第四章图形的相似 单元练习（暑假预习）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 暑假预习 一、单选题 1．如图，在和中，，．若，，则的长为（   ） A．18 B．12 C．9 D．6 2．如图，四边形为矩形，点E是矩形的边上的一点，连接，以为边作正方形，顶点F恰好落在边上（与点B，C不重合）．若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，点B在点A的左侧，将正方形绕点O按顺时针方向旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与位似，位似中心为点，的面积为9，则面积为（　　） A．12 B． C．16 D．18 5．如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(   ) A． B．10 C． D．11 7．如图，边长分别为3，4，5的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为2，交于点O，点E为内的一点，连接若，给出下列四个结论：①；②线段的最小值是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 10．在建筑设计的实践中，常常会遇到四边形结构的建筑框架．现有一个四边形建筑框架，其中和是两条相互平行的建筑边线，、作为两条交叉的支撑结构线，于点交汇，为整个建筑框架提供稳固的支撑．设计师在进行建筑材料分配以及装饰设计规划时，需要精准把握各个三角形区域的面积比例．已知，则当（   ）时，才能使与的面积之比为，以便为后续的建筑设计工作提供精确的数据支持． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，若，则和的周长比为 12．如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时， ．    13．如图，与是以为位似中心的位似图形，且，若的面积为2，则的面积是 ． 14．如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是 ． 15．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 三、解答题 16．在中，，点是边的中点，是射线上一动点，连接，取中点，以为边做正方形，使点M、N和点在直线同侧． (1)_____________； (2)求点到的距离； (3)，当的长最小时，求的长； (4)当点与点到所在直线距离相等时，直接写出的长． 17．已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 18．在中，，，点是平面内一点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，． (1)如图1，点在的内部，连接，点恰好在上，若，求的度数； (2)如图2，点在的上方，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：． (3)如图3，连接，，将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 19．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 20．点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 暑假预习2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C B B C C A 1．A 【分析】本题考查相似求线段长，涉及相似三角形的判定与性质，先由两边成比例且夹角相等得两个三角形相似，再由相似三角形性质：相似三角形的周长比等于相似比，代值列式求解即可得到答案，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ，解得， 故选：A． 2．D 【分析】先证明，，可得，，，设，而，可得，再解方程并进一步解答即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，，， 设，而， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 故选：D 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 3．B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作轴于点D，过点作轴，连接，根据，可知每旋转8秒为一个循环，由，可知第2025秒旋转结束时与第1秒旋转结束时点B的坐标相同，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点D，如解图． ∵点， ∴．根据可知每旋转8秒为一个循环，由， 可知第2025秒旋转结束时与第1秒旋转结束时点B的坐标相同． 连接，由正方形的性质，可知， ∴第1秒旋转结束时点B的对应点落在的延长线上， 如解图，过点作轴，垂足为E．易得， ∴． ∴，． ∴点B'的坐标为，即第2025秒旋转结束时，点B的坐标为， 故选B． 4．C 【分析】本题考查位似的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵与位似，， ∴， ∵的面积为9， ∴面积为16， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．作于点，连接，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，求得，，证得，求得，推出点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，当点共线时，有最小值，最小值为的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：作于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴，， 此时点是的中点， ∵， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，即可求解；掌握正方形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 边长分别为3，4，5的三个正方形拼接在一起， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ； 故选：B． 8．C 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 通过证明点E，点B，点C，点O四点共圆，可得，故①正确；由题意可得点E在直径为的圆上，当点E在上时，有最小值，由勾股定理可得的最小值为，故②正确；由圆周角定理可得，则，即与不相似，故③错误；由“”可证，可得，由线段的和差关系，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴点E，点B，点C，点O四点共圆， ∴∠，故①正确； ∵， ∴点E在直径为的圆上， 如图，取的中点F，连接， ∴， 在中，， ∴当点E在上时，有最小值， 此时：， ∴的最小值为，故②正确； ∵点E，点B，点C，点O四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴与不相似，故③错误； 如图，过点O作交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选C． 