为数列的前项和，则“为等差数列”是“”的条件 .（填写“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要”之一） 18．（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段练习）数列是等差数列，首项为，公差为，命题是等差数列，命题，则命题是命题成立的 条件.（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”） 19．（2023·江苏扬州·模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种） 三、解答题 20．（24-25高三上·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 21．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数； (3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列． 22．（2023·北京·模拟预测）正整数集合，且，，中所有元素和为，集合. (1)若，请直接写出集合； (2)若集合中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”； (3)若，求的最小值，以及当取最小值时，最小值 参考答案： 1．A 【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性. 【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0， 故，， 则， 即，所以， 由，当时，等差数列单调递增， 则不可能满足且， 因此“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．B 【分析】根据等差中项的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】因为数列均为等比数列，所以设，， 又成等差数列，可得，即， 令，有，即， 令，有，即， 若有相同的首项，即，可得， 解得，即，故充分性成立； 若有相同的公比，即，可得， 化简得，假设，则， 所以和不一定相等，故必要性不成立. 所以“有相同的首项”是“有相同的公比”的充分不必要条件. 故选：B. 3．A 【分析】由等差数列性质可得其充分性，借助等差数列通项公式及其基本量计算可得其必要性，即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 当时，则，故充分性满足； 当时，有， ， 即，且，则， 即，故必要性满足； 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：A. 4．C 【分析】按照公比的取值范围讨论，分别从条件到结论、结论到条件两个方面考虑是否可推出. 【详解】设数列的公比为， 当时，，存在最小项，； 当时，，， 所以存在最小项，； 当时，，所以存在最小项，； 当时，，所以不存在最小项，； 所以当存在最小项时，；当时，存在最小项. 所以“存在最小项”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5．A 【分析】假设，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解. 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 6．C 【分析】在已知条件下，，都与等价，由此即可得解. 【详解】， 而，所以，充分性成立； 反过来若，若，则一定有， 所以，，故，必要性成立； 也就是说，已知数列是等比数列，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 7．B 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的函数，若有最大值，则不满足充分性； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：B. 8．D 【分析】根据等比数列递增数列分类得出或,递增得出,最后根据既不充分也不必要条件判断即可. 【详解】是等比数列是递增数列，则或， 是递增数列，,即得； “是等比数列是递增数列”是“是递增数列”既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．C 【分析】由可得正项数列隔项成等比数列，再由结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 两式相除可得：， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当，则，， 所以数列为公比为的等比数列， 所以“”能推出“数列为等比数列”， 若数列为等比数列，则公比为2，故， 所以“数列为等比数列”能推出“”. 故“”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 10．D 【分析】由数列的前n项和与项得关系可判断，进而得数列为单调递增数列，设公差为，此时，推出当时先减后增，可判断充分性，举例可判断必要性，即可得结果. 【详解】解：若， 故，即， 故为单调递增数列，设公差为， 此时，，， 令，对称轴为，当时，此时对称轴， 此时先减后增， 故不能推出“数列为单增数列”， 若数列为单增数列， 例如，则，， 则， 故不能推出， 所以“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 11．B 【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前项和性质分析②的真假，综合可得答案. 【详解】根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列， 若，则在中，至少有一项为， 假设，则， 必有， 反之，在等差数列中，若， 则，有，则成立， 但不成立， 则是的充分非必要条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时， 有，则中，至少有一项为，则， 假设，则有，必有， 又由，必有为偶数且，故， 反之，若，则，必有，则有，， 则，所以是等比数列， 则是的充要条件， 故②正确. 故选：B. 12．B 【分析】依据递增数列性质结合必要而不充分条件定义即可得到题给两条件间的逻辑关系. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或 则中，的正负未定， 此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得， 所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件． 故选：B 13．C 【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将代入，可得，进而得到必要性成立，从而得到结论. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 故选：C. 14．C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 15．D 【分析】根据等比数列的求和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】为等比数列，设公比为， 当，数列不一定是递增数列， 如当，时，中的各项均为负数， ，是递减数列，充分性不成立； 当数列为递增数列时，不一定成立， 如当，时，，，，必要性不成立. “” 是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16．A 【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可. 【详解】对于充分性，已知等差数列的公差为，首项， 当“”时，集合恰有两个元素， 故充分性成立，对于必要性，当时， “集合也恰有两个元素”，故必要性不成立， 故“”是“集合恰有两个元素”的充分而不必要条件. 故选：A 17．充要条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，从充分性和必要性两个方面进行推理证明，即可得出结论. 【详解】令命题p：为等差数列，命题q： 充分性：若是等差数列，则一定有，所以p是q的充分条件； 必要性：时，， 时， ①， ②， ②①得：， ， ，即， 所以为等差数列，所以p是q的必要条件， 综上所述，p是q的充要条件， 故答案为：充要条件. 18．充分不必要 【分析】利用等差数列的通项公式是关于的一次式及充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】因为数列是等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 若为等差数列，则是关于的一次式， 则必有，即，此时， 所以，即是的充分条件， 若，当时，此时没有意义， 所以推不出， 综上：是的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 19．充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合数列的前n项和与通项的关系分析判断即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 因为满足上式， 所以， 所以，， 所以成立， 由可得， ， ， 所以此时满足，但不一定， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 20．(1)①具有，②不具有 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义代入计算可得； （2）先证明充分性，依题意可得，即可得到，从而得到，再证必要性，即数列为常数列，根据定义证明即可； （3）首先证明：，然后利用反证法证明：，即可得到，结合即可得解. 【详解】（1）①，对于，，所以数列具有“性质”； ②，对于，， 故，所以数列不具有“性质”． （2）证明：先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有 结合有， 即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时，有． 又因为，且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于3， 即存在满足：或， 进而有 ． 又因为， 所以 依此类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以． 21．(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义可求出的值； （2）令（周期），结合新定义，即可求证； （3）根据定义分别证明充分性和必要性，d为非负整数，是公差为d的等差数列，，易证出充分性，证明必要性先结合反证法证明数列不是递减，再证明是等差数列. 【详解】（1），，，． （2）证明：不妨设的周期为， 记，， 则当时，是常数， 记，使得当时，是常数，结论正确． （3）证明：充分性； 若为公差为的等差数列，则 于是，． 因此，      必要性：因为， ，， ，于是，． 因此． 故数列是公差为的等差数列． 【点睛】思路点睛：此题考查数列相关的新定义问题，涉及求值和证明，证明一个条件是另一个条件的充要条件时一定要考虑完充分性和必要性. 22．(1) (2)证明见解析 (3)，． 【分析】（1）根据题意，直接写出集合； （2）根据题意，由等差数列的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到证明； （3）根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】（1） （2）若为等差数列， 不妨设 ，且， ， ， ， 中有个元素， “为等差数列”是“集合中有个元素”充分条件 若集合中有个元素，则至少有如下有个元素 又有如下个元素 ， ， ， “为等差数列”是“集合中有个元素”必要条件 综上，“为等差数列”是“集合中有个元素”充要条件. （3）由题意，， ， 又 ，且此时，最小值为 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$