9．C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可知，，，，得，，，进而根据可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，证明，根据与的面积之比为，得出，从而得，设，则，，证明，即可得， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的周长之比等于位似比，据此只需要根据得到即可得到答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，且， ∴， ∴和的周长比为， 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由折叠知，设，则，再分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， 由折叠知，设，则， ∵是直角三角形时， ∴当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：或． 13．18 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为18． 14． 【分析】连接与交于点，证明得出，即经过点，点是正方形中心．取中点，连接，则为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：连接与交于点， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即经过点，点是正方形中心． 则， 取中点，连接， ∵， ∴， 则为定长， 过点作于． ∵， ∴， ∴， 则， 由勾股定理可得， ， 当三点共线时，最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出的值． 15．3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴像的高为， 故答案为：3． 16．(1)5 (2)1 (3) (4)或． 【分析】（1）由勾股定理求解即可； （2）过点N作于E，过点P作于F，先证明，得，从而求得，再证明，得，从而求解； （3）由（2）知：点N到的距离为1，是一定值，所以当点在射线上运动时，点N在平行，且到距离等于1的射线上运动，当的长最小时，则，此时，由勾股定理求得，再根据正方形的性质得，然后由直角三角形中线的性质求解即可． （4）当点与点到所在直线距离相等，在的异侧时，建立平面直角坐标系，求得的坐标，得出在上，即可求解；当在同侧时，则，根据正方形的性质得，从而可得，即，则，得到，即可由求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为 ：5． （2）解：过点N作于E，过点P作于F，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为1． （3）解：由（2）知：点N到的距离为1，是一定值， ∴当点在射线上运动时，点N在平行，且到距离等于1的射线上运动，如图， 当的长最小时，则，此时， ∴ ∵正方形， ∴， ∵，点P为中点， ∴． （4）解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ①当点与点在异侧时，过点N作于E，过点P作于F，过点作交的延长线于点，设交于点，当到的距离相等时，根据全等三角形的性质可得为的中点， 设， ∵ ∴ ∴ 则 同理可得 ∴则 由（2）可得，，则 ∴ 由可得，， 设直线的解析式为 ∴，解得： ∴ ∵在上， 代入得， 解得： ∴ 即 ②当点与点在同侧时，且到所在直线距离相等时， ∴，如图， ∵正方形， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，会等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线间的距离处处相等，垂线段最短等知识．掌握相关性质与判定是解题的关键． 17．（1）证明见解析 （2）①为等腰三角形，理由见解析；② （3）．理由见解析 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 18．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再由等腰直角三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）延长至点H，使得，连接，得出为等腰直角三角形，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，，利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形利用勾股定理即可求解； （3）令点F、G分别为的中点，过点F作的垂线交的延长线于点H，交于点I，得出为等腰直角三角形，为的中位线，然后确定动点E的运动轨迹是以为直径的圆F上，从动点D的运动轨迹是以为直径的圆P上，点M的运动轨迹在以为直径的圆Q上，然后利用三角形中位线的性质及勾股定理得出，确定当B、Q、M三点共线时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵将点绕点顺时针旋转得到点， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）如图，令点F、G分别为的中点，过点F作的垂线交的延长线于点H，交于点I， ∴为等腰直角三角形，为的中位线， ∴， ∵， ∴动点E的运动轨迹是以为直径的圆F上， ∵将点绕点顺时针旋转得到点， ∴从动点D的运动轨迹是以为直径的圆P上， ∵将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点， ∴点M的运动轨迹在以为直径的圆Q上， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当B、Q、M三点共线时，取得最大值， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查旋转的性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，动点轨迹问题等，理解题意，结合动点运动得出动点的运动轨迹是解题关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】根据等边三角形的性质和三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； 根据含度角的直角三角形的性质得到，证明得到即可得到结论； 先根据等腰直角三角形的性质和得到，，证明得到，分点D在线段上时和E在线段上时两种情况，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得即可求解． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ，， ，，则， ， ， ， 故答案为：； （3）解：，，， ，，， ，， ， ∴， ， 当点D在线段上时，如图3， ，，， 由得， ， 则， ； 当E在线段上时，如图4， 则， ， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$